“多元”聚合 重构运算模型

［摘 要］模型意识的构建与发展对小学生的数学学习和思维发展具有重要意义。同分母分数加、减法上承整数加、减法和小数加、减法，下启异分母分数加、减法，就内容而言并不复杂。教学目标不能简单定义为理解算理、掌握算法，而应在此基础上将整数、小数、分数的加、减法进行深入勾连，在整体化、结构化教学前提下重构运算模型，体现加减运算的一致性，发展学生的模型意识，培养学生的核心素养。

［关键词］整体化；结构化；一致性；重构运算模型

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2025）11-0052-04

《义务教育数学课程标准（2022版）》（以下简称《课程标准》）指出，为实现核心素养导向的教学目标，要整体把握教学内容之间的关联，注重教学内容的结构化，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。同时，《课程标准》还指出，对小学阶段“数与运算”主题，要帮助学生理解整数、小数、分数基于计数单位表达的一致性。整数、小数、分数都是对有多少个计数单位的表达，而数的运算本质是计数单位的分与合。基于此，笔者以人教版教材五年级下册第六单元“分数的加法和减法”中“同分母分数加、减法”一课为例，谈如何从整体化、结构化、一致性等多元视角培养学生的模型意识，重构统一的运算模型。

一、运用多元化视角，沟通模型的意义，落实“四能”培养

【教学片段一】

出示教材例1情境图（如图1），并给出描述：

【教学策略】

《课程标准》指出，课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调使学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验（简称“四基”），发展运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力（简称“四能”），形成正确的情感、态度和价值观。

由此可以看到，在培养学生的模型意识、发展学生核心素养的过程中，需要让学生获得“四基”、发展“四能”。那么，教师关注学生从生活情境中发现问题、提出问题和解决的能力就显得尤为重要。

因此，笔者在呈现教材情境时没有直接完整出示条件和问题，而是让学生在具体情境中以多元化的视角经历寻找信息、分析信息、提出问题、列式计算的过程，从而让学生理解分数加减法的意义和整数加减法的意义相同，为进一步建构整数与分数加减运算的模型提供意义支撑。整个教学环节包括自主探究、交流汇报，使学生丰富了体验、积累了经验，同时凸显了整数与分数计算教学之间的联系，初步构建整数加减法和分数加减法在意义上的一致性，构建在意义支撑下的运算模型。

二、运用多元化表征，诠释模型的本质，落实素养发展

（一）运用数、形、义多元结合，理解算理，丰富模型内涵

借助问题清单，运用多元化表征，让学生在具体的活动中借助圆、正方形、线段等直观图揭示同分母分数加、减法的算理，借助数形结合的直观表达摆脱对形的依赖，用分数单位来解释算理，深入理解分数加减运算模型的本质。

对于简单的同分母分数加法，教师可以大胆地让学生展示他们已经掌握的方法，将目光聚焦到“为什么这样算”的算理探究上，给予学生足够的时间和空间去表达，并借助圆、正方形、线段等直观图和说一说、写一写等方式，让学生在多元表征的支撑下理解同分母分数加、减法的算理，理解运算模型的本质。

教学时要紧扣关键问题“变与不变”，即“分母为什么不变”“分子相加代表着什么”“同分母分数相加，相同的是什么”等问题，抽象出“分数单位相同，只要把分数单位的个数相加”这一加法运算的本质，让学生在数与形的双重验证下理解“变与不变”的本质含义，实现由形到义，再由义到形的多元互证，从而理解分数加法的算理，丰富模型的内涵。

（二）由模型变式到内涵统一，发展学生的推理意识

从分数加法到分数减法，计算模型发生了一定的形变，但模型的本质内涵依然是统一的，并没有发生根本性的变化。正是基于这一点，笔者在教学同分母分数减法时并没有重走教学同分母分数加法的老路子，而是基于学生已有的认知基础，让学生摆脱对形的依赖，借用分数的意义展开推理，做到“知其然更知其所以然”，有效发展推理意识。

