图形与几何领域内容的结构化设计

綦春霞

北京师范大学课程与教学研究院教授、博士生导师，中国教育学会课程专业委员会常务理事，中国教育学会基础教育评价学会常务理事；义务教育数学课程标准研制组核心成员，全国中考数学评估组专家，全国高中数学学业质量监测评估组专家，北京师范大学教育质量协同创新中心数学首席专家；在Education and Information Technologies，Computers and Education，Educational Studies in Mathematics以及《教育学报》《教师教育研究》《教育科学研究》《数学教育学报》等国内外期刊发表论文100余篇，完成和在研项目20余项。

【摘 要】图形的性质、图形的变化、图形与坐标是图形与几何领域内容架构的三条线索。这三条线索内外关联能体现图形与几何领域内容的结构。结合图形与几何领域的具体案例分析其结构化研究范式，探讨如何通过直观操作、图形研究、系统化设计、动态与静态相结合的教学策略，促进学生建构知识网络、发展数学素养，对于教师设计与实施图形与几何领域内容的结构化教学具有指导意义。

【关键词】图形的性质；图形的变化；图形与坐标；结构化设计

图形与几何领域内容的教学承担着培养和发展学生空间观念、推理能力和几何直观等数学素养的重任。以往，我们常常从单一的认识图形视角处理几何内容，而新课程标准要求从整体结构上优化几何内容的呈现方式。该领域内容的设计不但要体现整体性，而且要相互关联，构建一个纵向递进、横向关联的知识体系。这种结构化设计不仅有助于学生全面理解几何图形的本质属性，增强空间观念和几何直观，还有助于学生在知识衔接与迁移的过程中强化推理能力和应用意识。怎样落实图形与几何领域内容的结构化设计呢？

一、多重视角交织，构建图形与几何结构化认知

初中数学课程中，图形的性质、图形的变化、图形与坐标作为三条并行不悖的研究主线，分别从不同视角揭示图形的本质属性，它们相互支撑，共同构成图形与几何认知网络。

1.图形的性质

图形的性质相关内容可以通过“点—线—面”的层次化建构，形成几何认知的基本框架，即从简单的几何元素如点、线开始，逐步深入复杂的多边形和圆等图形。具体来说，学生可以先学习关于直线的基本知识，如两点确定一条直线，再研究相交线、平行线的性质，这些知识是学生后续学习三角形、四边形等多边形性质的基础。三角形是最基本的多边形，学生研究其性质能为后续四边形、多边形的学习提供方法和思路。在研究四边形性质时，学生常常通过将四边形转化为三角形解决问题。可见，这一主题内容的结构化逻辑体现在概念递进性上。这样安排学习内容既能体现从简单到复杂的认知规律，又能体现从基础到综合的结构化关系。同时，我们建议遵循“定义—性质—判定—应用”的标准研究范式呈现这一主题相关内容。例如，人教版数学八年级“平行四边形”单元通过逐步添加条件（从一般四边形到特殊四边形），引导学生发现不同四边形性质的差异。基于层层递进的关系结构化地组织学习内容，有助于学生逐步构建完整的图形的性质知识体系。

2.图形的变化

对于图形的变化相关内容，数学课程标准强调从运动变化的视角研究图形，理解图形在轴对称、旋转、平移时的变化规律以及变化中的不变量。这部分内容的结构化设计应贯穿“变与不变”的哲学思维，通过变换操作层级的递进与不变性质的深度挖掘，构建动态几何认知体系。具体来说，我们可以从变换几何的视角出发，引导学生通过图形的平移、旋转、轴对称等变换操作，在静与动的辩证关系探讨中深化几何理解，从单一变换过渡到复合变换，以体现图形变换学习的层进性。单一变换包括平移和旋转等基本变换，这种变换保持图形的全等性，即变换前后图形大小和形状不变；复合变换则涉及多个基本变换的组合，如位似变换，这种变换保持图形的相似性，即变换前后图形形状相同但大小可能变化。对应点的运动规律是核心枢纽，它连接着单一变换和复合变换，能解释图形在变换中如何保持全等性或相似性。简言之，对应点运动规律是理解图形变换的关键，它贯穿图形全等性变换或相似性变换的过程。各类变换本质上是研究图形在运动中的不变性质，如在平移过程中图形的形状、大小、方向不变，在旋转过程中旋转中心位置不变，在轴对称变换中对应点到中心距离相等，这些属性（对应点运动规律）体现了变化中的不变量。由此，我们可以构建如图1所示的图形的变化课程内容结构化关系图。

3.图形与坐标

数学课程标准明确指出，在初中阶段，学生应逐步建立数形结合思想，并能运用平面直角坐标系描述和分析几何图形的位置关系、运动特征及变化规律。在图形与坐标课程内容的结构化设计中，我们要引导学生借助平面直角坐标系，从图形位置关系的角度认识图形性质；通过将图形放置于坐标系中，利用点的坐标描述图形的位置，进而探究图形在坐标变换下的性质变化。例如，一个图形在坐标系中平移时，其各顶点坐标会按照相应规律变化。学生认识到这一点，就能直观理解图形位置与坐标的联系。

