小学数学语言的表征形式与应用策略

[摘 要]数学语言作为数学知识与实际应用之间的桥梁，有着多样的表征形式，承载着丰富的思想与文化，小学数学语言蕴含着十分宝贵的育人价值。明晰小学数学语言内涵和价值取向，理清其表现形式，教学中如何准确应用数学语言及使用范围应注意的问题，提高教学的有效性。基于此，围绕目标导向、单元整合、注重过程、强化应用、技术赋能、评价反馈六方面提出数学语言的应用对策。

[关键词]数学语言；价值取向；表征形式；应用对策

[中图分类号] G622            [文献标志码] A [文章编号] 1008-2549（2025） 001-0011-06

数学不仅是推理和计算的工具，也是表达和交流的语言。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）明确指出：课程目标的确定，立足学生核心素养发展，集中体现数学课程育人价值，培养学生“会用数学的语言表达现实世界”的能力。

一、数学语言的价值取向

数学语言是人们用来表述与交流现实世界的一种表达方式，是比数学模型更加上位的概念，表征为符号语言、文字语言和图表语言，具有简约性、精确性和情境性特征。

（一）数学素养取向

数学贯穿于社会生活的方方面面，数学素养的提出基于生活背景，综合表现在具体情境中解决具体问题时依据一定的数学思维，运用数学知识分析判断的能力以及在此过程中表现出的数学情感体验。

数学的产生和发展依赖于数学语言，数学的研究对象形成于运用数学语言对现实生活中的数量与数量关系、图形和图形关系进行的抽象，并将抽象结果用定义或符号等数学语言进行表达的过程。小学数学中的抽象主要包括不完全归纳，即通过归纳和类比的思想方法，概括得出研究对象的性质、关系和规律。最终通过由数学语言构建的模型，建立数学与现实世界的联系，用数学的概念、方法和结论认识、理解和表达现实世界。数学情感态度价值观主要表现为兴趣爱好、数学信念、数学意识、数学气质。将所学知识运用于实际，感受到知识的力量和价值，学生就会对数学知识产生兴趣，兴趣不断得到强化则将所学知识当作爱好，表现为对数学学习的自主选择状态和积极情绪，进而形成对数学的信任感，即数学信念，数学意识指向对数学经验的感悟，是自觉运用数学思想、数学知识思考与解决问题的思路与眼光。当数学知识不断内化，个体习惯从数学的角度观察、思考和表达，数学气质就逐渐形成。

（二）人文素养取向

数学语言作为社会文化载体具有与生俱来的人文性，主要体现在三个方面。

1.数学语言产生于丰富的生活实际，富于生命力

数字的不断简化源于越来越复杂的计数需要，最初，为记录打猎、捕鱼等的数量，人们就地取材结绳计数、刻痕计数；随着交换活动的出现，开始采用筹码、算盘等计数；当经商和贸易普及，便于书写和记录的阿拉伯数字便应运而生。洪水退去后重新测量土地的需要推动了几何的出现，早期几何的应用主要集中在长度、面积、体积等方面。人们认识对象的范围越来越广时就需要借助文字进行说明。新的需要不断出现，数学语言的发展就永无止境，在此过程中表现出来真诚的关照、探索的精神、创造的热情、执着的毅力也是应着重学习的品质。

2.数学语言的推理呈现出严密的逻辑性、系统性，富于理性追求

数学语言的准确性、逻辑体系的严密性、数学结论的精确性决定了数学学习是一个实事求是的过程。任何数学结论的得出，都需要经过充分的考量、大量的事实证明，需要经过缜密的思考和严格的论证，需要一丝不苟的态度、求真务实的品格，需要客观公正的立场、独立思考的品质。

3.数学语言本身具有艺术特征，富于美感

张奠宙教授将数学美概括为四个词：美观、美好、美妙、完美。美观是指直观的美，包括图形和公式带给人的和谐匀称的美感；美好指向功能和价值的美，如知道乘号能将繁杂的加减运算转换为乘除运算；能够结合所学创造性地解决问题，发现数学语言本身的奇趣时就会由衷感到数学的美妙；完美则是一种精益求精的态度。

