以解决实际问题为导向的数值分析教学模式改革研究

摘  要：数值分析是一门研究如何利用计算机求解数学问题的学科。针对传统数值分析课堂内容枯燥，学生不易接受这一特点，该文提出以解决实际问题为导向的教学模式。文中通过三个案例介绍该教学模式的具体授课方法，包括课上如何启发学生，课下如何布置研究课题等环节。三个教学案例分别对应数值分析学习的不同阶段，从易到难，起到鼓励学生动手计算、与其他课程紧密联系、培养学生科研思维的良好作用。学生对此教学模式反馈很好，提高其课堂参与度，加强其灵活应用知识的能力，为今后进一步深化课程考核模式改革提供良好基础。

关键词：数值分析；解决实际问题；案例教学；教学改革；教学模式

中图分类号：G642      文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2025）08-0134-04

Abstract： Numerical analysis studies the numerical methods for mathematical problems with the aid of computers. In the traditional teaching mode of this course， the students feel boring and difficult to understand the theory. So a new teaching mode is proposed， which is called practical problem solving mode. Three examples are presented to show the concrete steps of this teaching mode， including how to inspire the students and how to assign research homework. These three examples are corresponding to the different phase of the course study， from easy to. With this new teaching mode， the students are encouraged to do more computational practices， make connections between different courses， and cultivate the ability of scientific research. The students give a satisfactory feedback with this teaching mode， because they can participate more in the class and apply the knowledge they have learned into practice. This teaching reform builds a good foundation for the reform of course assessment.

Keywords： numerical analysis; practical problem solving; case study; teaching reform; teaching mode

习近平总书记在党的二十大报告中提出“加快建设教育强国、科技强国、人才强国”。作为教育工作者，我们要为党育人、为国育才。数学是基础性学科，其他学科的发展都离不开数学。在高等教育中，数学也起到了重要作用，从高等数学、线性代数到数值分析，这些课程的学习均为专业知识的深入学习提供了坚实基础。只有打好了基础，才能在专业领域游刃有余。将课本的知识传授给学生是教师的本职工作，能够让学生灵活运用知识去解决实际问题是教师教学的重要目标。作为数学教师，我们要积极探索新型的教学模式，打破“数学课很枯燥”的刻板印象，寻找学生的兴趣点，将实际问题融入教学，也将课本知识运用到解决问题中去，让学生实实在在看到数学的用途，感受到它的强大力量。这样才能坚定学生“我可以”的信心，帮助学生达到“我会用”的境界，真正发挥出数学知识的作用。

在计算机技术日新月异的今天，数学学科的发展逐渐与计算机技术产生了更紧密的联系。在实际应用领域中产生的数学模型和计算难点，都吸引着数学研究者们。实际问题中抽象出来的数学模型往往涉及大规模的计算量和数据量，这使得我们必须求助计算机来解决。在数学学科的分支中，我们把研究如何利用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其软件实现这一分支称为计算数学[1]。而数值分析正是计算数学中的基础课程，它包括了数值代数、数值逼近、常微分方程数值解这三个部分。大连海事大学的数值分析课程有面向本科生阶段的，也有面向研究生阶段的，涉及专业非常广泛，包括应用数学、统计学、轮机工程和通信工程等十几个专业。学生知识背景的复杂性对授课内容的针对性提出了很大的挑战。如何吸引学生兴趣，让学生能够将数值分析的复杂理论听进去并灵活掌握，是课程教学改革的重要目标。