二、探析图形与几何内容的结构化研究范式

在图形与几何的学习中，结构化研究范式是帮助学生从局部到整体、从表象到本质逐步构建知识体系的关键。借助逻辑关联、认知地图、知识“生长”结构以及从操作探究到逻辑推理等研究方法，学生能系统地掌握图形的性质、判定和应用等知识。下文按照研究范围由大到小的次序，逐一分析图形与几何领域下主题内容、单元内容、具体图形、图形概念与性质的结构化研究范式，并探讨如何通过这种范式帮助学生实现从具体到抽象、从简单到复杂的认知发展。

1.图形主题内容结构化研究范式：基于逻辑关联构建认知发展路径

不同图形之间的逻辑关联构成知识体系的结构化脉络。这种逻辑关联既决定了课程内容学习的顺序，又构成从局部到整体、从表象到本质的认知发展路径。例如，三角形是平面几何的基础图形，学生通过学习三角形掌握边角关系、内角和等核心性质后，在进一步探究四边形时，可借助对角线将其分割为两个三角形，并利用已知的三角形内角和性质推导出四边形的内角和为360°，进而将此求内角和的方法推广到更复杂的多边形内角和探究中。这种设计能体现从局部（三角形）到整体（多边形）、从表象（图形的形状）到本质（图形的性质及其相互关系）、从简单到复杂、从已知到未知的过渡，既符合学生的认知规律，又有利于知识技能与思想方法的迁移。

图形之间往往具有从一般到特殊的结构关系，如在四边形学习中，平行四边形可作为基础图形来探究，而后通过增加条件，依次过渡到矩形、菱形和正方形的探究。这种结构关系能揭示图形间的内在联系，培养学生归纳与演绎、分析与综合的思维能力。教学中，教师可通过对比图形性质的异同，让学生深刻理解约束条件对图形性质的影响。

2.单元内容结构化研究范式：从“认知地图”到综合提升

图形与几何的单元学习应遵循“总—分—总”的学习结构，即引导学生先从结构的角度形成单元“认知地图”，然后根据单元结构进行分解学习，最后在分解学习的基础上综合提升，形成更上位、更全面的整体理解。[1]例如，人教版数学八年级“三角形”单元先通过展示生活中各种多边形的实例，让学生对三角形有一个整体的感性认识，形成单元“认知地图”，了解本单元围绕三角形的性质展开，要学习与三角形有关的线段、角及多边形内角和等内容。然后，学生可根据单元结构，分别对三角形的各个知识点进行分解学习，如先学习与三角形有关的线段，再学习与三角形有关的角等。最后，学生在分解学习的基础上，通过综合练习、单元总结等方式获得综合提升，对三角形知识形成高层次、全方位的整体理解，包括理解三角形与多边形等其他图形之间的联系，以及多边形知识在实际生活中的综合应用。

3.具体图形结构化研究范式：从定义到应用的知识“生长”结构

对于具体的几何图形，我们通常按照“定义—性质—判定—应用”的范式进行研究。这体现了知识的结构化。如人教版数学教材中“圆”的内容设计逻辑是，先认识圆的概念，包括圆心、半径、直径等要素，接着研究圆的性质，如垂径定理、圆周角定理等，然后学习圆的切线判定等内容，最后运用圆的知识解决诸如计算弧长、扇形面积等实际应用问题。学生要在探究具体图形的过程中感悟、体会这种知识“生长”的结构。

4.图形概念与性质结构化研究范式：从操作探究到逻辑推理

在具体图形的研究中，图形的概念和性质是核心内容。图形的概念和性质的研究有一般方法，一般方法可以转化为研究结构，助力师生结构化地研究图形的概念和性质。

具体来说，几何图形性质（定理）的学习一般遵循“具身体验（探究）—猜想发现—严谨证明—迁移应用”的研究范式。以人教版数学教材平行四边形的性质内容设计为例，教材先引导学生进行测量，猜想平行四边形的对边相等、对角相等，然后引导学生通过严谨的证明验证猜想，最后给出相应的拓展练习。在概念形成方面，我们通常要遵循“背景抽象—共性归纳—定义明晰—理解与运用”的研究范式，或者说认知结构。例如，人教版数学教材对于相似三角形概念，先呈现生活中的相似图形，如汽车和它的模型、大小不同的足球等，从中抽象出相似多边形，然后归纳这些例子的共性，得出相似多边形的定义和性质（如相似多边形对应角相等、对应边成比例等），最后通过练习，巩固、运用概念和性质。

三、教学建议

在图形与几何领域内容的教学中，教师应围绕数学核心素养构建清晰的教学框架，注重知识的层级递进与逻辑关联，帮助学生形成完整的几何认知体系。教学应从具体到抽象、从静态到动态、从局部到整体地展开，引导学生掌握几何知识，并迁移运用数学思想方法解决问题。基于此，教师可从以下几个方面优化教学设计。

