齐同术在高中数学教学中的应用初探

摘 要：齐同术不仅是中国古代处理比率问题的一种通用方法，还孕育出了诸多影响深远的数学模型。将齐同术应用于今日高中数学的多个领域，可以处理幂的运算问题，推导均值不等式、等比数列求和公式、正弦定理和众多三角公式，等等。由此，获得中国古代数学融入相关主题教学的一些启示：古法今用，推陈出新；以术为纽，建立联系；以文化人，落实德育。

关键词：高中数学；齐同术；中国古代数学；古法今用；思想统领

中华优秀传统文化源远流长、历久弥新，有着独特的育人价值。中国古代数学是其重要的组成部分，中国古代数学家创造的杰出数学成果、积累的数学思想方法、敢为人先的创新精神与坚持不懈的探究精神都是宝贵的无形财富。在大力弘扬中华优秀传统文化进课程、进课堂的当下，数学教育工作者应该有“文化担当”［1］。宣扬中国古代数学，传承文明，古为今用，推陈出新，让学生汲取思想养料，感悟前人智慧，感受中华优秀传统文化的魅力，是时代对一线数学教师提出的要求。

《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰，与《几何原本》在东西方辉映的算法之书［2］。刘徽为《九章算术》做的注解更是珍贵的数学宝库，既厘清了古代数学体系，完善了理论基础，又取得了许多创造性成果。齐同术正是这些成果中的一颗璀璨的明珠，刘徽将其称为“算之纲纪”。它不仅是中国古代处理比率问题的一种通用方法，还孕育出了诸多影响深远的数学模型。

从教育的角度说，中华优秀传统数学文化之所以“优秀”，除了中国特色、世界意义的原因之外，还有一个重要原因：创新之源。将中国古代数学的思想方法用于新问题的解决，从而实现创新，这是中国古代数学进课堂最重要的途径。本文探讨齐同术在高中数学多个领域中的应用，为中国古代数学融入相关主题的教学提供参考。

一、 齐同术的源流

齐同术最早见于刘徽对《九章算术·方田章》中“合分术”的注解。合分术称：“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之，其母同者，直相从之。”［3］刘徽利用齐同术，对上述解法做了解释：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同，共一母也；齐者，子与母齐，势不可失本数也。”［4］

也就是说，求若干个分数的公分母称为“同”，只有“同”，才能进行分数的加减运算；借助于分数的基本性质使各个分数的分子发生相应的变化称为“齐”，只有“齐”，才能保证分数的值不变。因此，利用齐同术可以在保持分数值不变的前提下，将异分母转化为同分母，也就是今天所说的“通分”。刘徽还给出了理论依据：“一乘一除，适足相消，故所分犹存。”“法实俱长，意亦等也。”

齐同术的运用并不局限于分数的运算，刘徽还将其应用于盈不足术的推导、方程组的求解等，进而将其发展成为适用于一切比率问题的一般方法：“凡率错互不通者，皆积齐同而用之。”“然则齐同之术要矣：错综度数，动之斯谐，其犹佩觽解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎。”［5］即从广义上讲，齐同术是将“错互不通”之率化为互通之率的通法。

“方以类聚，物以群分。数同类者无远，数异类者无近。远而通体者，虽异位而相从也；近而殊形者，虽同列而相违也。”足可见齐同术作用之大。实际上，正因为“比例系数”在数学中无处不在、十分重要［6］，齐同术便有了极大的用武之地。

今日，齐同术的内涵也有了更丰富的发展：对两个本质上相同的对象，在保持本质不变的基础上（齐），通过转化把它们变为相同的形式（同）。一般地，即先找“同”，再看“齐”。人们熟知的“算两次”原理可以看作一种特殊的齐同术：先确定同一个数学研究对象，再看它所具备的“双重身份”——既满足条件A，又满足条件B［7］，A和B即可被视为“齐”。对此，美籍数学家波利亚曾形象地说：“抛两个锚安全系数更大。”［8］

