分数意义教学的现实困境与整体重构

摘 要 分数起源于分物与测量，扩展于计数，归结于运算，与整数、小数的发展过程具有相似性，像数整数、数小数那样数分数，像整数计算、小数计算那样进行分数计算，有利于保持数概念发展的一致性。小学生对分数是一个具体数量、分数是两个量的比值、分数是可以数出来的、分数的本质是一个商、两个不同的分数可能相等这些与分数相关的概念体验不足。因此，要紧扣“分数是自然数除法的推广”，深挖“分数是基于计数单位的建构”，围绕计数单位的分裂、计数、运算和转化，开展分一分、比一比、数一数、算一算、化一化等学习活动，以夯实分数的份数、比值、度量、运算和集合等意义，整体建构分数概念。

关  键  词 分数意义教学；份数意义；商意义；集合意义；度量意义；比值意义

引用格式 高子林.分数意义教学的现实困境与整体重构[J].教学与管理，2025（08）：35-39.

分数起源于分物与测量，扩展于计数，归根于运算，有份数、比值、度量、运算、集合等意义[1]。一直以来，分数意义始终是课程制定、教材编写和教学实施的关注点，整体重构分数意义教学已成小学数学研究者的共识。其中，有人主张“分数认识阶段，仅从等分和商的角度认识分数，不介绍分数的比率意义”[2]；也有人主张“分成分物、度量、计算三个小模块实施教学……重点让学生从多种角度理解分数，建立分数作为数的概念”[3]；还有人主张“第一阶段，认识分数是‘分出来’的……第二阶段，认识分数是‘除出来’的……第三阶段，认识分数是‘比出来’的……”[4]在新版义务教育数学教科书紧锣密鼓修订之际，笔者在整理小学生分数意义学习的五点不足之后，根据多年数学教学实践经验，紧扣“分数是自然数除法的推广”，深挖“分数是基于计数单位的建构”，提出整体重构分数意义教学的对策。

一、体验不足：整体重构小学阶段分数意义教学的原因

1.学生对分数是一个具体数量体验不足

分数的本源是数（量）而不是比（率）……不管是测量还是分配，都指向一个具体的量，是一个数，而不是比（率）……儿童也更倾向于从数量的角度理解分数[5]。学生对“量”的生活经验和数学认知明显多于“率”，如跑了400米、花了2.5元、吃了个苹果……数的运算结果也更多地指向数量，只有在研究两个数量的倍比关系时才存在纯数“率”，如小华平均每天吃个西瓜，小丽的卡片数是小明的。

但是，国内关于小学阶段分数意义的课程设计多是研究份数，即分数的“率”意义。如人教版教科书：“把一个月饼平均分成2份，每份是这个月饼的一半，也就是它的二分之一”“6个苹果平均分成3份，1份是总数是，2份是总数的”。这直接造成小学生对分数的本源是一个具体数量体验不足。

事实上，从“量”入手进行分数教学，就像学自然数那样学习分数，更容易进入学生的认知结构。

2.学生对分数是两个量的比值体验不足

分数比值定义的价值在于可用定量研究两个以上事物在量方面的结构关系，实现数学结构化思想方法的意义；如果只停留在分数的份数定义，不但局限了分数的价值，而且会给学生解决分数问题造成障碍[6]。在没有掌握分割计数之前，儿童就已经能够基于直觉判断相对量的大小，因此，儿童完全有可能在没有掌握部分整体含义的条件下，掌握比的含义[7]。

分数的比值意义长期被忽视。如多数小学数学教科书，在介绍分数与除法之前是不涉及分数的比值意义的；“分数与除法”中用分数表示倍比除法的结果也仅是为了完整建构分数的商意义，而不是比值意义；在关于比的教学内容中，分数主要是作为比的另一种形式出现的，其比值意义并不突出。分数比值意义的淡化，甚至是忽视，让学生误以为分数仅仅是借来表示商或比值的，而不是比较的真实结果，以致体验不足、认识受限。

事实上，当学生学习了整数的倍数意义和分数的份数意义之后，他们是有能力借助数量的比较或份数的比较来探究表示比值的分数的，虽然彼时他们还没有接触过比。

3.学生对分数是可以数出来的体验不足

在整数与小数的教学中，课程强调数位与位值，重视计数单位在数的建构中的基础地位，按单位记数、计数和计算是学习常态。但分数的学习却不再“数”数，导致学生对分数是一个可数出来的数的认识不足。

