基于深度学习的初中数学“情境—模型”双向建构教学实践

［摘 要］“情境—模型”双向建构包括从情境到模型的抽象过程和从模型到情境的应用过程，有助于知识的迁移和思维的拓展。初中数学采用“情境—模型”双向建构的设计理念，旨在加深学生对数学模型的理解。这一设计理念符合《义务教育数学课程标准（2022年版）》对数学建模的要求，强调运用数学思想方法和知识解决实际问题，且与深度学习理念相契合。文章以“用锐角三角函数解决问题”为例，具体阐述了基于深度学习的初中数学“情境—模型”双向建构教学的实践应用。

［关键词］“情境—模型”；双向建构；深度学习；锐角三角函数

［中图分类号］    G633.6                ［文献标识码］    A                ［文章编号］    1674-6058（2025）05-0018-04

“情境—模型”双向建构作为研究初中数学教与学的新视角，包含两层意图：一是从“情境”向“模型”建构，即从情境中抽象出数学模型；二是由“模型”到“情境”运用，即用数学模型去解释一个或多个数学情境，从而加深学生对数学模型的理解。“情境—模型”双向建构教学呈现出体验性和灵活性的特征，通过双向建构将新知识与学生的已有知识进行有效整合，实现知识的迁移和思维的拓展。“情境—模型”双向建构教学不仅贴近学生生活，还能够激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，进而促进他们数学建模能力的提升，且与深度学习理念相契合。本文以初三数学复习课“用锐角三角函数解决问题”为例，阐述笔者对“情境—模型”双向建构教学的理解和实践。

一、从“情境”到“模型”，抽象特征

要想对相同或相似的数学问题情境进行抽象，揭示几何图形变换的内在本质特征，深刻理解数学模型思想，提炼数学模型的优点，关键在于认识到变化的图形中蕴含着不变的规律。

（一）实践操作，提炼归纳

上述问题情境源于教材拓展中的实验探究，这些探究联系生活实际，易于理解且便于操作。它们能够引导学生联系轴对称和特殊三角函数知识，建立基本数学模型。这样的教学设计不仅调动了学生实验探究的积极性，还使他们感受到了数学的魅力，丰富了实验体验，并为学生数学建模意识的培养奠定坚实的基础。

（二）展示结果，理解模型

教师引导学生从拼接、平移等变换中抽象出六种常见的数学模型（如图7）。这六种数学模型有助于学生深刻理解解直角三角形问题的本质。尽管这些模型在形式上存在差异，但它们在本质上是一致的，即都是通过构造基本图形，利用特殊角的三角函数来解决相关的角度和边长问题。

实验设计的目的在于引导学生从实际问题中建立数学模型，在实际背景中理解含特殊角的直角三角形的数量关系和变化规律，并培养学生的建模意识。

（三）深入思考，挖掘本质

教师引导学生进行研究，尝试通过点[B]作线段[AD]的垂线段[BE]，探索新的发现。总结六个数学模型的求解过程，交流探讨求解过程中遇到的困难。归纳钝角[△ADB]模型的处理方法，强调模型的多样性。设计问题，引导学生基于已有的活动经验，亲身经历将现实问题转化为数学模型的过程，并对模型进行阐释与应用，从而促进学生在思维能力、情感态度以及价值观等多方面取得进步与成长。

通过调整问题的结构，引导学生综合运用其解题经验来构建数学模型，以深化对问题的理解。围绕模型的结构进行深入探究，通过有效追问、提出假设和进行拓展，解决数学建模问题，从而培养学生的数学建模意识，并提升其数学思维能力。

二、从“模型”到“情境”，领悟思想

一类数学问题的解决，实际上是从模型思想的角度出发，去探究数学问题的情境。该过程是一个对问题情境进行信息提炼、分析、归纳、升华的深度学习过程。它对于学生理解并准确掌握数学模型具有积极作用，能够使学生将数学模型应用于问题情境中。同时，有助于培养学生良好的数学思维习惯和应用数学的意识，使他们深入理解同一数学模型能够解决多种问题，以及把握数学模型的本质特征。