近年来，高等教育工作者们已经认识到传统的数值分析教学模式不能激发学生的学习兴趣，学生学习目标不明确，学习效果不理想。因此，大家开始积极进行教学改革探索。张瑞[2]在文献中提出了“问题解决”模式的教学改革，通过每次课前提出问题，让学生自主讨论，努力找出解决办法来激发学生学习的自主性。王海军等[3]提出了根据培养目标优化教学内容，根据学科特点增加实践教学内容等方式，提高学生创造性思维能力。2017年2月以来，教育部积极推进新工科建设，在这样的背景下数值分析课程也在努力进行课程改革来适应新形势。唐玲艳等[4]针对研究生计算思维和工程思维的培养，探讨了课程定位、教学内容、教学模式和课程思政等问题。王海军等[5]将问题驱动思想引入课堂教学，形成了“理论讲授—专题研讨—案例实践”的授课体系和课内考试与专业实践考核结合的考核方式。覃桂茳等[6]则将翻转课堂教学模式引入到数值分析教学中，充分调动学生的学习积极性，收到了良好的效果。张建华等[7]构建了以计算思维和工程思维为核心的课程教学模式，为新工科研究生创新能力的培养提供了有效途径。更多关于数值分析教学改革实践的文章可参阅文献[8-12]。

一  以解决实际问题为导向的教学模式

传统的数值分析课堂教学内容枯燥、公式较多、理论冗长，学生难以接受，经常听了几节课就开始打“退堂鼓”。到了临近考试时又不得不挑灯夜战，机械记忆。为了改变这种教与学的现状，激发学生的学习兴趣，让学生主动参与到课堂中来，本文中提出了一种以解决实际问题为导向的教学模式：提出一个实际问题—学生分组探索解决方法—老师评价与总结。该教学模式可以充分激发学生的主观能动性，让学生成为课堂主人。通过课后学生反馈来看，教学效果是非常好的，既可以避免学生上课犯困或做与课堂无关的事情，让他们充分参与到课堂中来，也可以锻炼学生的创造性思维，让他们体验从面对问题到解决问题的整个过程。这对于学生今后在工作中处理问题，或者在今后的求学过程中进行科学研究，都是大有助益的。

以解决实际问题为导向的教学模式将传统老师为主的课堂翻转为老师与学生共同参与、一起讨论的课堂。我们把传统的由老师牵引的“一根线”式的课堂内容加以优化，把授课重点由案例引入，先让学生们分组自己讨论解决办法。学生遇到困难时，老师再加以提示和讲解。如果学生能够顺利解决，则可以让学生先展示自己的解决方法，再由老师评价和补充。这样提高了学生的课堂参与度，让他们感受到了自己探究和解决问题的能力，逐渐建立起信心，同时也培养了学生进行科学研究的思维方式。在选取案例时，要遵循由易到难的顺序，这样可以让学生先体会到自己解决问题的成就感，鼓励他们能够接受这样的授课方式，愿意主动探索未知的知识。随着课程内容的加深以及学生所学知识的增加，教师可以逐渐将案例的难度提升，与部分科研内容相结合，将课上分组讨论的形式转化为课下分组作业。这样学生能够有更多的时间来尝试各种解决问题的方法，并且在计算机上进行编程实践。在案例背景的选择方面，也可多与学生学过的课程相联系，例如概率论与数理统计、线性代数、大学物理等。这样学生能够了解到各门课程之间的联系，也能切实感受到数值分析课程的用途。下面我们通过三个案例来说明以解决实际问题为导向的教学模式的具体实施方法。

二  该教学模式的具体实施方法

（一）  提高学生课堂参与度

首先，我们用教材[1]引论部分的例题来说明如何引导学生在课程的开始就积极参与进来，养成多动手、多思考的习惯。由于课时分配较少，很多青年教师对课程的引论部分讲解并不是十分重视，更多地把精力放在了后续重要知识点的讲解上。其实，每一门课程的引论都是非常重要的，只有在课程开始就吸引住学生的兴趣，才能让他们保持后续课程的出勤率，才能有机会让他们听到更重要知识点的讲解。所以，我们不妨在引论部分稍微多花点时间，根据学生的知识背景和兴趣点选取几个合适的例子让他们参与进来，这样可以让学生切实感受到课程的重要性和趣味性，同时让他们建立起“我能行，我会算”的信心，避免第一次课就让复杂理论将学生的心理防线击破。