（三）信息素养取向

当今社会，人们每天都会面对大量信息，其中一些信息或直接或间接涉及数学。随着教育信息化的快速发展，数学教育目标在强调学生对信息的识别、获取、加工和整合能力的同时，更加重视对问题的发现、提出、判断和解决能力；在强调知识的记忆、复述和再现能力以及技能获得的基础上，愈发重视个性学习、知识建构、批判性思维和创造能力。

对信息素养的理解除了工具取向之外，还应考虑到在生活中能够恰当地处理大量数字信息的重要性。例如，知道百分数、能读懂统计图表、知道不同统计方式的作用等。学生通过阅读知道中国私人汽车保有量同比增长了多少百分比，对数据进行分析得出其意味着什么；在购物时运用所学的折扣知识；利用利率知识提升自己的理财能力。当学生在日常生活中遇到数字情况能够自觉进行思考时，信息素养就在形成了。同时，对反映事实的数字主动思考有助于发展、寻求真相。另外，也有助于培养学生不盲信、不盲从、敢于质疑的精神和深度学习、积极反思的态度。

二、小学数学语言的表征形式

（一）数学符号语言表征

数学符号是一种具体的和通用的代表数学研究对象、数学思想方法的载体。数学符号按其作用可分为四类：元素符号、关系符号、运算符号、辅助符号。

元素符号是指表示数或几何图形的符号。如，数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，代数符号x、y、z等，常数π、e、i等。表示几何图形的符号如△、□、○、∠等，表示图形边的符号如a、b、c，表示图形角的符号如A、B、C。教材中，元素符号以数字符号为主，也有少量的图形符号，如□。

关系符号即表示数、式、形之间关系的符号。如＝、≠、≈、＞、＜、≥、≤，全等符号≌、相似符号～等。教材中，关系符号包括＝、＞、＜、↗、↘。

运算符号是指表示按照某种规定进行运算的符号。如＋、-、×、÷、∑、sin、cos、ln、log等。教材中，运算符号包括＋、-、×、÷。

辅助符号是为了便于表达和运算，是数学中引入的一些用于表示某些特定的式子或某种特定意义的符号。如max、min、（）、〔〕、{}、∵、∴等。

（二）数学图表语言表征

图表语言是指包含一定数学信息的图或表，可分为图形语言、图像语言和格表语言。

图形语言包括几何图形、集合韦恩图等。采用韦恩图式寻找一个数的因数和倍数，因数与倍数及其关系能够以更加直观的形式展现出来，也便于在操作过程中发现一个数的因数个数与一个数的倍数个数的特点，同时渗透了有序思想和集合思想。

图像语言包括函数图像、统计分析图等。尽管教材内容与函数并没有直接关联，但教材中呈现的用于辅助学习2、3、5的倍数特征和质数与合数的百数表却蕴含着函数思想。函数思想一般用于解决含有定量与变量之间关系的问题。

格表语言包括统计数据表、分析表、框架图等。格表主要用于归纳、分类，使学习过程清晰、有条理。如，将商是整数而没有余数和商是整数有余数的两类算式框在表格中而非直接呈现，将算式文本列表化处理，有助于学生将熟悉的算式根据一定标准在脑中重新布线，进而做出分类，再根据分类结果归纳得出因数与倍数的定义。

（三）数学文字语言表征

数学文字语言是按数学学科的发展需要改进了的自然语言，常以数学概念、术语、规则、规律、性质的形式呈现。如，通过精确自然语言，规定了线有“线段”“直线”“射线”，角分为“直角”“锐角”“钝角”“平角”“周角”，图形有立体图形和平面图形之分，平面图形可以分为“三角形”“四边形”“五边形”等；通过对自然语言进行限定，产生了“自然数”“有理数”“无理数”“中点”“中位线”等词。数学文字语言不仅借用了自然语言中的文字，沿用了自然语言中的语法规则，而且在大多数情况下两种语言的语义也是一致的。