三、运用多元化表达，解 “形”立“义”，重构运算模型

【教学片段三】

（一）整合模型，联系整数、小数和分数的加减运算

在以往的教学中，教师建立模型后就让学生应用模型解决问题，忽视了重要的一步——将同类模型进行整合，从整体化、结构化、一致性等多元视角对模型进行再认识，再建构。对比教材中呈现的整数、小数和分数加减法的探究过程，可以发现整数、小数以及分数加减法的算理都是基于计数单位和个数建立的，不同的是它们在计算模型上有着很大的差别。教师需要从运算的一致性角度对运算模型进行结构化整合，促使学生通过多元化视角对多个不同模型进行全面理解，从而构建一个统一的加减运算模型，解决学生认知上的难点。

在所有的加减运算中，分数加减法尤为特殊，因为它不像整数、小数那样有统一的竖式模型。除了分数的特殊表现形式，造成这一情况的原因还在于分数的计数单位不像整数与小数那样有统一的“十进制”体系，使得分数不容易建立与整数、小数相同的竖式计算方式。但这并不妨碍学生通过自己的理解在一定的范围内建立分数加减法的竖式计算模型，并构建分数加减法与整数、小数加减法之间的联系。

（二）构建分数加减法竖式，达成“形”的一致性

从整数到小数，加减法运算都有统一的竖式，分数加减法却没有竖式，这是为什么？笔者猜想学生的心中也会有同样的困惑。本着从学情出发的原则，笔者在教学中让学生尝试着列一列分数加减法竖式，没想到学生还真列出来了，他们将原有的分数进行转动、调整、补充，形成了与整数、小数加减法相统一的竖式计算模型（如图6）。

这样一个小小的形状改变就能将分数竖式清晰地表达出来。此时教师只需将分数竖式与整数、小数竖式进行对比整合，借助多元化视角明确分数加减法与整数、小数加减法的相同点与不同点，从而直观地从“形”上统一分数、整数、小数的加减法，构建加减运算在形上的一致性。

（三）借助竖式对比关联，构建“义”的一致性

有了分数竖式的加持，学生就有了具体直观的对比参照物。通过对比不难发现，“3+1”就是分数单位个数的相加，而[18]是计数单位，就像整数与小数中的个、十、百、千、十分之一、百分之一等计数单位一样。因为计数单位不变，所以分母中的“8”不需要改变，如此便完成了整数、分数、小数加减法在意义上的统一，即相同计数单位个数的累加或相减。从本质意义上理解并构建加减运算的一致性，为学生后续学习异分母分数加减法等知识积累了学习经验，构建了基本模型支撑，真正实现教学内容的整体化、结构化，在多元化视角的融合下帮助学生建立体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化、多元化数学知识体系。

总之，从最初的建立整数加减运算模型到小数加减运算的模型拓展变式，再到同分母分数加减运算时的模型突变，在整个加减运算的过程中完成了建模、变模、破模的一系列模型构建过程。特别是本课通过沟通整数、小数、同分母分数加减运算之间的关系，将整数、小数、同分母分数加减运算模型从“形”与“义”两个方面进行了整体化、结构化的统一构建，帮助学生深入理解了加减运算模型的意义，体现了计算教学的系统化、结构化和一致性。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 查云全.“双减”背景下小学数学落实核心素养有效性作业设计[J].云南教育（小学教师），2023（9）：39-40.

[2] 刘青燕.“双减”背景下小学数学体验式“小作业”设计[J].新课程研究，2023（22）：85-87，91.

[3] 赵莉.小学数学数的概念一致性与运算一致性研究[D].长春：东北师范大学，2023.

[4] 潘晓杰，姜丽丽.计算教学引导学生理解算理的必要性[J].内蒙古教育，2023（6）：57-63.

（责编 杨偲培）