多元表征明算理，迁移类推通算法

摘 要：口算是诸多运算中的一种最基本的运算，但是口算教学不是一件容易的事情。口算教学能帮助学生明晰算理，迁移算法，提高运算能力，渗透数学思想。文章以人教版三年级下册“口算除法”为例，通过分析不同版本教材、教师教学现状以及学生学情，发现问题并进行思考与探究，旨在探索教学策略，巧解教学疑虑。

关键词：口算除法；多元表征；算理；算法迁移

计算能力是数学的基本技能之一，而口算则是这种技能的关键环节，同时在“数与代数”的研究中占据着极其重要的地位。掌握口算技巧，理解算法，对于后续的估算和笔算学习有很大帮助。因此，教师需要依据学生的理解和实际学习状况，构筑一个让学生研究和理解数字运算的平台，协助他们解读不同算法之间的深层联系，指导他们进行数学的深度学习，从而进一步巩固他们的数字运算能力。

一、聚焦现状，直面教学问题

“口算除法”一课是人教版三年级下册第二单元“除数是一位数的除法”的教学内容，笔者在查阅资料后发现本节课在教学中存在以下问题。

（一）教师“简单”教

教师往往觉得传统口算教学的内容单薄，没有深入研讨的价值。在实际教学中，教师也发现学生可以快速根据“想乘算除”或者“去0添0”简化成表内除法的形式来计算。上课时，听到学生的正确回答声，使不少教师觉得口算除法教学轻松，学生学得也轻松。这就会造成学生表面上是学会了算法，但是对算理的理解并不深刻。

（二）学生“浅显”学

对于口算除法，学生觉得难度不大，自己完全可以掌握，看到算式往往就会不假思索地写上得数。在口算迁移的过程中，学生就只会机械套用口算的“简化”外形，用“去0添0”法来进行计算，但并没有深刻理解其中的道理，而且不能把算法算理联系起来，导致学生在计算口算除法时数位错误，特别是像200÷5，4000÷8这样的口算除法。同时，学生觉得口算除法简单，就算出现错误也是觉得是自己粗心所致，并不会深究其中的原因。

二、追根溯源，了解学习起点

“口算除法”这堂课是属于算法简单，但是算理值得细究的一堂计算课。那么如何让学生自主探究发现计算过程中的道理呢？笔者从学生、教材、教学入手，努力解决这些困惑，并参考相应的文献资料，提出促使学生在有效的探究活动中，能够在已有的知识经验、算法迁移、思维提升等方面感知算理、迁移算理的有效措施。

（一）教学分析

笔者对比了人教版、北师大版和苏教版三个版本的数学教材，发现三个版本的内容是相同的，只是知识的编排顺序和位置不太相同。人教版教材例题情境图是将手工纸设计为10张一沓，一共6沓平均分给3人；北师大版教材是将10根胡萝卜为一捆，一共6捆平均分成2份；苏教版教材是将10支铅笔为一捆，一共6捆平均分给3个班。三个版本教材都以动态呈现分物品的方式，为学生理解算理提供支撑。其中，人教版教材的反馈环节重点呈现了算理：6个十除以3等于2个十。而北师大版和苏教版同时呈现算理和算法，算法有“想乘算除”法和“去0添0”法，但是算理算法的呈现并不分明。

（二）学情分析

学生在对口算除法的学习已经具备一定的学习基础。那么之前的学生的计算能力能为本节课提供哪些服务？又会出现哪些学习困惑？为此，笔者设计了学习前测单，以此了解学生的学习起点，评估学生的学习水平，助力学生对运算本质的深度理解。对于前测结果，笔者从两个方面进行研究。研究一：学生在课前能口算得出除数是一位数的除法算式的答案吗？研究二：学生在课前能表示口算除法的算理吗？

数据表明，学生对算法有所感知，从“研究一”的前测结果看出大部分学生对于口算除法都能得到正确的结果，与60÷3相比，120÷3的正确率有所降低，像200÷5这样最高位不够除的口算除法，学生有一定的困难。在“研究二”不难发现，大部分学生用了“去0添0”法来计算，但是却不明白其中的道理。几乎没有学生能表征出真正的算理：把60看成6个十，6个十除以3等于2个十。

通过对不同版本教材的分析以及前测结果，笔者认为本节课教学中应给学生提供丰富的素材进行多元表征，数形结合，为学生理解算理提供直观支撑，同时给学生足够的时间，让每一个学生深入地去探究、做到“理”“法”分明，提供不同层次的练习，在趣味练习中突破学生的难点，引导学生迁移算理和算法，为后续学习做好铺垫。

