学具操作：促进学生空间观念进阶

［摘 要］空间观念是学生必备的关键能力之一，是形成空间想象力的经验基础。文章以“长方体和正方体的认识”为例，围绕学具识别、学具分析、学具解构、脱离学具等操作，引导学生在观察触摸中积淀空间感知、在拼搭体验中建立空间表象、在运动解构中发展空间想象、在多元表征中促进空间推理，从而促进学生空间观念的进阶。

［关键词］学具操作；空间观念；思维进阶

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2025）08-0086-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）指出，“空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识。能够根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象并表达物体的空间方位和相互之间的位置关系；感知并描述图形的运动和变化规律。”可见，空间观念不仅是对图形的形状、大小、位置关系、特征等方面的认识，也是形成空间想象力所需的经验基础，是学生必备的数学关键能力之一。

一、小学生空间观念发展的阶段性特征

相关研究表明，学生空间观念的发展呈现一定的阶段性。皮亚杰认为，学生空间概念的发展可分为拓扑、欧氏几何、空间度量三个阶段；范希尔夫妇将几何思维的发展划分为视觉、分析、非形式化演绎、形式化演绎和严密性五个水平；孙学东教授认为空间观念的发展是一个思维进阶的过程，表现为空间感知、空间表象、空间想象和空间推理等认知水平的阶段性递进发展。由此可见，学生处在不同的年龄阶段呈现出不同的思维水平。在研究图形时，学生需要经历对具体图形形状及特征的了解、抽象、概括、分析与综合的思维进阶过程。

二、学具操作对于空间观念发展的作用

皮亚杰认为，空间观念的形成不像拍照，要想建立空间观念，必须经历动手做的过程。可见，通过实际操作学具对学生空间观念的发展具有显著的促进作用。教师可依据小学生思维发展的特点和《课程标准》的教学建议，结合教材内容所需，引导学生操作学具，使学生在手脑协同的作用下逐层深入地参与到空间思维的活动中。

在学习任务的引领和教学活动的组织实施中，学具的使用不局限于单一的观察，也不止于纯粹的操作，而是融观察、操作、想象、推理等多种元素为一体的数学思维活动。因此，充分发挥学具的教学功能，合理地设计学习任务，有效组织学习活动，可以帮助学生经历实物识别、图形认识、图形分析和图形解构的过程，发挥学具巨大的效能，从而实现学生空间观念的进阶。

三、学具操作促进空间观念进阶的策略

长方体和正方体是小学阶段图形与几何领域涉及的第一组立体图形，这一知识点的学习标志着学生对图形的认识从平面图形向立体图形跨越，并为将来研究圆柱和圆锥等其他立体图形奠定坚实的基础。

在实际教学中，教师不仅要重视高学段学生空间观念的发展，更要强化低学段学生空间观念的形成，以避免出现学生空间观念发展“断层”的现象。下面以“长方体和正方体的认识”一课为例，参考孙学东教授提出的“做数学”理念，构建学生空间思维进阶的四层阶段：空间感知、空间表象、空间想象和空间推理。以学具操作为主要活动形式，在实践中思考并形成“学具操作”为核心的空间观念进阶教学策略（如图1）。

（一）在观察触摸中积淀空间感知

空间感知构成了空间表象的基础，涉及对客观世界空间属性的感知，包括对物体的大小、距离、形状和方位等的直觉。学生对长方体和正方体的认知需要经历对学具的观察、触摸等空间感知阶段。若忽略这些阶段，就忽略了学生对图形的空间感知和从具体实物中抽象概念的过程，限制了学生空间表象的发展。

1.实现二维到三维的自然跨越

长方体和正方体作为基础的立体图形，是学生从二维平面向三维空间认知过渡的起点。在第一学段，学生已经对一些立体图形有了初步的了解，并能够进行基础的辨识。为此，笔者向学生提供了长方体实物（如图2-1）和长方体框架模型（如图2-2），引导学生进行看一看、摸一摸、找一找、说一说，帮助他们在直接感知下明晰长方形和长方体之间的区别和联系。

