新课标视域下学生数学空间观念的培养

培育学生的空间观念是“图形与几何"板块内容的教学基本取向。在小学阶段，空间观念在图形与几何领域中是按照从“长度"到“面积"再到“体积"的顺序进行安排的。其中，“长度”是基础，“面积”是关键，“体积”是“核心”。“长度"教学是“种子课”，“面积"教学是“生长课”，“体积"教学是“提升课”。这里，笔者以“生长课”——“多边形的面积”单元整体教学为例，谈一谈新课标视域下学生空间观念的培养。

一、重读教学内容

教师要从整体上、结果上、系统上培养学生的空间观念。在教学实践中，笔者发现，很多教师在实施“多边形的面积”单元教学时，往往按照教材的编排顺序，先教学“平行四边形的面积”，再教学“三角形的面积”，接着教学“梯形的面积”，最后教学“组合图形的面积”。这样的教学是一种点状的教学，点状教学能让学生建构相关的“多边形的面积公式”，但不利于学生掌握“多边形面积公式之间的关联”。实施单元整体教学不仅能让学生掌握“多边形面积公式”，还能让学生洞察“多边形的面积公式"之间的内在关联。

1.整体把握教学内容

实施“多边形的面积”单元整体教学时，教师要对教材中的相关内容进行增、删、整、创，从而整体性、系统性把握单元教材中的教学内容。教师通过整体把握教学内容，能让学生打通单元内部的“隔断墙”，建立单元整体认知结构的"承重墙"[1]。人教版小学数学教材，将“数方格"的方法即“用度量单位度量度量对象面积大小"作为一块“敲门砖”，其目的是让学生在探究平行四边形的面积时能想到将平行四边形转化成长方形。其实，“数方格"的方法对于多边形的面积推导不仅具有工具性意义和价值，更具有本体论的意义和价值。无论是平行四边形的面积、三角形的面积还是梯形的面积，教师都可以引导学生从“用度量单位度量度量对象的大小"这一视角展开思考。由此，“用度量单位度量度量对象"就应当是多边形的面积计算的大概念、高观点。有了这样的认知，教师就能整体把握多边形的面积计算的教学内容，将“转化"的数学思想融入、贯穿其中。

2.突出单元整体设计

基于对“多边形的面积”单元整体的解读，教师在实践中可以采用“结构化教学"的方式，将整个的“多边形的面积"教学分为“种子课教学”（平行四边形的面积）、“生长课教学”（三角形的面积和梯形的面积）、“延展课教学"（组合图形和不规则图形的面积）、“盘点课教学"（复习课）[2]。通过单元整体设计，能突出“多边形的面积"本质（度量），渗透“转化"思想，让学生认识到“转化"就是“将未知转化为已知""将复杂转变为简单”“将陌生转化为熟悉"等。在单元整体教学中，教师要突出转化的策略、方法，如“剪拼法"（剪—移—拼）、“倍拼法"（剪—复—转—拼）、分割法（剪）等。推导方法的本质都是“等积变形”，采用的是“出入相补"的原理、策略。单元整体设计不仅能让学生形成对“多边形的面积推导过程”的整体性认知，还能让学生形成对“多边形的面积形态"的整体性认知。

通过对“多边形的面积"教学内容进行整体性解读，教师在教学中要善于将教材内容解构、重组，以便让教学内容充分发挥育人功能，彰显教学内容的育人价值。教师要通过对教材内容的解构，让教学内容重新焕发生命的活力。教师在实施单元整体教学时，要立足于“大概念”，以“数学思想方法"为内核，引导学生对多边形进行整体性的观察、操作、建构和比较，从而让多边形的面积推导过程相通，让多边形的面积公式相通。

二、重构教学序列

建构学生空间观念的关键是教师要引导学生对图形的位置关系、大小关系、数量关系等有所把握。在“多边形的面积"单元整体教学中，教师要重整教学目标、重构教学序列，让学生的数学单元整体学习“如同呼吸一样自然”。以"面积单位度量"这一大概念、高观点作为教学主线，能打通平行四边形的面积公式推导与三角形和梯形的面积公式推导的关联，将多边形的面积公式与组合图形、不规则图形的面积计算联系起来。在单元整体教学中，教师可以采用“长程两段"的教学思想、策略来实施教学。“长程两段”是指将教学分为“学结构"和“用结构"两种课型[3]。一般来说，“学结构”的课型就是“种子课”，“用结构"的课型就是“生长课"“衍展课”。在学生“学结构"“用结构"的基础上，教师可以引导学生回顾、整理，这样的课就是“复习课”“盘点课"等。基于“长程两段"的教学策略，教师可以重构“多边形的面积"这一单元的整体教学序列。

1.上好"种子课”

“种子课"是对于整体性数学学科知识的认知、理解具有奠基意义的课。“多边形的面积"这一单元中的“种子课"就是“平行四边形的面积”推导、计算。教学中，教师要唤醒、激活学生的已有知识经验，让学生从长方形、正方形的面积公式推导中联想到平行四边形的面积公式推导。在动手操作过程中，学生发现平行四边形的面积不是整格数。由此，学生自然想到将不能整格数、整格算的平行四边形转化成长方形。在这个过程中，学生积极主动地比较平行四边形和长方形，认为将平行四边形转化成长方形的最关键之处就是要“产生直角”，由此产生剪、移、拼的动手操作。在“平行四边形的面积公式推导”这一“种子课"教学中，教师引导学生初步接触到“转化”的思想、方法，通过对平行四边形进行剪、移、拼等的等积变形操作发展其空间观念。