三、教学实践，寻求多维策略

（一）算法先行，巧质疑

本节课的算法简单，所以可以一开始就充分“暴露”学生已有的知识经验，让算法先“立”起来，这就是“算法先行”。

【片段1】

1. 出示题目，理解题意。

把60支水彩笔平均分给3人，每人分得多少支？

师：你能列出算式吗？为什么用除法列式？60÷3怎么口算？

生1：因为20×3＝60，所以60÷3＝20。

生2：我把60的0先去掉，计算6÷3＝2，再添上0就是20。

2. 提出质疑，引发思考。

师：为什么可以这样计算呢？请你先静静地想一想。

本课以解决问题的方式引入，借助“你是怎么口算的”“为什么可以这样算”等关键问题，激发学生学习动机，促进学生对算理的思考，自发运用已有的知识去解决新的问题。

（二）多元表征，巧说理

为了让学生能更好地理解算理，需要呈现多元化的素材，为学生探究算理提供直观形象的支撑，这不仅可以促进学生对数学知识本质的深刻理解，还可以积累丰富的数学活动经验。

【片段2】

1. 研究60÷3＝20。

师：为什么60÷3可以用“去0添0”的方法来计算呢？你可以选择合适的材料（小棒图、计数器图），把你的想法用画一画或者写一写的方式表示出来。

2. 反馈交流。

3. 小结算理。

师：原来“去0添0”的方法，实际上就是把60看成6个十，6个十除以3等于2个十，就在2的后面添上0。

学生借助小棒图、计数器等多种表征方式，直观感受6捆÷3＝2捆，6颗十位上的珠子÷3＝2颗，也就是20。利用不同材料，让学生进行多元表征，引导学生构联不同方式之间的联系，从中逐步抽象出算理。在生生互动的过程中，在一次次图示和算理的沟通中内化理解口算除法的算理。

（三）借助教具，巧联系

引导学生将口算除法的算法和算理进行迁移，借助形象的计数器教具，找到6÷3，60÷3，600÷3，6000÷3这4个算式之间的联系。

【片段3】

1. 动画出示计数器图。

在十位上有6颗珠子，平均分成3份，表示60÷3＝20。

2. 这6颗珠子还能放在哪里？该怎么列式？

①个位：6÷3＝2；②百位：600÷3＝200；③千位：6000÷3＝2000。

3. 600÷3，6000÷3这两道题怎么口算？能不能结合图说说你的想法。

生：6个百除以3是2个百，就是200。6个千除以3是2个千，就是2000。

4. 观察讨论，沟通联系。

师小结：整十、整百、整千数除以一位数，我们可以看成几个十、几个百和几个千去除以一位数。所以口算时可以用“去0添0”的方法转化成我们学过的表内除法来进行计算。

在课堂上充分利用计数器的动态展示，不仅丰富学生的认知，还为知识结构化的形成提供了载体。通过直观的计数器，展现这些算式都是以6÷3＝2为基础拓展的，这过程将口算除法的算理串联起来，并通过练习对比，使学生总结计算整十、整百、整千数除以一位数，都可以把被除数转化成几个计数单位去除以这个一位数。在学生经历比较的过程，明确算理的一致性，渗透转化思想。

（四）迁移类推，巧转化

学习完例1的口算除法知识后，大部分学生能运用所习得的方法独立解决例2的问题，实现知识、方法的自主迁移类推。

【片段4】

1. 出示习题，独立完成。

2. 错例分析，比较探究。

3. 师小结：并不是被除数有几个0，商的末尾也有几个0，我们要看清楚到底去掉了几个0，才能在商的末尾添上几个0。

对于120÷3的口算没有什么难度，让学生说一说其中的算理，学生也都能掌握。而对于400÷8这样的题目，属于学生计算的易错点，也是难点。以错例的出示让学生避免产生思维定式，明确整十整百、整千数除以一位数，商末尾0的个数和被除数末尾0的个数不一定一致。

（五）趣味练习，巧拓展

练习是巩固知识的重要载体，教师更要设计有趣的口算游戏、新颖的口算题型来激发学生的学习兴趣。同时，使学生在基础知识得到巩固的基础上适当地拓展延伸，让学生体会学习知识的乐趣。

四、反思回溯，探索教学本质

（一）凸显运算本质，实现运算一致性

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出“教学评一致性”的教学理念。而数的运算与数的概念一样，其本质上的一致性离不开计数单位这一核心概念。正如本节课中，让学生通过多元表征来明晰算理，整十、整百、整千除以一位数可视为数个十、数个百、数个千除以一位数，即将被除数视为数个计数单位进行计算，使学生深刻体会到数的运算本质上是以计数单位的运算为基础的，从而形成运算能力，形成推理意识，使后续学习两位数除以一位数以及四年级学习除数是整十数的口算除法的过程中，实现了知识的迁移，凸显了运算本质上的一致性。

（二）多元表征、迁移类推，实现深度学习

多元表征可以促进学生对数学知识本质的深刻理解，从不同的表征方式中抽象出算理，突出口算除法的算理内涵。引导学生运用所学知识自主探究新知，培养了学生迁移类推的数学思想，能够为学生未来的长远发展奠定基础。正如这节课，学生通过多元表征抽象出算理，建立算理模型。在说理辨析中，深入探究算理结构。在知识的迁移类推中，拓展算理结构，形成算法模型。这不就正是深度学习的发生。对于口算教学，教师要有类的意识，巧用结构化教具建立口算的模型，让学生从一道题到一类题，充分发挥口算教学单元起始课的作用，为后续笔算教学奠定基础。

（三）精心设计，把口算教“简单”

深度研读教材是做好教学设计的前提，读懂学生心理是进行有效教学的关键。

在开始设计这节课时，笔者认为这节课的内容太少，在深入研究后才意识到这节课可以上得如此丰富。本节课重点是引导学生构建算理的模型，并且在理解算理的基础上概括算法，从而明晰算理，迁移算法。通过“算法先行，巧质疑；多元表征，巧说理；借助教具，巧联系；迁移类推，巧转化；趣味练习，巧拓展”这五个精心设计的环节，使知识之间纵横连接、凝结成块，形成学生的数学核心素养。

对于计算教学，作为教师应该要教“简单”，而不是“简单”教。计算教学还有很多的理念和策略值得我们去研究和深思。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］顾志能.理法更分明 教学更合理［J］.教学月刊·小学版（数学），2023（10）.

［3］吴梦媛.单元整体视角下“口算除法”教学的“破”与“立”［J］.小学数学参考，2023（11）.