基于项目式学习的初中数学“综合与实践”教学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）在课程实施中提出“进一步加强综合与实践”，并指出综合与实践领域的教学活动，以解决实际问题为重点，以跨学科主题学习为主，以真实问题为载体，适当采取主题活动或项目学习的方式呈现，通过综合运用数学和其他学科的知识与方法解决真实问题，着力培养学生的创新意识、实践能力、社会担当等综合素质。可见，项目式学习作为新课标对综合与实践教学的首推之法，必将成为初中数学综合与实践教学改革的破局之道。本文以“田径场跑道起跑线设计”为例，给出以项目式学习的方式组织综合与实践教学的实施样本及思考。

一、教学目标

1.能从田径场上的直道和弯道抽象出线段和半圆，并会用图形和符号语言表示；能分析弯道差与起跑线提前量的关系，并建立“道宽→周长差→提前量”的数学模型。

2.能综合运用数学及其他学科知识解决现实问题，感受数学与生活、体育、信息科技等学科间的联系，体会数学知识的应用价值。

3.通过误差分析，学会严谨求证，培养理性思维；体会起跑线的价值导向——公平，培养学生的社会责任感；通过实践优化接力区的起始线，培养学生的人文精神和创新精神。

二、教学过程

问题：一年一度的学校秋季运动会即将举行，200米、800米和4×100米接力三种比赛是备受大家喜爱的体育项目。但体育组教师发现，学校400米田径场跑道上的起跑线油漆脱落，需要重新画线。为确保比赛公平公正，你将如何运用数学知识，设计出科学合理的起跑线绘制方案？

任务1：200米起跑线——破解弯道差密码

【实施步骤】（1）实地勘测，收集数据。学生实地测量田径场直道长度和弯道半径（比如直道84.39米，弯道半径36.5米），用卷尺、测距仪等工具，把教材上的“圆周长公式”变成真实数据。

（2）抽象模型，差异分析。学生画图对比内外道差异，发现“外道选手跑弯道时路程更长”，引发疑问：“提前多少米才能抵消这个差距？”

（3）合作探究，总结规律。引导计算：相邻跑道的分道差[Δ]C=2π（r+1.22）−2πr=2π×1.22=2.44π米（1.22米为跑道宽度），但200米只跑一个弯道，所以提前量是相邻跑道分道差的一半（约1.22π米），即第n道起跑线提前量为（n−1）×1.22π米。

【学生成果】总结出200米起跑线各分道的提前量推算公式；通过测量与计算，绘制出各跑道200米起跑线位置示意图。

【设计意图】200米比赛只跑一个弯道，计算量小（只需算半圆分道差），学生容易上手，避免一开始就被复杂的问题“劝退”。此外，学生在完成“让所有选手跑的实际距离相等”的任务中，能直观理解数学如何保障比赛公平。该环节从简单任务入手，让学生建立“数学有用”的初体验。

任务2：800米起跑线——应对多圈叠加效应

【实施步骤】（1）简单叠加，感受漏洞。学生先按200米叠加4次的方法初画起跑线，让2名速度相近的学生模拟2圈比赛，发现外道选手成绩更好，感觉外道选手“占便宜”，初步体会到起跑线设计存在缺陷。

（2）分析原因，探讨方案。各小组结合体育教师提供的800米比赛抢道规则发现，各道选手只在经过第一个弯道时产生“分道差”，过了第一个弯道后即可切入内道，切入内道后不会产生差距，但切入时会多跑一定的距离（即“切入差”）。小组合作讨论得出外道与内道的“分道差”与“切入差”的计算公式。“分道差”为（n−1）×1.22π，切入差（Δ）Δ=[L2+［1.22（n-1）］2-L]（如图1，其中n为跑道编号，L指抢道点到进入弯道前的直道长度，1.22为每条跑道的宽度），最后确定800米比赛各分道起跑线的提前量为“分道差”+“切入差”。

（3）采集数据，汇报方案。各组测量相关数据，计算出各分道起跑线的提前量，依据“阶梯式提前”的思路形成设计方案，并通过PPT展示说明。

【学生成果】学生通过测量、分析、讨论，设计出800米比赛起跑线绘制方案。

【设计意图】学生感受“简单套用”出现“占便宜”的现象是浅表思考导致的，进而通过反思和分析，发现仅靠线性提前量无法满足多圈比赛的公平性，需结合赛道切换规则进行动态调整，培养对复杂问题的分析能力。

