HPM视角下的单元起始课教学

［摘  要］ 单元起始课具有统领整个章节的作用，其教学可让学生对单元学习内容产生大致了解，便于构建知识体系，具有开山引路之功效. 研究者以“等比数列前n项和”的起始课教学为例，以核心概念的界定为起点，基于“等比数列前n项和”的发展历程去分析与思考，从“创设情境，导入新课”“实践探索，形成猜想”“推导求证，完善认知”三个环节展开研究，以及从知识的再现、复制与顺应三个维度展开思考.

［关键词］ HPM；起始课；历史

对于数学教学而言，起始课承载着激趣、启思、勾连新旧知识等重要作用. 从HPM的视角出发设计单元起始课教学，有助于学生从宏观角度理解新单元的内容，使他们能够从知识的形成和演变历程中深入体会“为何学”“学什么”“怎么学”“学如何”等，从而为培养核心素养打下坚实的基础. 笔者以“等比数列前n项和”的单元起始课教学为例，从以下几个方面进行了研究.

核心概念的界定

单元起始课是基础课型之一，扮演着先行组织者的角色. 尽管如此，部分教师认为单元起始课的内容较为浅显，并且在高考试题中鲜少涉及，因此往往忽视了这部分的教学. 这导致学生在知识基础上不够扎实，面对实际应用时显得束手无策. HPM是History and Pedagogy of Mathematics的简称，指数学史与数学教育［1］. 自该理念问世以来，关于HPM的研究方兴未艾. 实践发现，将HPM理念应用到单元起始课的教学中，一方面能有效激发学生的探索热情，提升学生的探究能力；另一方面可以引导学生深入探究知识的根源，真正领悟知识的本质和内涵，为将来的灵活应用打下坚实的基础.

历史的启迪

教学过程设计

1. 创设情境，导入新课

情境1 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”为《庄子·天下篇》中的一句话.

情境2 讲述一段关于在国际象棋棋盘上放置麦粒的历史小故事.

情境3 呈现莱因德纸草书中的数学难题：7屋内分别有7只猫，每只猫吃7只老鼠，每只老鼠吃7个麦穗，每个麦穗含7个容积单位的麦粒，求房屋、猫、老鼠、麦穗以及麦粒容积总数.

要求学生阅读上述三个情境，并逐一进行分析. 以情境3为例，学生需思考情境中提及的数量关系，明确题目中出现了7，72，73，74，75这几个数，它们的和为19607. 基于此，再要求学生思考：如果增加项数，该怎样求和呢？

设计意图 以三个数学史上的经典问题作为教学情境，不仅能够渗透数学文化，还能激发学生的思维活力，让学生对等比数列的求和知识产生更深厚的情感，从而积极主动地投入到新知的探索之中，为构建完整的单元知识体系打下坚实的基础. 众所周知，恰当的情境设置能够为课堂营造良好的学习氛围，提高学生的课堂参与度. 此环节的三个情境设置，正为课堂营造了充满文化气息的教学环境，使每个学生在充满文化底蕴的氛围中迈进课堂，对本节课的教学内容产生积极的情感倾向.

2. 实践探索，形成猜想

设计意图 猜想是创新的起点，通过探究活动激发学生猜想，对于培养创新意识具有至关重要的作用. 在教师的引导下，学生逐渐拓展思维，形成初步猜想. 至于这些猜想所导出的结论是否准确，仍需经过严格的验证过程.

3. 推导求证，完善认知

课堂数学史应用分析

1. 知识的再现

根据学生的认知发展规律以及知识的发展历程，设计逐步深入的问题，能够有效提升学生的思维层次，激发他们的潜能，引导他们自然而然地投身于知识的探究之旅. 弗赖登塔尔认为，最好的教学方法就是让学生“再创造”知识. 在本节课中，教师运用类比、归纳等方法，以“首项为1，公比为2”的等比数列作为教学的切入点，逐步扩展至“首项为1，公比分别为3，4，…，n”的等比数列. 此为典型的从特殊到一般的数学研究过程. 只要学生能够在课堂上与教师的教学节奏同步，他们就能深刻体验等比数列前n项和的发展脉络，从而形成理解性记忆，为将来的灵活运用打下坚实的基础.

2. 知识的复制

古巴比伦泥板、莱因德纸草书等历史文献的展示，彰显了知识复制的纯粹性. 课堂探究环节提及的因式提取法、掐头去尾法以及错位相减法等，均为历史上关于等比数列前n项和的研究突破. 将这些知识原汁原味地引入课堂，能够提升学生的学习兴趣，并为实际应用打下坚实基础. 因此，知识的复制在数学教学中具有独特的优势. 尽管跨越了漫长的岁月，但将这些知识复制到课堂中，能够激发学生的探索欲望，使每个学生都积极主动地投入到新知识的研究中，从而体验历史的发展和时代的进步.

3. 知识的顺应

总之，数学发展离不开历史沉淀，等比数列求和公式的研究，彰显了数学发现、猜想和证明过程的重要性. 公式在历史的画卷中悄然形成，凸显了“知识之谐”. 通过史料的复制与改编，提升了学生对公式的理解深度，课堂内容变得更加生动有趣，这表明从HPM视角出发的单元起始课教学，在促进数学学科核心素养的发展方面具有显著的价值.

参考文献：

［1］ 沈利芳，吴凯. HPM视角下数学史料在高中数学概念教学中的运用：以阿波罗尼斯圆为例［J］. 新课程评论，2021（4）：76-84.

［2］ 覃淋. 基于HPM视角的中职数学教材的编写［J］. 湖北成人教育学院学报，2022，28（2）：16-22.