教科书中对分数意义的份数界定，有利于学生理解部分与整体的关系，但容易影响学生对分数测量意义的理解。研究发现，五六年级小学生在数轴相关表征转化问题上表现最差，在假分数表征相关问题上也存在较大的困难[8]。数分数的过程，本质是分数单位的累加或用分数单位去度量一个分数。研究表明，基于分数度量意义的理解开展数数，既可以实现同一单位下分数的扩张，完善按单位计数的模型：a个是；也可以实现不同单位下分数的扩张，建立按数值扩数的模型：=。这是必须要引起重视的。

4.学生对分数来源于自然数除法体验不足

分数是从测量（对应包含除法）和分物（对应等分除法）两种实际意义中产生的，因而具有两种具体意义。在理论层面，分数的本质在于“能表示不能整除情形下平均分以后得到的那个结果的大小”。在分数教学过程中，教师必须重视将份数定义快速过渡到商定义[9]。

我们的教科书总是完美避开“分数来源于自然数除法的推广”，即使在“分数与除法的关系”中，重点也是在研究关系，而不是商意义。这种编排容易导致学生困扰于“一根铁丝长2米，平均分成4份，每份长（ ）米，占全长的（ ）”这样的问题。既然等分除的商和倍比除的值都可能是分数，那么能不能较早地引入商定义，帮助学生更加完善地建立分数概念？不管是从理论上分析，还是从实践中观察，让学生尽早体验分数来源于自然数除法，都是可行的。在等分方面，二年级学生已经系统地学过平均分，所以能够很好地迁移等分概念；在量比方面，二年级部分学生已经有了量比的感性认识[10]，在三年级学习倍之后，他们对量比会更加清晰。

5.学生对等值分数的特殊存在体验不足

等值分数是大小相等的两个或两个以上分数。两个等值分数的特点是，虽然分子、分母改变了，但大小仍然相等。分数基本性质是对这一现象的总结。现行教科书对分数基本性质的编排容量较大，直接通过“做中学”发现等值分数分子、分母的变化规律。学生由于事前没有等值分数的体验和积累，观察单位变化的意识较弱、能力较差。部分学生即使记住了分数基本性质，知道了＝，也难以合理解释其计数价值，更无法明白分数的集合意义。因此，有学者指出，学生能否在图形中找到适当的单位，将原来的单位重新化聚，再利用找到的这个单位组成全部的图形，是他们理解等值分数的关键。例如学生理解＝时，如果以新的单位来看时，就有4个，所以可以说是，从而得出与一样大的结论[11]。

如果在“分一分一群物体”“比一比两群物体”“数一数分数墙上的分数”等活动中，提前渗透、逐步积累，就可以弥补学生对等值分数体验不足的问题，帮助他们更好地理解分数单位的计数价值和分数的集合意义。

二、有序沉浸：整体重构小学阶段分数意义教学的对策

如何解决小学生分数意义体验不足的问题？分数与整数、小数的概念内涵具有一致性，发展过程也具有相似性。如果像数整数、数小数那样数分数，像整数计算、小数计算那样进行分数计算，有利于保持数概念发展的整体性和结构性。因此，紧扣“分数是自然数除法的推广”，深挖“分数是基于计数单位的建构”，围绕计数单位的分裂、计数、运算和转化，开展分一分、比一比、数一数、算一算、化一化等学习活动，可以夯实分数的份数、比值、度量、运算和集合等意义，整体建构分数意义（如图1）[12]。

在这一教学路径中，增加了分数度量意义和比值意义的内容，调整了分数份数意义、商意义和集合意义的学习路径，丰富了各意义（方法）之间的联系与沟通[13]。不仅强调了除法在分数产生中的本源作用，而且突显了单位在分数扩张中的主导地位。

1.先探索数量，后学习分率，有序沉浸“量”的体验

既然分数首先是被用来表示度量、分物结果的，都指向一个具体的量，那么“在初步认识分数时，重点认识表示数量的分数，并在认识表示数量的分数含义的过程中，渗透分数表示部分与整体关系的含义”[14]应该成为分数教学的必然选择，即先研究表示量的分数，再学习表示率的分数，丰富量的体验，并与等分除和倍比除建立必要的联系。