任务3：4×100米接力区——攻克立体空间布局

【实施步骤】（1）查阅资料，了解要求。组织学生查阅4×100米接力赛的比赛规则，了解接力区的距离及画线组成。从距离公平的角度，明确弯道接力区的长度是指弧长。

（2）结合规则，初设方案。学生在了解规则的基础上，探究弯道接力区的中心线、起始线、终止线如何确定。学生分直道接力区组和弯道接力区组展开设计。弯道接力区组通过讨论、分析得出弯道接力区的路程可以看成一条弧线，其长度为20米，可推导出弯道接力区起始线与终止线所在半径的夹角θ=[180×20π×［36.5+0.3+1.22（n-1）］]

［第n道半径R=36.5+0.3+1.22（n-1），接力区的长度为20米］，各小组合作交流并形成初步的设计方案（如下页图2）。

（3）实地测试，优化设计。根据初步的设计方案，用石灰粉在跑道上画出理论计算的接力区，让学校田径队队员试跑。观察发现，接棒队员需扭着身子接棒。根据实际效果调整角度（比如从29度改为34度），通过将弯道接力区“斜着画”完善设计方案。

【学生成果】推导出“接力区角度公式”，绘制带角度的接力区设计图，并向体育组提交优化建议：外道接力区角度需逐道增加3～5度。

【设计意图】普通起跑线只解决“跑的距离公平”问题，但接力赛还要保证“交接棒顺畅”。外道选手在弯道接棒时，身体朝向和视线受限，容易踩线犯规或错过接力区，问题复杂度爆炸式增长。因此，在得出初步的方案后，通过实践测试发现，“算得对”未必“用得顺”，最后通过“斜着画”完善了方案。整个过程中，学生不仅学会了算角，更懂得了什么叫“用数学尊重人性”。

三、教学反思

1.项目式学习完美匹配综合与实践教学的需求

从项目式学习的内涵来看，数学学科的项目式学习是以数学知识为中心，基于跨学科意识，选取现实生活中真实的、富有挑战性的问题，综合运用数学与其他学科的知识和方法，以任务驱动的形式来解决问题。而初中数学综合与实践教学内容就是源于与初中生紧密相关的“真问题”，通过综合运用数学和跨学科知识得到理论解决的方案，运用实践检验并完善理论方案。例如，在任务3中，学生在算出弯道接力区起始线与终止线的“理论夹角”后，请校田径队测试，发现“按算出来的角度画线实际跑会踩线，不方便接棒”，立马回头调整模型。因此，以问题解决为导向、项目任务为驱动、实践成果为评价的项目式学习，完美匹配了综合与实践教学对问题真实性、知识综合性、应用实践性的需求。

2.项目式学习提升综合与实践教学的育人效果

综合与实践教学的本质其实是“学”与“用”的紧密结合，当“学”与“用”割裂开来时，综合与实践教学的育人效果将大打折扣。而倡导“做中学”的项目式学习，就犹如一座桥梁把单调的数学知识和真实的生活需求关联起来。学生的学习状态也将从“被动卷入”转变为“主动投入”，从“做题家”变身为“做事者”，知识也因“被需要”而扎根，实现“知识迁移”到“素养生成”的育人进阶。例如，学生在设计200米起跑线时，通过计算内外道的弯道差，得出起跑线的提前量，感受到数学知识的工具作用；在设计400米起跑线时，理解了“规则背后的数学逻辑”，培养了公平意识；在设计4×100米比赛的接力区时，出于“方便接棒”的考量，在确保距离公平的前提下，创造性地拿出优化方案——“斜着画”，培养了人文精神和创新精神。可见，以项目式学习的方式开展教学，充分发挥了综合与实践的育人作用。

本文系江苏省南通市教育科学“十三五”规划专项课题“基于项目化学习的农村初中校本课程开发与应用研究”（编号：XC2020061）阶段性研究成果。

（作者单位：江苏省海安市李堡镇初级中学）