七、 启示

表面上看，“幂指对”换底公式、均值不等式、等比数列前n项和公式、正弦定理、三角公式等属于高中数学课程的不同知识领域，但实际上，其背后都有着齐同术的影子。即使在今天看来，刘徽称齐同术为“算之纲纪”也是恰如其分的。从齐同术的应用中，我们可以得到如下启示：

（一） 古法今用，推陈出新

在今日的中学数学教学中，人们几乎只字不提中国古代数学中的“齐同术”，但事实上，齐同术有着广泛的应用。刘徽将齐同术用于分数、比例、方程等有关的问题。在刘徽的基础上，我们可以将齐同术用于古人未曾涉足的领域，如“幂指对”的运算，从而引发学生的创新。例如，在对数概念的教学中，教师可以从同底数幂的乘法运算出发，让学生感受指数律在求大数乘积时的巨大优越性；然后提出底数不同的幂的乘法问题，让学生用齐同术来思考；最后，自然地引入对数的概念。再如，在幂函数性质的教学中，教师可以引导学生用齐同术来判断不同底数的幂函数之间的关系。

古法今用不仅体现了数学思想的历史传承，还彰显了人类智慧的延续与创新。温故知新，告往知来，正是中华优秀传统数学文化之所以“优秀”的重要原因。

（二） 以术为纽，建立联系

在上文中，我们看到，利用齐同术可以将正弦定理的不同证明方法统一起来，可谓“一术统多法”。这充分表明，中国古代数学思想在今天的数学教学中可以发挥“兼收并蓄”的作用。数学知识并不是一系列干枯的数字和公式，而是一段人类智慧与创造的旅程。运用数学思想，能够激发数学知识中可以建立关联的触点潜能，将不同知识联系起来。例如，齐同术可以作为平面三角学知识的纽带，应用到不同的知识点上（如图10所示）。

（三） 以文化人，落实德育

数学史的应用与古代数学思想的传承给予了数学教学人文的一面。古今对话，为学生提供了更多探究与思考的机会，甚至是人生的启迪。齐同术得以拥有用武之地，正是因为差异的客观存在。这启迪学生正视差异，尊重差异，学会求同存异，做到和而不同：在为了和谐而求同的途中，不要随波逐流，迷失自己；不要忘记根本，丢失本心。

齐同术是刘徽基于自己对数学的理解，在思想方法构建上取得的创造性成果。齐同术背后蕴含着中国古人化异为同、求同存异的智慧，更彰显尚和合、求大同的崇高理想。这不仅是中华民族不懈的追求，更是全球文明殷切期盼的人类命运共同体理念之体现：在尊重差异的基础上，寻找彼此的共同点，达成合作共赢。齐同术是数学知识与中华优秀传统文化联结与融通的载体，也是学科德育的良好素材，值得进一步深入挖掘。

参考文献：

［1］郑毓信.数学深度教学的理论与实践［M］.南京：江苏凤凰教育出版社，2020： 65-66.

［2］［3］［4］［5］郭书春.汇校《九章算术》［M］.沈阳：辽宁教育出版社，2004：1，2，27，29.

［6］徐章韬.从比例系数到相似比、三角函数——教育数学研究之八［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2019（3）：58-61.

［7］单壿.单壿数学与教育文选［M］.上海：华东师范大学出版社，2021：148-150.

［8］G.波利亚.怎样解题：数学思维的新方法［M］.涂弘，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2011：52.

［9］汪晓勤.同底数幂运算律的历史［J］.中学数学月刊，2015（1）：46-48.

［10］R.柯朗，H.罗宾.什么是数学：对思想和方法的基本研究［M］.左平，张饴慈，译.上海：复旦大学出版社，2012：69.

［11］梅文鼎.平三角举要［M］//郭书春.中国科学技术典籍通汇·数学卷（第4册）.郑州：河南教育出版社，1994：1030.

［12］汪晓勤，等.美英早期三角学教科书研究［M］.上海：华东师范大学出版社，2023：330-331.