聚焦尺规作图　发展核心素养

［摘 要］尺规作图是学生“做中学”的重要体现，它能够使抽象概念可视化，逻辑思维外显化。文章在引导学生了解周长本质、尺规作图的价值以及注意事项的基础上，通过多元操作，初步感知周长；尺规作图，深入理解周长；化曲为直，感悟数学思想这三个方面，帮助学生理解概念本质，发展几何直观和推理意识。

［关键词］尺规作图；几何直观；推理意识

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2025）11-0088-03

图形与几何是义务教育阶段学生数学学习的重要领域，“图形的认识与测量”是该领域的主题之一。“认识周长”一课旨在帮助学生直观理解周长的本质，提升自主探究的能力，发展核心素养。

一、课前慎思

（一）周长的本质

周长是指围绕有限面积的区域边缘一周的长度，其中一周是前提，长度是本质，是对一维空间的度量。为强化学生对周长的理解，教师应引导学生经历“感知—抽象—概括—巩固”的概念学习过程。学生通过对感性材料的观察、触摸、操作等活动，建立清晰的表象。比如，利用直尺和圆规将三角形的三边画到一条直线，直观感受三角形的周长，再通过测量和计算三边的长度之和，感悟周长的本质。可见，周长是一个数形结合的数量概念，因此，“认识周长”的大概念可以提取为：周长是封闭图形特有的，是图形边缘线的长度，具有可加性。

（二）尺规作图的理论与实践要点

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）关于“图形的认识与测量”的教学提示指出，图形的周长教学可以借助用直尺和圆规作图的方法，引导学生自主探索三角形的周长，感知线段长度的可加性，理解三角形的周长，归纳出长方形和正方形周长的计算公式。对此，在实际教学中，应明确以下概念。

1.尺规作图的内涵

“尺”是没有刻度的直尺，主要用来画直线、射线、线段；“规”指圆规，可以用来截取相同的长度或画弧。因此，尺规作图是指用无刻度直尺和圆规进行作图。

2.尺规作图的教育价值

（1）体现数学的严谨性

将三角形的三条边“搬”到同一条直线上时，有学生想到了张开手指比画，但在这过程中，手指会不由自主地动，结果就不准确了。而用圆规进行操作，学生会感悟到只要圆规张开的角不变，移动过程中线段的长度就不变。

（2）促进学生感悟知识本质

周长是封闭图形一周边线的长，其本质是长度，长度是一维的线的属性，而几何图形是二维的面。虽然在教学中，教师都会让学生在物体的表面或平面图形上指一指、描一描其一周的边线，但这时的动作表象仍未脱离二维的面。让学生用圆规将三角形三条边依次首尾相接，画到一条直线上。学生会发现：线段是可以累加的，虽然三角形边的位置变了，但对应的长度没有变。由此，学生体会了运动的不变性，从而通过测量线段的长度得到周长，感悟周长的本质。

（3）发展学生的核心素养

尺规作图对发展学生的核心素养的作用主要表现在几何直观和推理意识。利用尺规把几何图形的一周边线从二维的面上剥离，得到一条线段，让学生直观感受周长就是几条线段构成的长度总和，将抽象问题具象化，将思维结果图示化。紧接着，教师应抓住契机，及时追问：为什么这条线段的长就是三角形的周长？引导学生结合作图轨迹分析、思考和说理，培养学生有条理、有根据地表达，初步感悟逻辑推理的内涵，帮助学生从具体操作向抽象推理的进阶。

3.尺规作图教学注意事项

尺规作图在小学阶段是一个全新的内容，学生在操作时很容易遇到困难，此时不能让学生跟着教师的示范亦步亦趋地模仿，这样就失去了尺规作图的育人价值。教师可以在教材编排的教学内容基础上新增“和尺规做朋友”教学内容，帮助学生认识圆规的组成、使用方法，学会运用尺规画指定长度的线段，设计自己喜欢的图形等。在教学过程中，教师要大胆放手，让学生多一点探索与尝试，多一点想象与体验，多一点反思与感悟，这样才能多一点创造与惊喜。

尺规作图为学生提供了“做中学、悟中创”的实践机会。在学生第一次利用尺规作图时，教师要引导他们构思作图想法，明确作图过程，留下作图痕迹，在直观操作与抽象想法间建立联系，以便学生借助直观图示进行表达、交流与说理。

二、课堂实践

（一）多元操作，感悟概念本质

（教师用多媒体出示“周”字甲骨文）

师：同学们认识这个字吗？想象一下，它像什么？

生1：我觉得这个字是“周”，因为它像几块农田一周的边线。

师：“一周的边线”这个描述很好。我们的祖先通过观察生活发明这个甲骨文，经历演变，就成了现在的“周”字。

师：数学书封面一周的边线在哪里呢？你能指一指吗？

（学生上台指，边指边说）

师：几位同学的指法有什么相同和不同的地方？

生2：我发现他们指的起点不同，方向也不同。

生3：我发现他们都是从一点开始沿着数学书封面的边线绕了一周又回到了起点。

师：你能再指一指课桌面一周的边线吗？

（同桌互指）

师：今天老师给同学们带来了两张书签，你们能描出他们的一周边线吗？

（出示两张书签：一张是长方形，一张是心形）

师：比较这两张书签一周的边线，有什么不同？

生4：第一张书签的边线是直的，第二张书签的边线是弯的。

师：真有数学眼光。现在褪去他们生活的外衣，这些都是什么图形？

生5：平面图形。

师：像这样，图形一周边线的长叫作它的周长，例如书签一周边线的长是书签的周长。你能像这样再来说一说其他图形的周长吗？

生6：长方形一周边线的长是长方形的周长。

生7：课本封面一周边线的长是课本封面的周长。

生8：圆形一周边线的长是圆的周长。

师：虽然这些物体不同，但它们的一周边线的长度就是它们的周长。

【设计意图】“一周边线”是认识周长的前提，它依附于面，而面的二维属性增加了学生理解周长概念的难度。如何突破难点？《课程标准》要求结合实例认识周长。本环节，教师借助数学书、课桌、书签等学生熟悉的物体，引导学生通过指一指、描一描、比一比、说一说等一系列活动，深切体会一周边线，继而揭示周长概念，从具体到抽象再回到具体，帮助学生逐步直观认识周长。

