特殊与一般：数学思想解题的“金钥匙”

［摘 要］特殊与一般思想在数学解题中具有重要作用，是数学解题的“金钥匙”。文章在分析特殊与一般思想的内涵的基础上，结合2024年高考真题，探索应用这一思想的策略，以简化解题方法，助力解题教学。

［关键词］特殊与一般；数学思想；2024年高考

［中图分类号］    G633.6                ［文献标识码］    A                ［文章编号］    1674-6058（2025）05-0005-04

数学思想具有重要教育意义，且在数学学习与研究中被频繁运用，因此将其渗透于数学教学中至关重要。然而，传统数学教学往往偏重知识传授与技能训练，忽视了学生对数学思想的理解与应用，这违背了学生的认知规律，削弱了学生的主观能动性与学习积极性。因此学生只会机械地做题，却不明白题目背后的内在逻辑，只知其然而不知其所以然。基于此，数学教学应科学准确地定位教学目标，深入理解教学内容的思想体系，并在各个教学环节中渗透数学思想，使教学思路清晰自然。而对于可特殊化或一般化的题目，教师应教会学生简化解题的方法。本文在分析特殊与一般思想的内涵的基础上，结合2024年高考真题探索应用这一思想的策略。

一、特殊与一般思想的内涵

特殊与一般思想是数学解题的“金钥匙”。缺少这一思想的引领，数学解题便可能沦为单纯的知识输出与技能的机械复制。特殊与一般思想主要包含两个方面：一是通过对特殊对象的研究，发现这类事物的特点，归纳出其整体特征，进而寻求普遍规律，形成一般原理。这一过程由表及里，由个体到整体，从现象到本质，从实践到认识，是由特殊到一般的推理过程。二是当已经形成了一般规律后，可用这些普遍经验去处理具体的问题，将一般方法应用于实际。这一过程则由里及表，由整体到个体，从本质到现象，从认识到实践，是由一般到特殊的演绎过程。在数学中，归纳法和演绎法正是特殊与一般思想的具体体现。

对于需要得出一般性结论的数学题，直接证明相对困难，此时可以借助特殊与一般思想来“走捷径”。特别是选择题和填空题，由于命题在普遍意义上成立，因此可以通过特殊化题设来直接得出答案。对于大题，同样可以通过特殊情况猜想一般结论，再加以证明。同样地，对于需要得出特殊性结论的题目，若直接证明难以下手，则可以尝试证明一般结论在特殊情况下也成立。

二、特殊与一般思想的应用策略

2024年高考数学试题中，多处可运用特殊与一般思想进行解答。若题目只有一个正确答案，则可以将题设特殊化，求出特殊情况下的结果，此结果往往能够启示我们得出一般结论。

（一）取特殊数值

（二）取特殊函数

（三）取特殊位置

三、特殊与一般思想的拓展应用

2024年高考数学试题中的部分题目可以从特殊情况出发，将题设一般化，从而推导出一般情况下的结果。这个一般情况下的结果，在特殊情况下也成立。

（一）转为一般符号形式

（二）利用一般函数结论

（三）借助一般数列公式

四、关于数学思想的应用反思

渗透了数学思想的数学课堂，是解题的助力跑道，是深化思维训练的场所，是实现价值观塑造的平台。作为教师，在教学中应引导学生进行数学思考，掌握数学思想，培养数学思维能力，提升数学学科核心素养。学生掌握了数学思想，也就掌握了数学学习的精髓，而引导学生掌握数学思想，则是数学教育的核心所在。

（一）提速度：解题的助力跑道

数学思想是学生解题的精准助力。新课标、新教材、新高考越来越注重考查学生的基本思想和数学学科核心素养。高考数学试题的命制倡导“少算多想”。很多题目，运用数学思想解决，计算量会大幅度减少。硬算虽然也能得出结果，但步骤烦琐，考试时难以完成。灵活运用数学思想，几步即可解答，这是限时得高分的关键。因此，数学思想在考试快速得分方面具有决定性作用。

（二）挖深度：思维的训练场所

数学思想渗透教学是训练学生思维的重要阵地。学生认为数学难学，往往因为只重视知识记忆与技能操练，而忽视了数学思想。学生不了解知识的来龙去脉，缺乏学习兴趣，知识体系不系统，技能掌握不牢固，导致理解困难，错题频出。教学中，教师若以数学思想为线索贯穿课堂，引导学生归纳数学思想的应用方法，则可以很好地锻炼学生思维，培养学生的自主学习能力和主动思考习惯，促进学生运用数学思想解决问题。

（三）拔高度：价值观的塑造平台

数学思想渗透教学是塑造学生价值观的独特平台。《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。数学与世界有着密切的联系，而数学思想与事物的规律和本质相通。例如，特殊与一般思想体现认识规律：由特殊现象归纳出一般性质，以一般指导认识特殊。这契合辩证唯物主义认识论，能助力学生形成正确的价值观。

综上所述，特殊与一般思想具有重要的教育意义和研究价值，能够推动教学设计的发展、解题思路的拓展和高考题型的创新，是数学解题的“金钥匙”。

［   参   考   文   献   ］

[1]  杨俊.“特殊与一般”思想在高中数学中的应用[J].湘潮（下半月），2011（4）：114.

[2]  周明宇.巧用特殊化解决一类选择填空题[J].中学生数学，2023（17）：19-21.

[3]  孙迪.实践是真理的标准：重温毛泽东《实践论》[J].湘潮，2022（12）：19-20.

[4]  马蓓蓓.特殊与一般思想方法在教学中的渗透[J].中学数学教学参考，2022（36）：11-14.

（责任编辑    黄春香）