基于核心素养的函数大概念下“二次函数”单元教学初探

2022年颁布的义务教育数学课程标准中提到“基于核心素养发展要求，避选重要观念、主题内容和基础知识，设计课程内容，增强内容与育人目标的联系”2018年颁布的普通高中各学科课程标准中“凝练学科核心素养”“重视了以学科大概念为核心，使学科内容结构化”.围绕大概念进行单元教学设计成为学科教育发展的趋势，改变注重以课时为单位的教学设计、推进单元整体教学设计是落实核心素养的重要手段.如何避免碎片化教学设计，围绕大概念进行单元教学设计以真正落实核心素养呢？一线教师在实践的过程中还有很多困扰，下面，笔者结合“二次函数”单元教学进行探讨.

一、大概念统摄下单元教学设计的要素

1.课标要求.《义务教育数学课程标准（2022版）》提出：要通过现实问题中变量的分析，建立两个变量之间变化的依赖关系，让学生理解用函数表达变化关系的实际意义；要引导学生借助平面直角坐标系中的描点，理解函数图象与表达式的对应关系，理解函数与方程的对应关系，理解函数与对应方程、不等式的关系，增强几何直观；会用函数表达现实世界事物的简单规律，经历用数学的语言表达现实世界的过程，提升数学学习的兴趣，进一步发展应用意识.

2.章节对比分析，明确单元学情.通过梳理初中相关内容，我们了解到在学习本章知识之前，学生已经学习了函数概念和一次函数，具备了一定的研究经验，基本形成了函数的大概念.它和一次函数、反比例函数属于大概念“函数”统摄下的三部分内容，主要是研究两个变量之间的联系.通过对比人教版教材中一次函数、二次函数、反比例函数三个章节的内容，可以发现它们呈现的知识脉络十分清晰，从整体上揭示了“二次函数”这一章节的知识结构、思想方法和认知规律等学习内容.三章内容都是从实际情境引出二次函数的概念，然后通过研究图形，发展几何直观，进一步发现二次函数的性质．最后应用二次函数解决实际问题.

3.教材对比分析，明确单元教学内容与结构．类比一次函数单元的学习，从实际情景出发，扩充函数的类型．为了更好地明确二次函数单元的教学结构，达成教学目标，笔者对多个版本的初中数学教材中二次函数单元的内容编排进行了比较分析，如表1.

二、大概念统摄下二次函数单元教学的目标

1.把章引言中“什么样的函数是二次函数”拓展为：了解二次函数及其相关概念，通过具体示例认识这种函数．经历把实际问题抽象为二次函数的过程，体会函数是刻画现实世界中变量关系的一种数学模型，发展抽象能力和模型观念.

2.把讨论二次函数的图象和性质拓展为：通过对比研究一次函数的方法探索如何研究二次函数图象和性质．能通过类比的方法明确研究图形和性质的方法与步骤，能通过画图比较总结处二次函数的性质，培养学生类比的思想，系统性的思维方式.

3.把如何确定二次函数的解析式拓展为：能根据已知条件，合理选择二次函数解析式的三种表达方式：一般式、顶点式、交点式，并用待定系数求出解析式，体会方程思想.

4.把加深对一元二次方程的认识拓展为：理解一元二次方程与二次函数的关系，理解一元二次方程研究的是二次函数某一个时刻的值，并能根据图象找到一元二次方程的解，找到不等式的解集，体会数形结合的思想.

5.把运用二次函数分析和解决某些实际问题拓展为：能够根据实际问题背景构建二次函数模型，并解决实际生活钟的问题，用数学的语言表达世界，发展应用意识和创新意识.

