沟通算理与算法 感悟运算一致性

运算教学中如何落实运算一致性的教学目标，促进学生对运算本质的认识与理解，发展学生的数学核心素养呢？笔者结合具体教学从算理一致性、算法一致性、运算一致性三个层面探讨。

一、注重算理表征，感受算理一致性

四则运算的实质是在四则运算意义的基础上，运用运算律推理得出所要计数的计数单位及其个数的过程。教学中，教师应注重算理的表达，让学生在理解运算意义的基础上先借助直观模型操作，表征计算中每一步、每一个数字的意思，然后用语言表征操作过程所表示的意义，最后尝试用符号表征运算过程及结果，让操作、语言和符号三种不同表征建立联系，深化理解算理。

课堂上，首先，笔者提问：“根据乘法的意义，[34]×[23]表示什么意思？”通过交流、分析，学生理解了[34]×[23]的意思是求[34]的[23]是多少。笔者引导学生操作表征：画出一个正方形，把它平均分成4份，涂出其中的3份，以此表示[34]。接着，笔者要求学生先用语言描述[34]，即[34]是3个[14]，再用算式[14]×3表示。然后，笔者引导学生表征[34]×[23]。学生把正方形的[34]平均分成3份，用另一种方式涂出其中的2份。在此基础上，笔者引导学生理解上述操作过程就是先把计数单位[14]平均分成3份，取其中的1份，得出一个新的计数单位[112]，再涂出6个[112]的过程，用算式表示就是[34]×[23]=[14]×3×（[13]×2）=（[14]×[13]）×（3×2）=[112]×6=[612]=[12]。最后，笔者点拨：“这个推导过程反映了分母和分母相乘得到积的分母，分子和分子相乘得到积的分子的算法。

学生在操作表征、语言表征的基础上，用算式表征，进而体会到分数乘法实际上是计数单位和计数单位个数的计算。教师在加、减、乘、除的每一次算理教学中坚持运用多元方式表征算理，就能让学生发现各类运算都是对计数单位和计数单位个数的操作，感受到四则运算算理的一致性。

二、从未知到已知，感悟算法一致性

“数与代数”领域是义务教育阶段学生数学学习的重要领域，在小学阶段包括“数与运算”和“数量关系”两个主题，学段之间的内容相互关联，由浅入深，层层递进，螺旋上升，构成相对系统的知识结构。因此，教师要在教学中鼓励、引导学生基于已有经验进行有效迁移，实现从未知到已知的转化，体验转化思想的价值，感悟算法的一致性。

教学北师大版数学三年级下册《队列表演》时，学生探索如何计算14×12，他们基于计算两位数乘一位数、两位数乘整十数的已有经验，借助点子图独立探索，得出多种算法，如14×12=14×6×2，14×12=12×7×2，14×12=14×10+14×2，14×12=12×10+12×4等。笔者重点引导学生借助点子图将12分解成10+2，然后用横式对应写出分解成的两部分所表示的意思，最后把两部分的积合起来得到结果，即14×12=14×（10+2）=14×10+14×2=168。这样，学生就用已知的方法探索出计算14×12的方法，进而建立简洁的乘法竖式，清晰地看到14×12竖式中14×10实际上计算的是14×1，只不过其结果的末尾要和十位对齐，从而实现从算理到算法的自然过渡，感悟到乘法计算方法本质上的一致性——无论是两位数乘一位数还是两位数乘两位数，都可以转化为表内乘法计算。

三、对比与总结，体会运算一致性

《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调，“在数与代数部分，要初步体会数是对数量的抽象”，“感悟数的概念本质上的一致性”，“感悟数的运算和运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性”。

异分母分数加减法是小学阶段最后一次学习加减法运算。课堂小结时，笔者依次提出“为什么异分母分数加减法要先通分，而同分母分数加减法不需要通分，可以直接相加减呢？”“异分母分数加减法和同分母分数加减法的计算方法有相同的地方吗？”等问题，引导学生通过观察、对比、总结，得出异分母分数加减法和同分母分数加减法的共性——都是把相同分数单位的个数相加减。然后，笔者提问：“小学阶段除了学习分数加减法，还学习了整数、小数的加减法。它们的计算方法有相同的地方吗？”学生结合实例对比分析，归纳出整数、小数、分数加减法计算方法的共性——计算相同计数单位的个数。笔者进一步引导学生交流、沟通不同计算方法之间的联系。比如，先让学生分别说一说3+5=8，8-5=3，3×5=15，15÷3=5的含义，再让其在数线模型上标出这几个算式的计算过程，使其清晰地看到，在数线上：加法是？向右累加？，减法是？向左逆减？；乘法是？固定步长的跳跃式累加？，除法是？固定步长的逆向拆分？，进而理解减法是加法的逆运算、乘法是加法的简便计算、除法是乘法的逆运算，并在笔者引导下发现四则运算都是基于加法扩展的，体会四则运算的一致性。

（作者单位：潜江市田家炳实验小学）

文字编辑 张敏