APOS理论视角下小学数学度量概念教学路径

［摘 要］文章基于APOS理论，以“认识厘米”教学为例，系统解析该理论指导下度量概念教学的四阶段实施路径：情境驱动、操作反思、分层练习、网络建构。

［关键词］APOS理论；认识厘米；度量概念；教学路径

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2025）08-0069-03

美国学者杜宾斯基提出的APOS理论为数学概念学习提供了重要认知模型。该理论不仅揭示数学概念形成的心理机制，更为教学设计提供了可操作的框架，强调概念学习需经历操作、过程、对象、图式四个递进阶段。

操作（活动）阶段是指学生在教师的提示下，完成教师安排的一系列操作活动。学生通过直接的外部指令或者教师提示下的观察、动手操作等外显活动和思考、回忆等内隐活动，学生根据已经习得的学习经验，初步形成对相关概念的初步感知，同时获得对规则的初步认识，并理解和接受规则。

过程阶段是指当行动被重复和反思时，个体就会从依赖外部线索转向对它们进行思维的内部控制。其特点是能够在头脑中想象、执行这些步骤，而不需要具体地执行每个步骤。

对象阶段是指学生不断对数学对象进行加工和提炼，形成对概念本质的整体认知，然后对整体化的概念赋予数学定义和符号，并不断进行提炼和表达。

图式阶段是指学生通过操作阶段、过程阶段和对象阶段将原有认知结构中的相关概念与新概念联系和整合，形成新的概念框架，同时整合和联系原有的认知结构，使个体的概念认知水平在不断建构的过程中对概念的理解达到更高的层次。

基于APOS理论四阶段特征，本研究以“认识厘米”教学为例，探索度量概念教学的实施路径。

一、操作阶段：创设活动，引入概念

根据皮亚杰认知发展理论与APOS理论的核心观点，数学概念的形成始于具身化的动作体验。通过创设真实问题情境，能将抽象概念转化为可操作的实践任务，激发学生自主探究欲望。与传统教学中重结果轻过程的范式不同，本阶段教学设计遵循“体验—反思—建构”的认知逻辑。具体而言，概念的建立源于学习者对动作的定向转换，既包含抽象思维活动，也涉及具体肢体动作。以度量概念教学为例，传统教学往往侧重概念的静态符号化呈现，忽视了概念动态生成的过程性价值。这种教学方式与当前课程标准倡导的“做中学”理念相悖。因此，教学设计需立足学生既有经验，通过系列化活动激发学生的认知内驱力，使学生在需求驱动下深度参与体验活动，助推量感持续生长。基于此，活动阶段的教学设计包含以下核心环节。

（一）活动素材的系统化选编

活动素材是教师开展活动的基础。首先，由于度量概念的抽象性，教师在活动素材的选择上，考虑更多的是直观性、可操作性特点，同时这些素材是学生生活中常见的、不陌生的。其次，活动素材必须符合本节课的教学内容，能够帮助教师完成本节课的教学任务，让活动真正发挥它的教学价值。符合学生需求的活动素材，不仅可以帮助学生将抽象的度量概念具体化，还会给学生带来丰富的活动体验。如此，学生能够积累相关的数学活动经验，加强数学学习的兴趣。

例如，在“认识厘米”一课中，由于二年级学生以直观的思维为主，抽象思维还很薄弱，教师可选择让学生测量身高、书本长度、课桌长度、文具长度等，真正实现数学服务于生活的教学理念。

（二）设计多维的体验活动

开展体验活动是培养学生量感的重要方式。体验活动必须是有层次、有目的的。多维体验活动可逐步调动学生多种感官参与，使学生经历“量”的产生过程，感受度量概念产生的必要性，逐步建立对度量概念的表象认知。这里的体验活动更强调通过具体活动引发思考，让学生在动手中思考，在思考中反思。