2.注重几何概念的深刻理解

学生对概念的掌握程度直接影响其空间观念的形成，他们对长方体和正方体的认识不应是浅层的、单薄的，而应是从对概念的记忆，到对概念的内涵以及概念与概念之间关系的认识，再到丰富的、多层次的问题解决的能力建构。因此，学生对于立体图形面、棱、顶点的理解和认知不能仅仅局限于理论知识，还需借助对学具的观察和触摸，多视角、全方位地体验面、棱和顶点的实际位置，从而深刻理解概念、积淀空间感知。

（二）在拼搭体验中建立空间表象

空间表象是空间观念的关键。通过有效的操作活动，学生能够构建正确的空间表象。在教学中，组织学生运用学具拼搭长方体和正方体模型，让学生在操作中深入地认识和理解长方体和正方体的特征，从而在真正意义上完整地经历从空间感知到建立空间表象的过程。

在探索长方体和正方体特征时，笔者安排了以下两个教学活动。

活动1：四人小组合作，用长方形磁力片（如图3-1）、不同颜色、长度的小棒和连接头（如图3-2）等学具，拼搭出不同类型的长方体或正方体。

【教学片段】

师：仔细观察长方体和正方体的面、棱和顶点，你有什么发现？并分享你观察的学具。

生1：我发现长方体有6个面。

师：你是怎么想的？能用算式表示自己的想法吗？

生1：长方体的前后、上下、左右分别相同，因此有2×3=6（个）面。

师：真棒！生1不仅发现了长方体的面的个数，还发现相对的面完全相同。

生2：长方体放在桌面上，从一个方向最多能看到3个面，看不见的面也有3个，一共6个面。

师：看来相同的结果也可以有不同的想法。还有其他发现吗？

生3：我发现长方体有12条棱，（指着图4）红色、黄色、蓝色各4条，一共有4×3=12（条）。

生4：我也认为有12条棱，不过数法和生3的不同，我发现上面一圈有4条棱，下面一圈有4条棱，竖着的还有4条棱，所以一共有4×3=12（条）棱。

生5：我发现长方体有8个顶点。

……

只有操作经验支持的空间表象才能够长久地“印刻”在学生的脑海中，并且在将来解决问题时，学生能够有效地提取和应用这些知识。在操作的过程中，学生不断地调整和思考，经历了长方体和正方体搭建的完整过程，在操作体验中建立了空间表象。通过这些直接经验，学生能够对长方体和正方体的特征有更全面的理解和掌握，这将为学生空间想象能力的发展提供坚实的基础。

（三）在运动解构中发展空间想象

空间想象是指在现实世界的基础上，对空间表征进行加工和重塑，以创造新形象的能力。它是发展空间观念的重要途径，是在空间感知、空间表象基础上的更高层次的思维活动。引发学生进行空间想象，需要有效的载体，即教师要为学生提供良好的情境或新颖的材料，这是促进学生主动进行空间想象的内驱力。

材料的创新性依赖于具体的问题和在具体情境中的操作。传统的长方体和正方体模型是学具操作后的静态产物，能够帮助学生形成空间感知，促进学生空间表象的丰富构建，此时，教师通过结合具体问题，引导学生运用动态移动或拆解等操作，可以进一步促进学生空间想象力的发展。

1.在图形运动中发展过程想象能力

在几何学中，“点动成线、线动成面、面动成体”从而建立了点、线、面、体之间的关联。在教学中，引导学生使用长方形磁力片学具在三维空间平移，演示图形运动的过程，以此帮助学生感受图形元素在空间的运动轨迹，建立长方形与长方体的联系。

