从猜想到验证，提升学生解决问题能力

［摘 要］为了让学生经历从猜想到验证的过程，提升他们解决问题的能力，以苏教版数学教材六年级主题活动“怎样围面积最大”为例设计教学：首先，思考不靠墙，周长一定时什么图形面积最大；接着，思考一面靠墙，周长一定时什么图形面积最大；然后，对比辨析，发现关系；最后，思考两面靠墙时，圆的面积大小的计算方法。

［关键词］猜想；验证；解决问题能力；周长；面积

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2025）09-0047-03

“主题活动”是综合与实践的主要内容，包括融入数学知识学习的主题活动、运用数学知识及其他学科知识的主题活动。在六年级的数学主题活动中，教师通过“当一个平面图形的周长相等时，怎样围面积最大”这一问题，引导学生辩证思考、综合运用长方形、正方形、圆形的周长和面积知识解决问题，发现不同平面图形之间周长与面积的关系，获得了不错的教学效果。

【教学内容】六年级数学主题活动“怎样围面积最大”（苏教版数学教材）

【教学目标】利用周长相等的条件，能计算出不同平面图形的面积，发现圆的面积最大；利用周长相等的条件，能计算出一面靠墙时不同平面图形的面积，发现圆的面积最大；能合理解释周长相等时，一面靠墙围成平面图形（长方形、正方形、圆形等）的面积是不靠墙围成平面图形的面积的2倍。

【教学重点】利用周长相等的条件，能计算出不靠墙和一面靠墙时不同平面图形的面积，并发现圆的面积最大。

【教学难点】能合理解释周长相等时，一面靠墙围成平面图形（长方形、正方形、圆形等）的面积是不靠墙围成平面图形的面积的2倍。

【教学过程】

一、不靠墙，周长一定时什么图形面积最大

1.猜想

出示问题：用24米长的木篱笆围一块菜地，怎样围面积最大？

师：当周长一定时，围什么图形的面积会大一些？（学生根据已有的知识经验，猜想可能围成圆形或正方形的面积会大一些）

2.探究

师：当周长为24米时，围成的正方形和圆形的面积是多少？为了方便计算，π取值为3。

生1：如果围成的图形是正方形，由于正方形的边长是24÷4=6（米），所以面积是6×6=36（平方米）。

生2：如果围成的图形是圆形，由于圆形的直径是24÷3=8（米），半径是8÷2=4（米），所以面积是4×4×3=48（平方米）。

师：也就是说，周长一定时，围成圆形的面积会大一些。

[设计意图]课始，通过问题激发学生的好奇心和求知欲，并鼓励学生基于自己的直觉和已有的知识经验进行猜想。大部分学生猜想周长一定时，可能是正方形或圆形的面积最大，但也意识到仅凭猜想是不够的，需要通过科学的方法来验证自己的猜想。这样教学意在让学生体会到数学探索的乐趣，深刻理解周长与面积之间的关系，以及圆形在几何学中的特殊性。

二、一面靠墙，周长一定时什么图形面积最大

1.猜想

师：接下去，我们可以研究什么？

生3：如果一面靠墙，周长一定时什么图形的面积最大？

2.探究

师：用周长24米的木篱笆靠教学楼墙壁围一块菜地，围成哪种图形的面积最大？

生4：如果圆形一面靠墙就是半圆。可以先将其看成一个完整的圆，再计算半圆的面积。由于圆的半径是24×2÷3÷2=8（米），所以半圆的面积是3×8×8÷2=96（平方米）。

生5：如果正方形一面靠墙，正方形的边长是24÷3=8（米），正方形的面积是8×8=64（平方米）。

生6：如果长方形一面靠墙，最大长方形的长是12米，宽是6米，故面积是12×6=72（平方米）。

师：通过计算，我们发现周长一定时，如果一面靠墙，半圆的面积大一些。

[设计意图]继续引导学生思考周长一定时，如果一面靠墙，围成什么图形的面积最大。起初，学生自然而然地想到了长方形、正方形和圆形，并尝试将这些图形与题目中的特殊条件“一面靠墙”相结合。在计算面积时尝试建构新的图形模型，尤其是半圆靠墙的模型，学生发现靠墙的一侧是完整的直径，只需要用固定的周长去围成半圆的圆弧部分就可以了。通过计算和比较，学生发现周长一定时，如果一面靠墙，半圆的面积大一些。这一发现不仅验证了学生的猜想，还深化了他们对几何形状与面积之间关系的理解。

三、对比辨析，发现关系

1.发现图形面积之间的2倍关系

师：比较周长一定时，不靠墙与一面靠墙，圆形（或半圆）、长方形、正方形之间的面积关系。同时，说一说自己发现了什么或有什么问题。

生7：我发现周长一定时，如果不靠墙，围成圆形的面积最大。

生8：我发现周长一定时，如果一面靠墙，半圆的面积是最大的。

生9：我发现周长一定时，不靠墙的圆形面积是48平方米，一面靠墙的半圆面积是96平方米，即一面靠墙的半圆面积是不靠墙的圆形面积的2倍。

生10：我发现周长一定时，不靠墙的正方形面积是36平方米，一面靠墙的长方形面积是72平方米，即一面靠墙的长方形面积是不靠墙的正方形面积的2倍。

生11：是不是靠墙的边长越长，围成图形的面积就越大？

2.解释圆形和半圆面积的2倍关系

师：能否运用不同的方法解释“一面靠墙的半圆面积是不靠墙的圆形面积的2倍”的原因？

生12：（通过计算来说理）不靠墙时，圆形的周长是24米，圆形面积是48平方米；一面靠墙时，半圆的周长是24米，半圆的面积是96平方米。所以，一面靠墙的半圆面积是不靠墙的圆形面积的2倍。