2.上好"生长课”

“生长课"是在“种子课"的基础上开展的，是对“种子课"中的相关数学学科知识、方法、思想的巩固。在“多边形的面积”单元整体教学中，“三角形的面积”“平行四边形的面积"等学习属于“生长课"的学习。教学中，教师可以从两个方面入手：一是聚焦于“用度量单位度量度量对象"这一大概念、高观点，启发学生采用"剪拼法"将三角形、梯形直接转化成长方形；二是聚焦于“转化"这一数学思想，用“倍拼法"将三角形、梯形（新知）转化成平行四边形（旧知），再根据平行四边形的面积公式，计算出三角形、梯形的面积。在“生长课"上，学生能进一步深化对数学核心概念、高观点、数学思想方法的认知，在"剪拼""倍拼""分割"等操作过程中进一步发展空间观念。

3.上好"延展课”

“延展课"是在“生长课"的基础上，对相关数学核心概念、高观点以及数学思想方法的深化、拓展和延伸。在“多边形的面积"单元整体教学中，“组合图形的面积""不规则图形的面积"等教学属于“延展课"的教学。其中，在组合图形的面积教学中，从"转化"这一数学思想出发，教师要引导学生将“组合图形"分解、转化成若干个“基本图形”，从而运用“加一加"（基本图形面积相加）、“减一减”（基本图形面积相减）、“变一变"（图形的“等积变形"）等策略将复杂图形转变为简单图形[4]。在不规则图形的面积教学中，从“度量"这一核心概念、高观点出发，引导学生将“整格”和"非整格"分类统计、计算，其中“整格"按"1个单位的面积"计算，而"非整格"（无论是大于半格还是小于半格）都按照“0.5个单位的面积"计算。如此，能将“多边形的面积"计算中的“精算”与“估算"相结合。当然，在“不规则图形的面积"教学中，教师可以引导学生从“转化"思想、方法、策略出发，将“面积计算"转变为“比对规则图形称量质量计算”，即经典的“称面积法”。在"延展课”上，教师要进一步拓展、延伸学生的数学思维，提升学生的空间观念。

4.上好"盘点课”

“盘点课”是对单元整体知识进行回顾、整理的过程。在“多边形的面积”这一单元整体教学中，“盘点课”要从两个维度开展教学：一是着眼于“多边形面积推导"过程，即引导学生以“长方形的面积"为基础推导“平行四边形的面积”，在此基础上推导“三角形的面积”“梯形的面积"等，将“转化"的思想方法贯穿面积推导的始终；二是着眼于“多边形面积形态”，即借助“梯形的面积公式"可以衍生出其他多边形的面积公式。比如，“当梯形的上底为0时，梯形的面积公式就演变成三角形的面积公式"“当梯形的上底和下底相等时，梯形的面积公式就演变为平行四边形的面积公式”等，教师要引导学生认识“梯形的面积公式"其实就是“多边形的面积"的统一公式、万能公式。通过“盘点课”，进一步打通长方形、正方形、平行四边形、梯形等面积计算的本质关联，能促进学生对单元整体教学核心知识的认知、把握。

重构教学序列，不仅要注重数学学科知识的本质，更要注重数学学科知识的关联；重构教学序列，让教师的教学不再有传统教学杂、乱、多等弊病；重构教学序列，让教师的教学具有整体性、结构性、系统性特质，让学生认识、感悟到数学学科知识的内在逻辑、思想方法、核心观念等。在“多边形的面积"单元整体教学中，教师要突出知识的关联性、方法的一致性、内在的逻辑性等。

单元整体教学是一种新的教学方式。单元整体教学不同于传统的课时教学，教师要对单元内容进行整体设计、系统规划，要关注单元内容的联系，注重单元内容的衍生、发展。单元整体教学不是课时教学的简单叠加、机械组合，而是在大概念、高观点的支撑、支持下，关联整体与局部、局部与局部的一种教学方式。单元整体教学让数学原理更清晰，让学生对数学公式的理解更深刻，让学生的数学认知结构更科学、合理；单元整体教学让学生的数学学习从零散走向整体、从封闭走向开放、从静态走向动态；单元整体教学让学生对数学学科知识串接成线、连接成面、勾连成网。

参考文献：

[1］钱军.小学数学“智性数学"教学主张及其实践[J].数学教学通讯，2020（28） ：33-34.

[2]钱美玉．“乡情·智性课堂”：教育的理想栖居地[J].小学教学研究，2018（21）： 28-30.

[3］潘霞虹.核心素养视域下小学数学单元整体教学研究：以《多边形的面积》为例[J].新智慧，2021（15）：65-66.

[4］董文彬，杨明全.基于转化思想的图形度量单元整体教学建构：以小学数学“多边形的面积"单元教学研究为例[J].教育科学论坛，2023（19）：22-26.