【教学片段】

师：如果将一组相对的底面为正方形的长方体的4条侧棱逐渐缩短（配合肢体语言演示），想象一下，可能会变成什么图形？

（学生答略）

学生在想象图形运动的过程中，感受到长方体与正方体之间的内在关联，即正方体是长、宽、高都相等的特殊长方体。

2.在图形解构中发展结构想象能力

长方体和正方体是常见的立体图形，有着自身独有的结构特征。为了让学生对长方体和正方体有更加深入的认识，笔者设计了“残缺的框架”和“给框架配面”两个教学活动。

活动1：残缺的框架。图5中有4个残缺的长方体框架，请想象并还原长方体的原有结构。

学生在还原的过程中引发思考：不同的长方体部分，为什么有的只能还原出一种长方体，而有的却还原出不同长方体呢？

活动2：给框架配面。这里有一些长方形和残缺的长方体框架模型（如图6），请你给残缺的长方体框架“配面”，还原长方体的原有结构。

通过这样的方式，学生能够直观地感知长方体的内部结构，并通过想象体会到长方体棱长与面的边长关系。

（四）在多元表征中促进空间推理

空间推理是促进学生空间观念进阶的重要思维方式，是以空间形体及其相互关系为基础的推理活动，是空间观念的重要内涵。学具是典型的工具型教学支架，柯林斯等学者所提出的“渐隐”概念，即逐步减少支架式支持，对学生的自主探究具有显著的促进效果。因此，学具的运用旨在实现“渐隐”——脱离学具，通过学具辅助的分析与解构过程，帮助学生深化对空间推理的理解，从而促进对现有知识的深入认知，并进一步发展其空间观念。

面、棱与顶点是长方体和正方体的基本特征，然而在传统教学中，这些元素之间的内在联系往往未受到足够重视。基于学生对长方体和正方体的面、棱、顶点数量的了解，引导学生通过空间推理进行逻辑验证与分析，能够让他们对自身已有知识进行新的发现和创造性思考。

【教学片段】

师：关于长方体和正方体，你还有什么发现？

生1：1个顶点处有3条棱。

师：是的，生1发现了顶点和棱之间的关系。还有吗？

生2：1个面上有4个顶点和4条棱。

生3：我发现不用数也可以算出棱的数量。既然一个1个顶点有3条棱，那么8个顶点就共有3×8=24（条）棱，因为每一条棱都算了两次，所以一共有24÷2=12（条）棱。

师：此处应该有掌声。真了不起！生3他根据顶点和棱的关系推出了棱的数量计算方法。还有其他想法吗？

生4：1个面上有4个顶点，那么6个面上就有24个顶点，每个顶点都算了3次，所以一共有6×4÷3=8（个）顶点。

师：真棒！生4找到了面和顶点之间存在的内在关联。

虽然空间感知（作为前提）、空间表象（构成基础）、空间想象（作为动力）和空间推理（提升、空间观念形成的标志）在空间认知水平上呈递进关系，但在教学活动中，针对具体的教学内容进行层级设计时不应将其割裂开。多种表现在不同的环境中是交错共存、互相影响的，即在不同的情境下，同一学生可能会表现出不同的空间认知水平；相同的情境下，不同的学生也有可能表现出相同的空间认知水平。因此，“学具操作”促进学生空间观念进阶并非一种严格划分的表现形式，而是一种通常情况下的描述。在多数情况下，教师仍需根据学生的具体学习情况，在课堂上灵活地进行调整和实施。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 曹泓钰.具身认知下小学生数学空间观念发展的教学策略研究[D].重庆：西南大学，2023.

[3] 孙学东.“做数学”促进学生空间观念发展[J].教学与管理，2022（6）：90-93.

【本文系江苏省中小学教学研究第十四期重点自筹课题“提升区域小学生‘直观想象’整体水平的实践研究——基于学测数据分析的跟进式改进”（课题编号：2021JYJC14-ZB14）的阶段性研究成果。】

（责编    梁桂广）