1.加强直观操作，突出基本活动经验的获得

图形与几何学习应遵循学生的认知发展规律，按照“感知—探索—推理—应用”的路径展开，引导学生从直观操作到逻辑推理，从解决具体问题到推导一般理论，以确保知识建构的系统性、连贯性，帮助学生积累可迁移的知识经验。直观体验是图形与几何教学的核心环节，教师应设置充分的感知与操作体验活动，帮助学生建立清晰的几何认知，积累丰富的活动经验。如在教学中强调动手操作与材料辅助：利用七巧板、立方体模型直观体验图形的组成，发现其特性；通过折纸观察轴对称图形的对称性、角的关系；通过拼接法，如用多个三角形拼接四边形等多边形，探究多边形的内角和定理。教师还可利用信息技术辅助学生探究。如VR技术可模拟三维空间的几何关系；立体投影可提高学生的空间想象能力；将AR应用于现实场景中的几何测量，如利用手机摄像头分析建筑物的几何结构。这些策略有助于学生在直观体验中逐步构建几何概念，形成深层次的数学理解，体会数学的应用价值。

2.强化图形研究方法教学，凸显推理能力的培养

在图形与几何教学中，逻辑推理是学生要掌握的关键能力。教师应遵循“概念—性质—判定—应用”的路径，引导学生经历从简单到复杂、从一般到特殊的学习过程，逐步建立逻辑推理能力。以平行四边形的教学做具体说明：概念引入阶段，我们可以引导学生理解平行四边形的定义（两组对边分别平行）；性质探究阶段，我们可以引导学生研究其核心性质，如对边相等、对角相等、对角线互相平分等；判定方法探究阶段，我们可以引导学生归纳判定条件，并做判断给定图形是否为平行四边形的练习；实际应用阶段，我们可以引导学生结合现实问题，如运用所学知识设计稳定的建筑框架。层层递进的教学设计能使学生在探究过程中自然形成推理与论证能力，提升思维的严谨性和灵活性。

3.设计结构化学习单元，建构完整的认知结构

图形与几何知识之间存在紧密的逻辑关系，教师应按照“基本元素—基础图形—特殊图形—综合应用”的层级体系进行大单元结构化教学设计，帮助学生形成知识网络，提升知识迁移能力。例如，在三角形的学习中，我们可以先从基本元素入手，引导学生理解其“点”（三角形的顶点）、“线”（边、中线、高）、“角”（内角、外角）的定义与关系，接着进入基础图形“三角形”的研究，从静态性质（如内角和为180°）到动态规律（如三角形的稳定性，这可以通过对比观察四边形框架与三角形框架被挤压的情况而发现）逐步展开，然后通过属性特殊化引入“特殊图形”，如限定两条边相等而得到等腰三角形，分析其对称性，进而将边相等的条件极端化，即条件为三边相等，引出等边三角形，或通过一个角为90°的条件“定义”直角三角形，而后利用拼接法探索勾股定理的几何证明，最后在综合应用中迁移知识——用勾股定理解决测量问题、利用三角形稳定性设计建筑结构、结合密铺规律分析地砖图案等。教师还可通过思维导图帮助学生建立几何知识和与其他知识的关联，如平行四边形、矩形、菱形、正方形的层级关系等。总之，结构化单元教学设计能使学生在学习过程中形成层次清晰、逻辑严密的知识体系，提升思维的系统性和灵活性。

4.加强静态与动态联结，增强空间观念和几何直观

在图形与几何教学中，图形的“静态特征”与“动态变化”并非割裂、对立的关系，而是认知图形本质的两种视角，教师可通过“静中见动、动中固静”的策略深化两者的联结。一是在静态研究的基础上引入动态研究。例如，在学习矩形的性质（静态）后，通过旋转（动态）矩形得到圆柱体，引导学生发现旋转变换与立体几何的关系。二是借助几何画板、GeoGebra、Cabri 3D等软件直观演示图形变换的过程，帮助学生理解变换前后图形的不变性。例如，在平移中分析图形移动时的特征；在旋转中探究不同旋转角度下图形旋转前后的对称性；在轴对称中研究镜面对称及其在现实中的应用（如光的反射）。通过静态研究与动态研究的结合，学生能深入理解图形变化的本质，增强几何直观，提高解决复杂几何问题的能力。

总之，结构化的几何教学体系能帮助学生形成清晰的知识框架，从多个角度深入理解图形的性质、变换及坐标表示，并在实践中灵活运用这些知识。为此，教师应该为学生提供更具互动性和探索性的学习环境，并注重融合新技术、新方法教学，助力学生建构知识，形成数学核心素养。

参考文献

［1］章飞，顾继玲，马复，等.促进学生结构化学习能力发展的初中数学教科书设计——以北师大版初中数学新教材为例[J].天津师范大学学报（基础教育版），2025，26（01）.？

（姜惠敏系新疆石河子大学理学院副教授，北京师范大学访问学者）

文字编辑 刘佳