（二）课程导入，引入尺规作图

（课件出示图形：角）

师：这是我们以前认识的图形朋友，它有周长吗？

生1：它没有周长。

师：为什么？

生2：它的边线没有连在一起，不是封闭图形。

师：那我们把它变成封闭图形。

（多媒体展示）

师：现在成了我们熟悉的什么图形？

生3：三角形。

师：我们把三角形的三个顶点分别记作A、B、C。三角形ABC的周长到底是多少呢？你打算怎么量出它的周长？

生4：我用直尺分别量出三角形三条边的长度，再加在一起，就是三角形的周长了。

师：也就是量三次再相加。如果只量一次，你有什么好办法吗？先思考再动手试一试。

生5：我是这样用手比画，分别将三角形的三条边移到一条直线上，然后再测量。

师：大家觉得这个办法怎么样？

生6：用手比画的过程中，手很容易抖动，这样就不准了。

师：你还有什么办法把三角形三条边也搬到一条直线上吗？

生7：用圆规。

师：我们课前已经和圆规交了朋友，现在就请它来帮帮忙吧。

【设计意图：本环节包含两个主要活动。首先，通过将角变成三角形，强化学生对周长是封闭图形才具有的属性的认识。其次，让学生探究测量三角形周长的方法，以此引出尺规作图的需求。】

（三）实际操作，探究周长本质

生1：我先用直尺画一条直线，在直线上选一点作为起点A，然后用圆规分别把三角形的AB，BC，CA边“搬”到直线上。

生2：要注意的是，将这三条线段画在同一条直线上时，这三条线段不能重叠，要顺次连接。

师：好的，根据同学们的描述，我们用圆规画出了这样的线段。

（出示同一条直线上的三条线段AB、BC、CA1）

师：三角形ABC的周长指的就是这条直线上哪条线段的长度呢？

生3：线段AA1的长度。

师：为什么？请说说你们的理由？

生4：线段AB是三角形AB边的长度，线段BC是三角形BC边的长度，线段CA1是三角形CA边的长度，把它们连接在一起是线段AA1，正好是三角形ABC一周边线的长度。

【设计意图：在本环节借助直尺和圆规进行作图，引导学生自主探索三角形的周长，感知线段长度的可加性。】

（四）化曲为直，感悟数学思想

师：刚才通过我们的好朋友直尺和圆规的帮助，将三角形的一周边线转化成了一条线段，从而测得三角形的周长。现在你能测量这个心形书签的周长吗？

生1：心形书签的一周边线是弯曲的，圆规没有办法直接截取它边的长度。

师：那可怎么办呢？

（学生思考）

生2：根据刚才用直尺和圆规作图的经验，我们可以想办法把心形书签的一周边线放到一条直线上。

师：这个想法很好，怎么做呢？请同学们利用手中的工具动手试一试吧。

（学生动手操作）

生3：我用软尺围绕心形书签一圈，然后拉直。

生4：我先在一根线上做一个标记作为起点，然后绕着书签围一周，再做个标记，拉直，再用直尺测量这根线两个标记间的长度。

生5：我发现这个书签有一圈边框，我将边框慢慢撕下来，然后展开铺平，再测量这个边框的长度。

师：大家想一想这些方法有什么相同的地方？

生6：都将心形书签一周弯曲的边线变成了一条直的线段。

师：你观察得真仔细，这在数学上我们把这种方法叫作“化曲为直”。

【设计意图】在生活中，物体或图形的轮廓并非总是直线，也有弯曲的，而曲线相较于直线而言，其复杂性更高，处理起来也更为困难。教师引导学生借助工具，结合对周长本质的理解，通过巧妙的转化，将一周弯曲的线转化为一条直的线段，从而解决问题。这一过程不仅展现了数学的灵活性，同时也揭示了思维的深刻性。

三、课后反思

（一）概念可视化，凸显几何直观

概念可视化是指将抽象的概念转化为易于理解的、直观的图形、图像或其他的表现形式。周长是指封闭图形一周边线的长度，一周边线是依附于面而存在的，观察物体时直接映入眼帘的是面，因此，借助尺规作图，将三角形的一周边线从面上分离是教学的重点。通过探究，学生理解将三角形的各边依次首尾相接，形成一条线段，线段的长度就是三角形的周长。由此，抽象的周长概念得到直观具体的呈现。

（二）思维外显化，发展推理意识

尺规作图的过程本质上是一个严谨的推理过程，学生需要根据定义、公设和公理进行作图，每一步都需要有明确的依据，这种严谨推理的过程有助于培养学生的逻辑推理能力。

总之，通过尺规作图不仅能够帮助学生直观地理解和掌握周长的概念，还能促进学生思维能力和几何素养的提升。

［ 参 考 文 献 ］

[1]    中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]    沈重予，王林.小学数学内容分析与教学指导[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2015.

【本文系江苏省教育科学“十四五”规划2023年度立项课题“数学大概念下小学数学单元整体教学案例研究”（项目编号：C/2023/03/17）的阶段性研究成果。】

（责编    梁桂广）