探寻二次函数综合题的突破方法

摘 要：纵观广州市历年中考二次函数综合题，题目注重解题思路方法的多样性和入口的宽广性，但不同解题思路的简繁程度却大不相同，不同的解法对应的思维深度和解题长度大相径庭，既保证了各个能力层次的学生有所收获，又能让综合能力优秀的学生脱颖而出。文章以2020年广州市中考压轴题为例，提出二次函数综合题型解题方法、命题规律，指导中考复习。

关键词：二次函数;广州中考;题意剖析;教学建议;备考策略

一、广州市中考二次函数题型主要特点

二次函数题型的问题的提出可分为两类：一是以二次函数、坐标系为平台，表面解析几何，实际却考查平面几何，但本质上仍是几何问题，难点没有设置在二次函数图象性质关系上，偏离考查二次函数的核心内容;二是侧重于根据二次函数的图象去研究对称性、增减性、最值，回归二次函数基本性质。

常考的知识点有：代入已知点坐标求解二次函数解析式或者得出系数之间关系;二次函数的顶点式和一般式之间的转换;二次函数的平移转换;二次函数图象上的点坐标特征，与一次函数、反比例函数的交点坐标;函数与方程、不等式，根在区间上的分布等，多角度考查学生的运用代数知识（消元思想，代数推理，分离常数法）进行逻辑推理的能力。

结论通常会设置三个小问，放在倒数第一题或者倒数第二题，设置上既有可能是独立思考的单个结论，也可以是密切联系层次递进的组合结论。

由于问题结论不同，相应的方法也各具特色。对于纯代数型综合题，充分运用代数解题的基本模式、基本规范、基本变形，进行代入化简、计算、求解，去探究不等式的解集，方程的解，代数式的值等;对于几何代数综合型，通常结合图形变换、图形全等、图形相似、图形存在性等作为问题的前提，从代数观和几何观两个角度去思考问题解决的基本方法。

难度特点：第一问，属于中低档题，重点突出。第二问，目标指向开放，有一定难度，需要学生将众多知识连成网，形成系统知识链才能顺利完成。第三问，难度较高，但呈现方式清晰明了，学生解题入口较宽，容易上手，随着问题解决的深入，思维的灵活性与转化性的要求逐渐增高，考查情境从学科知识化到真实情境化。

二、广州市中考近五年二次函数题型（压轴题）考查内容统计

三、解题思路及题意剖析

（一）2020年广州市中考数学第25题

平面直角坐标系xOy中，抛物线G∶y=ax2+bx+c（0

（1）用含a的式子表示b;

（2）求点E的坐标;

（3）若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为[6a]+3，求y=ax2+bx+c在1

（二）解题思路及题意剖析

1. 第一问是已知二次函数上一个点的坐标，将点坐标代入解析式即可得相关关系式。

解：（1）∵抛物线G∶y=ax2+bx+c（0

题意剖析发现该问属于常规性问题，注重对基础知识的考量，问题的提出方式与平时训练的题目基本一致，大部分学生都能很快领会题意，代入计算得到最终结果。

2. 第二问的难度比第一问有大幅度提升，学生首先要明确做函数类题型一定要数形结合。然后逐个条件进行分析，由0

解：（2）∵B（x1，3），C（x2，3），线段BC上有一点E，∴S1=[12]×BE×3=[32]BE，S2=[12]×CE×3=[32]CE，

∵S1=S2+[32]，∴[32]CE+[32]=[32]BE，∴BE=CE+1。

【这一步涉及表示距离，可用线段符号表示，后面再去探寻怎样表示线段长度（代数方法），或者根据位置和特殊点研究线段之间数量关系（几何方法）】

以下分两种解法：

（1）解法一（代数方法）：①当B在C的左边时，设点E（x，3），则BE=x-x1，CE=x2-x。

【因为已知大小，笔者认为直接以大减小表示距离即可，如果用绝对值表示，学生需要考虑更多，很可能会混淆】

∴x-x1=x2-x+1，整理得：2x=x1+x2+1

此处可从两个方向考虑：

其一：∵B，C关于对称轴对称，求得对称轴为直线x=-[-6a2a]=3对称，∴[x1+x22]=3。

其二：B，C两点横坐标为方程ax2+bx+c=3的两个解，由b=-6a，将方程整理为：ax2-6ax+c-3=0，故x1+x2=-[-6aa]=6。

【此处教师在教学过程中，注意引导学生总结当含参数的二次函数中二次项系数与一次项系数成倍数关系时，马上就得出对称轴或者两根之和】

由这两种方法均可得：∴x1+x2=6，∴2x=6+1

∴x=[72]，∴E（[72]，3）

②当B在C的右边时，设点E（x，3），则BE=x1-x，CE=x-x2，

∴x1-x=x-x2+1，整理得：2x=x1+x2-1，

由上可知，此时E（[52]，3），

故点E（[72]，3）或E（[52]，3）

（2）解法二（几何方法）：如图，设BC的中点为M，

∵b=-6a，∴抛物线G∶y=ax2-6ax+c，

∴对称轴为x=[-6a-2a]=3，

∴BC的中点M坐标为（3，3），

∵BE=BM+EM，CE=CM-EM，BM=CM，BE=CE+1，

∴EM=[12]，

∴点E（[72]，3）或E（[52]，3）。

题意剖析：第二问注重数形结合思想、分类讨论思想，学生在这两点上突破后，才能选择是从几何上，还是从代数上继续推进。如果从代数角度上，学生需要知道水平方向或竖直方向上两点之间距离怎样求，如果从几何角度上需要通过找线段之间的关系。在具体的求解过程中，又会发现有多种多样的解法解释B、C两点横坐标之间的关系。此题思考的全面性、细致性是学生解题的关键。