在“认识厘米”的教学中，教师创设测量课桌长度的情境，引导学生用拃这个非标准单位进行测量。当出现“教师量得3拃”与“学生量得6拃”的差异时，教师抛出关键问题：“为何同一张桌子会量出不同长度？”学生通过动手操作发现手的大小差异导致结果不同，进而理解统一标准的重要性。这一过程整合了触觉（手指丈量）、视觉（观察差异）、动觉（肢体协调）等多模态体验，促使学生在具身实践中实现从具象操作到理解抽象概念的过渡。教师通过“量—数—思”三个层次任务链，既制造了认知冲突，又引导学生在反思中重构概念体系，从而自然引出“1厘米”这一标准化度量单位。

（三）落实多样化的估测活动

在量感的形成过程中，比较和估测是必不可少的重要环节。生活中能用单一标准度量单位表示的物体较少，因此教学中需借助身体尺和生活尺帮助学生建立标准度量单位的表象，再通过迁移应用帮助学生深化理解。

例如，“寻找生活中的1厘米”系列活动：建立食指宽度约1厘米的经验尺，开展“不用尺估计物体厚度”“多种方法验证橡皮、小方块的厚度”“几枚1元硬币叠加高度约为1厘米”“橡皮长度测量”等活动，并设置开放性问题链“能描出5厘米线段长的吗？”“教室门高多少厘米？”让学生课后思考。学生在测量橡皮厚度时，通过与硬币叠加高度对比，将抽象单位与具象物体深度关联，逐步形成稳定的量感结构。

二、过程阶段：反思操作，深化概念

过程阶段作为学生数学思维形成的关键时期，是对前一阶段活动的反思与抽象。在度量概念教学中，学生首先通过完成教师的操作指令，产生学习需求，再通过操作与感知活动对概念形成表象理解。随后，通过重复与反思，将活动内容内化为自身认知，构建新的认知程序。行为活动的“数学化”是学生自主构建概念模型的核心路径。因此，度量概念教学的过程阶段设计需聚焦以下两方面。

（一）在反思中发展量感

反思操作是过程阶段的核心环节。通过系统反思，学生能够对比度量概念的特征，抽象其本质属性，从而推动量感的发展。在此过程中，教师可通过设计关键问题引导学生思考，如“你是如何确定这一长度的”，促使学生回溯操作步骤，提炼数学经验。需注意的是，学生往往难以独立完成经验转化，因此教师需适时介入，通过结构化引导帮助学生将活动经验升华为数学认知。这一阶段不仅是量感精细化的关键，更是数学活动经验积累的核心环节。

例如，在学生认识了1厘米后，教师设计活动“寻找生活中长度约为1厘米的物体”。学生完成后，教师提问：“如何确认物体的准确长度？”学生反馈方法（如使用1厘米小棒比对），教师总结参照物标准化的意义；接着，教师又让学生来估一估一块橡皮的长度，以及2厘米有多长。让学生把两根小棒连接在一起，累积量感。活动是量感建立的基础，但是仅有活动又是不够的。每次操作后，教师要引导学生进行反思，总结思维方法，提升经验，促进迁移。多样化操作方法（实物参照与感知参照）能深化学生对度量标准的理解，而反思环节能将零散活动转化为结构化经验，帮助学生实现从“操作”到“量感”的质变。

（二）在辨析中理解特征

小学生对度量概念的认识易受非本质属性干扰（如颜色、形状），此时需通过对比辨析活动，引导其聚焦核心特征。教师可设计验证性任务，如“无工具估测1厘米厚度的物体”“多方法验证橡皮厚度（叠加对比、工具复测）”“探究多少枚硬币叠起来的厚度约等于1厘米”等。此类活动通过操作—验证—讨论的闭环，让学生在矛盾冲突中剔除非本质属性（如材质差异），最终掌握“标准单位”的本质特征。