生13：（通过图形之间的数量关系来说理）一面靠墙时，圆形周长是不靠墙的圆形周长的2倍，故一面靠墙的圆形半径是不靠墙的圆形半径的2倍，一面靠墙的圆形面积是不靠墙的圆形面积的4倍；又因为一面靠墙的圆形其实只能围成一半，即一面靠墙是半圆，计算时还要把原来一面靠墙的圆形面积除以2。所以，一面靠墙的半圆面积是不靠墙的圆形面积的2倍。

3.解释正方形和长方形面积的2倍关系

师：能否运用不同的方法解释“一面靠墙的长方形面积是不靠墙的正方形面积的2倍”的原因？

生14：（通过计算来说理）不靠墙时，正方形的周长是24米，正方形面积是36平方米；一面靠墙时，长方形三条边的长是24米，即长方形的长是12米，宽是6米，长方形的面积是72平方米。所以，一面靠墙的长方形面积是不靠墙的正方形面积的2倍。

生15：（通过图形之间的数量关系来说理）一面靠墙时，完整的大方形就是一个大正方形，一面靠墙完整的大方形周长是不靠墙的正方形周长的2倍，故一面靠墙完整的大方形面积是不靠墙的正方形面积的4倍；又因为一面靠墙完整的大方形其实只能围成一半，即一面靠墙是长方形，计算时还要把原来一面靠墙完整的大方形的面积除以2。所以，一面靠墙的长方形面积是不靠墙的正方形面积的2倍。

生16：（通过图形边线平移来说理）不靠墙时，正方形边长（6米）通过边线平移，可以转化为一面靠墙的长是12米、宽是6米的长方形，故转化后的长方形是原来的2个正方形。所以，一面靠墙的长方形面积是不靠墙的正方形面积的2倍。

[设计意图]在探索平面图形面积与周长关系的学习过程中，通过一系列活动，帮助学生理解并验证在周长一定且存在一面靠墙的特定条件下，圆形、半圆、长方形、正方形之间面积的特殊关系。这样不仅能加深学生对几何概念的理解，使他们学会运用多种方法解释和验证几何定理，还可以促进他们的逻辑推理，培养他们的数学思维和问题解决能力。

四、两面靠墙，探究圆的面积大小

1.猜想

师：如果圆形两面靠墙会是什么形状？（在学生通过空间想象判断出是四分之一的圆形后，教师让学生在白纸上画出圆形两面靠墙的形状）

2.计算

师：周长一定，两面靠墙时，四分之一圆形的面积是多少？

生17：因为四分之一圆形的周长是24米，整个圆形的周长是24×4=96（米），圆形的半径是96÷2÷3=16（米），所以这个四分之一圆形的面积是3×16×16÷4=192（平方米）。

3.发现

多媒体出示：周长都是24米的情况下，不靠墙时圆形的面积是48平方米，一面靠墙时半圆的面积是96平方米，两面靠墙时四分之一圆的面积是192平方米。

师：大家观察思考一下，看看有没有什么发现。（学生发现两面靠墙时四分之一圆的面积是一面靠墙时半圆面积的2倍）

师：如果两条半径的夹角是45°，这个扇形的面积会如何变化？（同时借助课件的动态演示，让学生直观看到扇形的半径变长、面积变大了）

……

[设计意图]随着探索的深入，将学生关注的焦点引向更为复杂的情况，进一步发展他们的逻辑思维和数学运算能力。

【教学反思】

苏教版数学教材六年级的主题活动“怎样围面积最大”是一个极富启发性和实践性的教学内容。它不仅考查学生的空间想象能力和数学运算能力，更重要的是通过猜想和验证，培养学生的问题解决能力。

1.经历猜想，激发兴趣

上述教学，教师在每一个环节都鼓励学生根据已有的知识和经验进行大胆猜想。比如，当学生知道一面靠墙时半圆的面积最大后，教师引导学生猜想当两面靠墙时面积最大的可能是什么图形，并让他们说明猜想的依据。这种开放性的提问，能有效培养学生的直觉思维和创造力，帮助他们建立更牢固的知识之间的逻辑联系。

2.经历验证，解决问题

在验证过程中，学生尝试运用面积公式、图形之间的数量关系等建立数学模型，验证猜想的正确性。这样不仅能将抽象的数学问题具体化，加深学生对知识的理解，还能促使学生提出不同的验证思路和方法，培养学生的逻辑思维和数学建模能力。

3.经历反思，促进理解

通过反思总结，学生回顾自己的猜想、验证过程以及遇到的困难和挑战，发现了不同条件下面积最大化的规律，如“两面靠墙时四分之一圆的面积最大”等。这种发现有助于学生将所学知识运用于实际生活中，提出更多新的问题和解决方法。

总之，“怎样围面积最大”这一主题活动不仅是一次数学知识的探索之旅，更是一次提升学生问题解决能力的深度学习之旅。通过猜想、验证、总结与反思等环节的设计和实施，学生不仅掌握了所学的数学知识与技能，更学会了如何运用数学思维和方法解决生活中的实际问题。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 张屹，王珏，谢玲，等.小学数学PBL+CT教学促进学生计算思维培养的研究：以“怎样围面积最大”为例[J].华东师范大学学报（教育科学版），2021，39（8）：70-82.

[2] 朱娇洁.怎样围面积最大：《用列举的策略解决问题》教学与反思[J].小学教学设计，2020（35）：57-58.

[3] 杨道吉.积累课题研究活动经验发展探索解决问题的能力：以“怎样围面积最大”一课教学为例[J].小学教学（数学版），2021（12）：14-16.

（责编 杜 华）