从无到有，教会学生“怎么学”

［摘  要］ 新课改背景下的数学教学不再满足于知识与技能的掌握程度，而更关注学力的发展情况. 在课堂中，如何引导学生从无到有进行正确的数学思考，获得良好的学习能力呢？研究者以“椭圆的方程”教学为例，从以下几个方面展开教学设计与思考：APOS理论指导，亲历实操活动；基于认知经验，预设探索途径；应用分层教学，满足实际需要；借助问题引导，揭露知识本质.

［关键词］ 怎么学；学习能力；椭圆

核心素养集中体现了学科教育的核心价值，是学生形成关键能力、必备品质以及正确价值观的体现. 在教育全面深化改革的当下，想尽一切办法培育学生的数学学科核心素养，已然成为广大数学教师的共识. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出数学教学要紧扣知识的内涵与本质，引导学生在数学思考中实现从无到有的转变，掌握具体的学习方法. 实践证明，教会学生怎么学是实施课程教育的核心，是激发学生从无到有、提高学习能力的关键.

教学分析

椭圆是圆锥曲线章节的内容. 学生在课前就已经接触了直线与圆的相关知识，对解析几何的常规研究思想和方法有了初步的掌握. 若能规范对椭圆的研究，并将研究思想与方法提炼出来，将对后续研究的深入和知识的拓展起到示范和引导的作用. 鉴于此，教师可基于学生已有的认知和经验，有意识地引导学生从无到有进行思考，从而构建一套相对系统的探索解析几何的通用方法. 基于上述分析，笔者结合学生学情设计了相应的教学过程.

教学过程设计

1. APOS理论指导，亲历实操活动

APOS理论由美国数学家杜宾斯基等人创立，该理论致力于概念学习过程的探索，对数学概念的教学具有指导意义. APOS理论认为，学习者在学习概念的过程中需经历一个完整的心理建构过程，此过程包含操作或活动阶段、过程阶段、对象阶段和概型阶段，强调概念教学可基于学生的认知水平实施反省抽象和思维运算，让学生学会从综合的角度来审视概念所具备的背景和形式定义等，为揭露概念的内涵与外延奠定基础. 将APOS理论应用到椭圆方程的教学中，可让学生从根本上理解什么是椭圆的方程，并在动手画椭圆的过程中，对椭圆形成深刻理解.

活动安排：课前准备好圆形纸张，课堂上在圆形纸张内任意取点F（非圆心），将纸片进行翻折，让其边缘经过点F后再展开，由此获得折痕l（用笔勾勒）. 如图1所示，多次重复上述步骤，勾勒出多条折痕，分析所获得的折痕轮廓可能为一个什么曲线.

从勾勒的折痕来看，学生初步判断形成的曲线是椭圆. 那么，如何确定这个结论是否准确呢？在教师的引导下，学生进行了相应验证：探寻折痕上的哪个点是构成椭圆曲线的点，并分析该点满足什么条件.

刚开始，学生面对这些眼花缭乱的折痕有点手足无措，但在这个问题的引导下，瞬间就发现了问题的本质——探寻折痕上形成椭圆的点.

为了让学生更清晰地理解这个问题，教师利用几何画板进行折痕演示，引导学生通过直观观察来发现椭圆的形成过程. 几何画板的使用以学生为主体，要求学生通过观察和思考操作结论，将对折叠活动的直观感知逐步深化为理论层面的理解.

折纸活动是揭示椭圆起源及其性质的一个关键途径，该途径操作简单且易于掌握，因此它常被用于课堂教学中. 然而，折叠和画线的过程较为缓慢，且折叠次数受到限制. 在教育信息化的当下，教师可以带领学生通过观察几何画板的演示，形成更加直观和深刻的印象. 同时，教师还可以鼓励学生将动手操作的内容通过几何画板自主展现出来. 结合这两种方法，让学生亲身体验椭圆的形成过程，从而激发他们的探索兴趣，并推动他们积极参与后续的探究活动.

设计意图 新课改的推行促使教师不得不跟上时代的步伐，摒弃传统的“灌输式”教学模式，引导学生在自由、民主的氛围下进行深入探索. APOS理论的介入，让椭圆概念的探索变得更加具体、明朗、有趣，使学生在此过程中培养了用客观事实解决数学问题的能力.

2. 基于认知经验，预设探索途径

从认知结构迁移理论的角度来看，任何有意义的学习都是在已有的认知结构之上建立的，此为意义学习的根本，不存在脱离原有认知经验的学习过程. 这里所提到的有意义的学习主要涉及以认知结构作为中介的知识迁移，即将原有认知经验与新知学习有机地融于一体，通过知识的迁移来构建新的知识体系.

剖析学生在本节课之前所具备的认知结构，可知“圆的方程”是他们已经掌握的知识. 将探索圆方程的方法迁移到椭圆方程的探索中来，能起到事半功倍的效果. 在学生构建出椭圆图形的基础上，教师可以提出以下问题来启发学生进行思考.