重构后的“分一分”活动，仍然关注分数的“部分—整体”意义，但更侧重量的体验。首先从有余数除法“把9个月饼平均分给4人，每人分得2个月饼，还余1个”出发，着重研究表示量的分数：“多余的1个月饼也平均分给4人，每人分得个月饼，两人分得个月饼，三人分得个月饼，四人分得个月饼（也就是1个月饼）”[15]。表示量的分数的建构不是一次完成的，后期学习分数商意义时还要进一步研究“把3个月饼平均分给4人，每人分得个月饼”。

表示率的分数的学习，分三个阶段展开。在等分一个物体的后段，通过量意义研究率意义：“个月饼表示把一个月饼平均分成b份，a份占b份的”，如“个月饼，表示把1个月饼平均分成4份，其中的1份占了总数的”。在等分多个物体时，再学习“把一群物体平均分成b份，a份占b份的”，如“把12个月饼平均分成4份，每份占总数的，3份占总数的”。在比较两个量的结果时，探究两群物体的份数关系（后文具体阐述）。

2.先研究份数，后认识比值，有序沉浸“率”的体验

依份数定义来看，分数表示的是“部分—整体”之比。比的定义是将它扩展，分数乃是“一部分和另一部分之比”，另一部分可以是整体，也可以是部分[16]。从中，我们依稀看到：分数是两个整数的比（值）。当完成一群物体“部分—整体”意义的建构之后，就可以借助学生对倍的认知，引导他们研究两群物体的份数关系：A物体有a个（或a份），B物体有b个（或b份），A物体的个数就是B物体的，B物体的个数就是A物体的。

学习“分一分”的后期，学生已经能在情境中区分量与率：把12个月饼平均分成4份，每份占4份的是率，每份有3个月饼是量；把1个月饼平均分成4份，每份占4份的是率，每份有个月饼是量……而且建构了“a份是b份的”这一模型。这时，利用整数的倍意义和分数的份数意义，可以在“比一比”活动中引导学生学习分数的比值意义。如请学生根据图示（略），圈一圈、比一比、写一写：12个□是4个△的3倍，4个△是12个□的（ ）[17]，从而发现：两个量的份数比值是，数量比值是，而且=。教师还可以在“部分—整体”情境中，引导学生进一步研究 “部分—部分”的关系，进一步巩固分数的份数意义，建构分数的比值意义。如学生根据图示（略）写一写：涂色的□个数是总数的几分之几，空白的□个数是总数的几分之几，涂色□个数是空白□个数的几分之几，空白□个数是涂色□个数的几分之几。

3.先量出分数，后数出分数，有序沉浸“数”的体验

对于分数，“部分—整体”概念强调分数分子a与分母b的份数关系，而“测量”概念要求将看做一个整体，强调分数数的特征[18]。这就不得不提“量出来”和“数出来”的分数。用数轴表示分数有两层含义：第一，表明“分数是数”，一个分数只有一个对应点；第二，表明分数是线段长，是指分数的测量意义。线段模型是分数从份数模型向商模型过渡的几何载体，体现分数稠密性的特征[19]。“量出分数”与“数出分数”是学生完善分数意义不可逾越的过程，通过前者可以让学生体会到“分数是基于分数单位建构的”，通过后者可以引导学生基于分数单位计数分数、扩展分数，把分数拓展至假分数。

“数一数”的学习过程，可以分四步实现[20]。第一步，在情境中探讨分数的“度量意义”：张大伯种了一块地（图略），你觉得“地的长度比30步多了几步？”面对“不到1步的长度是几步”的测量任务，引导学生迁移分数的份数意义，可以发现“如果把1步平均分成3份，可知地的长度比30步多了步”。第二步，在“分数墙”中，使用不同的分数单位表征“整体1”，数出更多分数，并建构分数的计数模型“a个是”。第三步，把“分数墙”的矩形模型转化成数线模型，进一步在数轴上基于分数单位数出大于1的分数，如4个是，比1多是1，就是1。第四步，将数出的分数进行分类，从而认识真分数、假分数和带分数，甚至零分数。