3. 第三问：由于第二问已经求出来点E有两种情况，这时我们首先要考虑的就是第三问是否也需要分两种情况进行讨论。此时再次需要数形结合，学生通过画图，以及给定F的横坐标为[6a]+3，（0

接下来由直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为[6a]+3，（0

解：（3）∵直线DE与抛物线G∶y=ax2-6ax+c的另一个交点F的横坐标为[6a]+3，

∴y=a（[6a]+3）2-6a×（[6a]+3）+c=[36a]-9a+c，

【此处计算上可作优化】将二次函数解析式化为顶点式：y=a（x-3）2-9a+c，代入点F的横坐标[6a]+3

则y=a（[6a]+3-3）2-9a+c=[36a]-9a+c

∴点F（[6a]+3，[36a]-9a+c），

【用顶点式代入在计算量上大大减少，这里要求学生有较强的洞察力，对于二次函数的解析式能快速根据实际情况自由切换选择计算量最小的代入求值】

∵0

当E（[52]，3）时，DE与抛物线的另一个交点在对称轴左侧，不合题意，舍去。

当E（[72]，3）时，DE与抛物线的另一个交点在对称轴右侧，符合题意。

∵点D是抛物线的顶点，∴点D（3，-9a+c）

方法一：根据三点共线，任意两点所连直线重合，直线重合则k值相等

设DE的解析式为y=mx+n，代入D，E两点坐标为[72m+n=33m+n=-9a+c]，解得：[m=6+18a-2cn=7c-63a-18]

∴直线DE解析式为：

y=（6+18a-2c）x+7c-63a-18，

设DF的解析式为y=px+q，代入D，F两点坐标为[（6a+3）p+q=36a-9a+c3p+q=-9a+c]

解得：[p=6q=18+c-9a]

∴直线DF的解析式为：y=6x+18+c-9a，

∵直线DE与直线DF是同一直线，

∴6=6+18a-2c，∴c=9a，

【这种方法计算量非常大，耗时多，对于很多学生来说比较容易，但是很可能因为庞大的计算量不能计算下去】

方法二：求出直线DE解析式后，联立方程组，此时已知交点坐标D，F，再根据根与系数的关系求解。

设DE的解析式为y=mx+n，代入D，E两点坐标为[72m+n=33m+n=-9a+c]解得：[m=6+18a-2cn=7c-63a-18]

∴直线DE解析式为：y=（6+18a-2c）x+7c-63a-18，

∵直线DE与抛物线另一交点为F

∴[y=（6+18a-2c）x+7c-63a-18y=ax2-6ax+c]

（6+18a-2c）x+7c-63a-18y=ax2-6ax+c

整理得：ax2-2（12a-c+3）x-6c+63a+18=0

∵D的横坐标是3，F的横坐标是[6a]+3，

3+[6a]+3=[2（12a-c+3）a]

整理得：c=9a

【由交点坐标想到联立方程组，之后再联系求根公式。也是比较常规的想法，计算量上和方法一持平】

方法三：根据相似或者正切值

如图所示，由题意可得：△MDE∽△FEN

∴[MDFN]=[MEEN]，

∴[3-c+9a36a-9a+c-3]=[126a-12]

整理得：c=9a

【这种方法能大大减小计算量，但是比较少见，大部分学生很难在中考时间紧迫的情形下想几种方法，并且快速预计计算量的大小】

∴抛物线解析式为：y=ax2-6ax+9a，

∵1

∴当x=3时，ymin=0，当x=6时，ymax=9a，

∴0≤y≤9a。

四、教学建议

（一）立足课本与课标，夯实基础，突出核心素养

教材与课标才是数学教学的根，才是中考数学的靶。教材的编排有“螺旋上升”的优点，也有知识点分散的缺点。教师应加强各模块知识的内部整合，更要探究各模块知识的交会问题。

（二）注重培养学生由数想形、由数得图、由形得数、借图验数的能力

平时在做函数类题型时，教师要督促学生多画图，多从图中找隐含条件，分析函数性质。通过函数图象，运用数形结合思想解决代数问题，对图形所含信息进行横向挖掘和纵向突破，引导学生从几何直观的角度分析、思考，引导学生发现解题思路，在思路分析过程中提倡先估后算、先猜后证、多想少算。

（三）加入数学实验活动

数学实验强调学生在思维引领下的动手实践操作，在实验情境中学生通过观察、操作、思考、交流，对新知进行构建，能够加深对算理、算法的理解，有效促进学生自主学习，在潜移默化中提升核心素养。

（四）培养分类讨论思想

教师在教学中应注意加深对分类标准的多样性和适用性的感知，引导学生感知分类讨论思想，清楚求解指向，找出相应分类标准，让学生真正在分类讨论中形成能力，成就个体素养的有效提升。

（五）了解高中教材，注重初高衔接

教师深挖教材，尤其是在初中教材中没有深入研究的高中教材知识点，所以教师要了解高中教材，注重衔接，在教学中注意引导学生领悟出其中的解题方法、核心概念、基本性质、基本思想、基本方法等，培养学生的高阶思维能力。