师：我们已经了解了椭圆的形成过程，那么接下来我们应该研究什么呢？

此为一个具有启发性与导向性的问题. 在这个问题的启发下，学生将他们先前对圆的研究经验与知识，自然而然地迁移到椭圆的探索中来，从而自主地构建起探索的思路. 以下是师生之间的沟通过程.

生1：我认为探索完椭圆的定义之后，应该探索椭圆的方程了.

师：说说你的想法.

生1：在研究圆的过程中，我们首先探索了圆的定义，随后研究了圆的方程. 基于此，我认为椭圆的研究路径应该与圆相似.

师：这个想法不错. 在获得了椭圆的标准方程之后，接下来该怎么办呢？

生2：可通过探索直线与椭圆的位置关系，进一步深化对椭圆相关知识的理解.

生3：除了探索直线与椭圆的位置关系，我认为还可以研究椭圆与其他曲线，例如椭圆、双曲线、抛物线等，存在怎样的位置关系.

师：非常好！从大家的讨论中可以看出，你们的想法受到了对“圆”的探索的启发. 但这里有一点需要注意：当我们得到椭圆的标准方程之后，首要任务是探索椭圆的几何性质，而非椭圆与其他曲线的位置关系. 谁能说一说这是为什么呢？

生4：由于我们尚未研究椭圆的性质，因此必须先明确这些性质，才能进一步探索它与其他曲线的位置关系.

师：很好，这就是解析几何所具备的学科特性，即用代数法来探索几何对象，通常遵循“定义—方程—性质—位置关系”的研究流程.

设计意图 设问与追问的应用，促使学生调取自身已有的认知经验，罗列出探索解析几何问题的一般流程，为后续探索更多问题提供了思路参考. 从学生的表现来看，大多数学生都能准确预设课堂走向，说明他们具备良好的推理能力. 在教师和学生的共同努力与探索下，学生自主构建了深入研究椭圆的基本思路. 此环节的设计遵循了“以生为本”的理念，不仅揭示了建构主义理论对数学教学的重要作用，还帮助学生提炼了相应的数学思想方法.

3. 应用分层教学，满足实际需要

个体差异是不可避免的. 基于学生的实际认知水平和学习能力，实施科学的分组策略，并加强合作学习，能够有效地提升所有学生的思维能力，使每位学生都能掌握学习方法，并在学习过程中取得显著进步. 将分层教学与科学分组合作相结合，依据学生的学习情况设计教学内容和方向，可以初步规划课堂教学的基本进度，同时为个性化处理一些突发情况打下坚实的基础.

所有学生均认同上述两种方法，为了让学生能从他人的思路中获得启示，从真正意义上“学会学习”，教师根据学生的具体情况，要求他们分析上述两个方程的共同点. 经过思考，学生迅速指出两个方程的共同点在于“平移”. 这一发现的主要原因在于这两个方程极为相似，只有一个符号不一样，因此可以运用在探索三角函数图象时所采用的平移的方法来分析问题.

师：若选择其他的点作为坐标系的原点，则椭圆的方程会是怎样的呢？

一石激起千层浪，学生迅速被这个问题所吸引.

设计意图 分层教学模式的实施，为学生的思维搭建了坚实平台. 在对问题的分析与探索过程中，学生不仅获得了良好的“三会”能力，还进一步加深了对知识间联系重要性的体会，为知识的融会贯通奠定了基础. 由此可见，分层教学是促使深度学习发生的关键.

4. 借助问题引导，揭露知识本质

概念的特征越鲜明，学生理解起来就越容易；反之，若非本质特征繁多，学生在理解与接受概念时会遇到更多困难. 创设丰富的问题情境，能够引导学生从多角度和不同视角发掘概念的核心特征，从而为知识的迁移和应用打下坚实的基础. 实际上，创设问题情境，就是将问题的核心内容暴露出来，让学生在“变”中发现“不变”，并通过类比对知识的形成过程产生明确的认识. 从某种意义上来说，这种模式可有效提升学力.

鉴于对方程与具体椭圆之间的对应关系还不够了解，教师可适当变形原有的方程，以不断训练学生的识别能力，从而守住学习成果，提高学生对问题关键要素的识别能力.

生7：通过分析方程的推导过程，我们可以根据x2与y2的分母大小来判断焦点位于哪个坐标轴.

师：的确，看来大家对椭圆的标准方程的探究和归纳做得不错. 今后，当我们面对新的探索课题时，首要任务是从其特性入手进行细致观察，以便更深入地理解和掌握.

设计意图 问题引导与类比分析是课堂教学的基本策略. 在此环节中，在教师的循循善诱下，学生借助类比法不仅深入理解了知识的本质，还培养了良好的探究能力，提炼了相应的数学思想方法，学会了怎么学，达成了预期的教学目标.

数学教学的核心在于引导学生掌握学习方法，关键在于引导他们经历“从无到有”的知识探索过程. 作为课堂的引路人，教师应始终将学生的“学”置于教学的中心位置，使学生通过学习特定的知识点，掌握探索同类知识的能力，这是提高学生学习能力的关键.

总之，关注学生的元认知发展，引导学生“从无到有”构建良好的学习方法，是“教会学生怎么学”的关键，也是培养学生终身可持续发展能力的核心.