三、以学生研究为基础开展单元教学的实践

1.从情景出发构建模型，以情景为锚明确章节学习任务．在二次函数章节的第一个课时中我们选择设计了如下问题情景：情景1：正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为 x ，表面积为 y. 表面积与边长 x 有什么关系？（人教版教材）情景2：某种产品现在的年产量是 20t ，计划今后两年增加的产量，如果每一年都比上一年增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定， 与 x 之间的关系怎样表示？（人教版教材）情景3：校运会期间，各班组建一支队伍进行拔河比赛 .n 个班参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数 和参加班级数 n 之间有什么关系？情景4：一名学生投篮时，篮球行进高度 y（m） 与水平距离 x（m） 之间的关系，你能想办法求出来吗？教学说明：根据情景1、情景2、情景3，学生会生成以下关系 但对于情景4，学生无从下手.但不在预设范围内的问题往往会激发学生的发散思维．通过前3个问题情景让学生感受函数与现实生活密不可分，并从实际问题中抽象出函数模型，发展学生的模型意识.问题情景4的呈现，是为了激发学生思考如果寻找图象中所蕴涵的变量关系，进而引出研究函数的图象和性质的必要性，同时明确本章的研究任务.

2.在问题中促进学生发散思维，在问题链中聚焦研究起点.在本章的第二课时教学中大胆展开了如下问题链式教学活动：教师：根据上述实际问题，归纳出二次函数的一般形式 0 ）.我们如何研究它的图象与性质呢？生：画图.师：那请同学们自己写一个喜欢的二次函数解析式，然后画出它的图形.（学生自我探索，教师请学生展示了各种图形，有直线，曲线，V线等）师：这些图形看起来都不一样？生：我的不是直线，不应该只描两个点，因为我们事先都不知道图形是什么样子，一般要描5个点.师：这两幅都描了5个点，图形好像也不一样？.

3.类比一次函数研究二次函数的图象与性质—落实几何直观.在教学中，我们应当让学生感悟到数学研究的基本方法，体会用相似的方法解决不同的问题的数学思想方法，经历用相同的方法研究不同的数学对象的过程，学会一般观念引领构建出数学研究对象的基本路径、基本套路与基本方法，并用自主构建的研究方法研究一个新的对象，经历了数学抽象、逻辑推理等过程，发展了数学学科核心素养，实现从知识传递到育人赋能.

四、聚焦大概念统摄下单元教学的路径

1.归纳知识生成的一致性.一方面，生活中存在大量的数量关系，二次函数是描述实际生活中变量关系的一类关系．无论是过去学习过的一次函数，还是之后要学习的反比例函数，都是从实际问题中抽象出来形成的．通过对抽象出的数学模型进行分类研究，挖掘总结其性质，反之用二次函数关系及其性质帮助我们更精准的解决实际问题，从生活实际和数学现实两个方面进行双向研究，既能帮助我们理解概念的本质特征，又助力我们形成单元函数大概念的基础和核心

2.构建教学方法的多样性.函数关系都来源于实际生活，章引言中正方体表面积与边长关系、抛出小球的高度与时间关系、章前图中喷头喷出水珠的竖直高度与水平距离关系都抽象为二次函数，进一步研究函数特征是为了帮我们解决复杂的实际问题.这样从情景出发，以情景为锚，明确章节研究思路，不仅是情景教学法的体现，也是一种项目式教学法.一次函数、二次函数、反比例函数都是研究变量关系，所以知识的生成与发展都具有一致性，所以学生在章节之初的学习中处于“不愤不启，不不发”的心理状态，类比教学方法就水到渠成了．在研究二次函数的图象时，在问题中促进学生发散思维，在问题链中聚焦研究起点，又是一种典型的问题启发式教学法.

3.发展数学思维的系统性.数学世界是严谨的，数学知识是紧密联系在一起的．在数学教学中最忌违碎片化教学，数学思维的发展绝不是简单的堆砌过程，数学思维的形成应该是多种思维的交织前进的过程.例如，在二次函数章教学中通过对大量实际问题的研究，利用模型思维写出变量关系，又利用抽象思维提炼出二次函数的概念．在研究图形的过程中，利用类比思维明确研究思路，利用批判性思维找到画图的方法．这些都是人类思维最基本的趋势．所以发展数学思维的实质是发展一个由多种思维组成的思维系统.只有发展思维系统，才能体现数学学科核心素养的育人价值.

【注：本文系广州市教育科学规划课题“双减'背景下初中数学‘让学促思教学范式研究”课题（课题编号：202215253）成果】

责任编辑 徐国坚