关于因数和倍数的概念，在分析、综合，分类、比较的基础上，首先给出定义，即“在整数除法中，如果商是整数而没有余数（或者说余数为0），我们就说，除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数”，这样就用简明而完整的句子揭示了因数与倍数的本质属性。一方面贴合小学生思维由具象向抽象过渡的特点，另一方面为他们搭建数学知识体系提供了框架结构。需要注意的是，小学教材中对于定义的描述建立在对典型例证的简单归纳和梳理以及学生经验的基础上，是较为粗略和有待进一步完善的，教学时要充分注意到这点，不可一味拔高。

数学规律反映数学中某些特定的和稳定的联系，大多以总结的形式呈现。由于规律或浅近或深远，总结过程或简单或烦琐，把得出数学规律的各步骤按照不完全归纳的程序进行了系统安排，并辅以思路提示。

除此之外，处理概念与概念之间的关系，得出概念与概念之间存在的规律并用一定的数学语言表述规律对小学生而言是一大难点。对于这部分的编排，教材遵循半扶半放的原则，设置有一定挑战性的探究任务。首先，围绕奇数、偶数相加的三种情况，提出三个问题是“奇数与偶数的和是奇数还是偶数？”“奇数与奇数的和是奇数还是偶数？”“偶数与偶数的和呢？”按照读题、析题、解题的思路，在阅读与理解环节给出问题的一种表征形式，即用算式表示题意，使问题更加清晰明了。在分析与解答部分，为促进思维碰撞，提升结论的可靠程度，提供了三种解决问题的方法，即举例、说理、图式。在回顾与反思环节，提示可以找一些大数对结论做出检验，并进一步设疑是否还有其他检验方法。在这一系列的任务中，学生先后经历了利用算式表征题目理解题意、多维思考得出结论、举例检验结论的过程，进而积累数学语言经验，建立利用数学语言描述、分析、解决问题的意识。

教材中使用的数学文字语言不仅富于理性色彩，而且生动具体，表述中多有动词如“我们就说”“谁是谁的”“叫作”等使概念更为亲切，且朗朗上口易于理解和记忆。此外，概念中关联词的使用也值得推敲，在因数与倍数的概念、质数与合数的概念中均使用了“如果……那么……”的句式，这样的表述使得概念中的条件和结论的相互关联更为明显，潜移默化中增强了他们有条理和有顺序地表达意识以及有逻辑的思考能力。

三、小学数学语言的应用对策

（一）目标导向，体现数学语言教学的层次性

根据课程标准、教材和学生层次，将课堂教学所要达到的素养要求具体化为以数学语言为载体的行为表现和价值观念设计教学目标。

“新课标”多次提到“语言”“应用”“表达”“交流”“实践”等词语，分析这些词语可以得出数学语言对于数学学科和数学教育的价值所在，即数学语言承载思想和文化，不仅是自然科学的重要基础，对于科技发展意义重大，也是人类文明的重要组成部分，对于人格养成意义深远。课程目标是教学目标的基本内容，规定了学生学习数学课程所应达到的发展水平的预设和期待。小学第三学段数学语言的课程目标为：认识自然数的一些特征，形成符号意识、运算能力、推理意识。依据这一课程目标，“因数与倍数”教学目标就应将因数与倍数、质数与合数及奇数与偶数的特征的理解和应用作为基本内容，指向意识养成和能力培养。

教材是实现课程目标的载体，是确定教学目标的内容参照。教材的分析可以围绕单元整体、例题、习题三个方面进行。数学教材的编排在形式上基于抽象结构，在不同领域、不同单元中抽象结构的表现有所不同，整体来看，“因数与倍数”单元包括因数和倍数，2、3、5倍数的特征，质数和合数三大部分，每一部分都涉及归纳得出相关概念与辨析应用概念的过程，指向对自然数的抽象理解，蕴含推理思想。

例题是单元的主体部分，是确定教学目标最为直接的内容参照。教学目标的设计应深刻理解例题的编写意图，把握其中的知识点、思维生长点及情感态度与价值观因素。这一部分的知识点为因数和倍数的概念，蕴含分类、推理的思想方法，培养学生的推理意识和模型意识，初步树立缜密严谨的思维品质。