案例1：不借助计算器，如何笔算ln2？

解：两种计算方法如下，请大家分别按照下面两个公式计算三项，得到ln2的近似值，并与真实值0.693 1（保留四位有效数字）进行比较。

给出例题后，先不急于将两种计算方式告知学生，可以让学生分组讨论一下，每组自行拟定解决方法。如果学生自己想不出来，可以提示学生考虑级数展开的思想，如果碰到基础较差的学生可进一步提示出级数的具体展开式，然后让学生自己代入计算。通过计算，学生会发现第一种方法前三项的近似值为0.833 3，第二种方法为0.693 0，与真实值对比可以看出明显是第二种方法的近似效果更好。然后可以引导学生对第一种方法再多算几项，比如前五项的近似值为0.783 3，发现虽然项数增多时近似效果变好，但是收敛速度明显低于第二种方法。最后，再引导学生思考产生这种现象的原因，鼓励大家积极融入讨论当中。这个例题既可以提高学生对数值分析课堂的参与度，也能培养学生自主解决问题的能力，并让学生对数值算法的收敛速度有了初步的认识。在课堂上多引入适当的案例，让学生自己探索，自己总结其中的原理，这是以解决实际问题为导向的教学模式的第一步。先用简单具体的案例让学生融入到课堂中，建立起解决问题的信心，然后再进一步加深难度，拓宽广度，用更多的案例引导学生继续探究，获得更多关于数值分析的知识以及解决实际问题的能力。

（二）  积极与其他课程建立联系

在讲授数值积分时，我们又给出了一个案例，让学生联系其他课程中学习过的知识，解决实际生活中碰到的问题。借助此案例，可以向学生说明数学的各门课程不是孤立存在的，它们彼此间存在紧密联系，数值分析课程中学习到的计算方法可以用来处理以前课程中无法直接计算的问题。

案例2：已知工厂生产的某种产品直径均值为100 mm，标准差为1 mm，符合正态分布，那么该机器生产的产品大约有多少直径在98～102 mm之间？请利用数值积分的知识进行计算。

解：由于正态分布的密度函数无法直接写出原函数，故该问题可以利用复合梯形公式或者复合辛普森公式进行计算。对于复合梯形公式，我们将[98，102]这个区间n等分，

对于复合辛普森公式，我们有

根据上述计算公式，在MATLAB软件或Python软件进行编程实现，并计算出最后结果，大约在95%。

此例题适合在学习完数值积分后布置给学生，作为课下的小组作业。让学生自己选择数值积分公式，可以把每一种学过的公式都尝试一下，看看哪个公式效果更好。同时，还可以通过增加剖分数n，让学生比较一下不同的复合求积公式的误差。该例题是概率论与数理统计中的一个实际问题，它反映了著名的正态分布的“3？滓原则”：约有68%的数据点落在均值的一个标准差范围内；约95%的数据落在均值的两个标准差范围内；约99.7%的数据点落在均值的三个标准差范围内。这个原则，我们在概率统计里已经通过查阅正态分布概率表验证过。但是，表中的数据是从何得来的呢？其实也是通过数值积分利用计算机编程计算得到的。学过数值积分后，学生们完全可以自己编写一个小程序来计算正态分布的概率表。因此，通过该例题的练习，既锻炼了学生编程解决实际问题的能力，也让学生看到了各门课程间的紧密联系，体会到数值分析课程的用途。有了该例题的启发，可以让学生课下思考一下，以前课程中查过的表，例如开方表、三角函数值表等，其实都可以利用数值分析的知识进行近似计算得到。可以让学生挑选一个感兴趣的表格，作为课下分组作业，完整阐述计算原理和编程思想，附上具体的程序代码和计算结果。当然，数值分析还可以与很多其他课程的知识点相联系，例如大学物理里的一些复杂积分计算或者微分方程的求解等。鼓励学生多发现，多探索，既可以激发学习兴趣，也可以锻炼学生发现问题、解决问题的能力。