（一）迁移拓展，灵活应用

高级数学思维训练首先将实际问题转化为数学模型，然后对这些数学模型进行讨论，最后再将这些数学模型应用于问题解决中。此过程侧重打破学生的固定思维模式，培养学生的思维能力。“情境—模型”双向建构方式拓宽了学生的建模思路，有效提高了学生的学习效率。

（二）活学活用，举一反三

从“模型”到“情境”的建构过程，需要注重建构的灵活性与推理的严谨性。学生应在理解数学模型特征的基础上进行模型的辨认和建构。由于每个数学模型可能对应多个实际问题情境，因此从“模型”到“情境”的建构具有多样性。为此，教师应通过问题，引导学生深入思考，帮助学生发掘数学问题背后的模型。这样做不仅能激发学生的求知欲，还能让学生在尝试解决问题的过程中体验成功的乐趣，锻炼高阶思维，提升数学素养。

本题为以圆为背景的动态几何问题，用半径[r]表示线段[DE]的长度，并在[△CDE]中构造垂线段[DH]。依据几何模型，巧妙地将半径[r]与线段[DC]长的数量关系转化为二次函数最值模型进行求解。这一过程化抽象为直观，从动态变化中探寻动点[C]的位置与半径[r]之间的内在规律，有效培养了学生思维的深刻性，以及提升学生的创新能力与实践能力。

构建模型解决问题时，学生将熟悉的实际问题与抽象的几何语言建立联系，迁移并应用已有知识和方法，将新知识融入已有的认知结构中，同时在认知结构中内化新知识，从而完成知识建构。

综上所述，从“模型”到“情境”的思辨学习探究符合新课程理念。因此，在初中数学建模教学中，教师应以学生为主体，结合学情科学设计具有探究性和拓展性的建模问题，有效提升学生的数学建模能力。

三、感悟双向建构，领悟思想方法

（一）利用新教材，通过建模培养学生能力

教师应充分发挥新教材的优势，创造性地使用教材，并有效创设问题情境。现实生活中的优化问题，如计划决策、建材造价、最佳投资、追求最大回报、制定最小成本方案等，均可通过建立数学模型来求解。在解决这类问题时，教师应引导学生积极探索，亲历数学建模的全过程，从而锻炼他们的创新思维，培养他们的创造能力。通过建模教学，让学生掌握双向建构的方法，不断提高学生的自主学习能力，为他们的有效学习奠定基础。

（二）通过双向建构，体会模型思想

双向建构的过程为：表层感知—建构模型—深刻理解—应用模型—内化认知。这一过程既具有趣味性和操作性，又具有研究价值，充分展现了建模的一般思维过程。双向建构能促使学生深入体会建模思想，引发他们的深度思考，并激励他们主动参与。借此过程，学生学会了用数学的眼光观察身边的事物，真正理解并掌握了新知识，构建了良好的认知结构，提升了应用能力和创新能力。

（三）双向建构，驱动学生主动建构知识

双向建构的意义在于，引导学生从实践出发，总结提炼数学模型，再应用这些数学模型去解决问题。数学模型作为桥梁，能促进学生主动建构知识，实现由特殊到一般的认知过程，这符合建构主义学习理论。在具体实施中，以数学核心问题为驱动，学生主动参与双向建构模型的全过程，深入理解事物的性质、规律及其内在联系。在此过程中，学生初步体验科学研究模式，感悟解题方法。

综上，在“情境—模型”双向建构过程中，学生先将数学情境抽象为数学模型，再将数学模型应用于实际问题情境中，从而强化了对数学本质的理解和应用。通过与问题情境的互动，学生体验了问题转化的方法，拓展了思维的深度和广度，提高了思维品质，增强了想象能力，培养了创造能力。“情境—模型”双向建构教学真正践行了“学数学，做数学，用数学”的新课程理念。

（责任编辑    黄春香）