三、对象阶段：巩固运用，丰富概念

在对象阶段，学生通过将活动应用到过程中，深化对概念本质的认识，直至能够用语言和符号表达概念，此时过程“封装”形成数学对象，学生以此为对象进行运用，进一步巩固和丰富对概念的认知。然而，对象阶段的“封装”并非一蹴而就，当学生遇到困难时，可能需要“解压缩”，即重新经历从操作阶段到过程阶段，多次深化对概念的认知，最终将度量概念“封装”为完整的数学对象。因此，对象阶段的形成主要通过以下三个步骤完成。

（一）组织数学语言

在小学阶段，教材中的概念定义多为描述性定义，例如“面积”被定义为封闭图形表面的大小。然而，学生以具象思维为主，对概念的描述往往不够全面，缺乏对本质属性的概括能力。因此，教师应引导学生逐步概括度量概念的特点，鼓励学生用语言进行提炼和归纳。在学生表达后，教师需用更精练的数学语言表达，以帮助学生形成完整的度量概念认知。

（二）在应用中深化概念

通过解决问题，学生可以进一步理解度量概念。例如，学生在认识长度单位和1厘米后，通过测量活动认识几厘米，逐步建立对长度单位的认识。从1厘米到几厘米的累积过程不仅体现了度量的本质，还培养了学生的量感。在这些应用中，学生不仅能深化对度量概念的认知，形成更完整的度量表象，还能通过系统强化和巩固，形成更精确的认知，逐步丰富量感。

（三）在变式训练中加深理解

度量概念的变式训练旨在不改变概念本质属性的前提下，针对学生的易错点进行强化练习。例如，让学生用没有0刻度线的直尺测量铅笔长度，通过对比感知测量的本质是数出待测物中包含的标准单位（如1厘米）。这种辨析活动不仅加深了学生对度量本质的认识，还帮助他们理解测量工具的由来——标准单位的累积。

四、图式阶段：纵横联系，联结概念

图式阶段，是学生对度量的相关概念进行纵横联系，形成更大的认知结构，它也是学习数学概念达到的最高阶段。在图式阶段之前，学生已经掌握了相关度量概念的定义、性质及运用，并在头脑中构建稳定的数学对象。因此在图式阶段，不仅需要学生掌握前面三个阶段的内容，还需要学生对其他数学概念进行联系和整合。也就是说，这个阶段的达成，需要学生长时间的学习和不断完善，使度量概念的体系不断丰富起来。有关图式阶段的教学过程主要包括以下两个方面。

（一）梳理学习过程，建立概念间的横纵联系

在这个阶段的学习中，教师需要引导学生对每节课的学习过程进行整理，如“今天我们认识了一个新的度量概念，我们为什么要学习这个度量概念？”“我们是如何学习这个度量概念的呢？”等具有引导总结性的提问。在帮助学生回顾学习过程的同时，也让学生对相关度量概念建立起新的联系，完成对知识体系的建构。

（二）培养图式意识

度量概念知识体系的建构有助于学生从整体上把握度量概念的本质，促进学生量感的提升。同时，对知识的整理过程也是学生将度量概念进行内化的过程，从而建立更加清晰的表象。例如，教师可以在教学每节课或每个概念后，引导学生通过画手抄报、画思维导图等方式来对知识进行整理，从而培养学生的图式意识。

总之，APOS理论为小学数学度量概念教学提供了新的路径。在基于该理论进行度量概念教学时，教师不仅要充分考虑学生学习概念的心理建构规律，还要在每个阶段设计恰当有效的活动，让学生在优质的活动中积累丰富的数学经验，加深对度量概念的理解，让教学效率在活动中螺旋上升，让学生的量感持续生长。

［ 参 考 文 献 ］

［1］ 郭立军，刘凤伟.APOS理论指导下小学数学概念教学的实践研究：以三年级面积概念教学为例[J].小学数学教师，2021（2）：78-83.

［2］ 张文莉.小学数学典型度量概念的解读与教学实践研究[J].智力，2020（14）：128-129.

【本文系重庆市教育科学“十四五”规划2023年度一般课题“基于APOS理论的小学数学度量概念教学设计的研究”（项目编号：K23YG1250192）研究成果。】

（责编    金    铃）