以数学模型建构与应用为主线的单元整体教学设计研究

摘 要 模型思想（模型观念）是核心素养在数学学科中的主要表现之一，是开展单元整体教学的重要依据。模型建构过程包括模型化和结构化，也包括建模之后的模型应用。基于模型内部结构之间的对应关系以及模型的建构和应用等过程对“面积”单元教学内容进行整体分析，调整教学内容，开发教学路径，设计教学活动，可以使学习过程更加符合学生的认知规律和发展需要。

关 键 词 数学模型建构；单元整体教学；乘法模型；面积

引用格式 李建良，莫沁茹.以数学模型建构与应用为主线的单元整体教学设计研究[J].教学与管理，2025（08）：46-50.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》教学建议指出，应重视单元整体教学设计，改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联[1]。因此，单元整体教学设计成为数学学科教学中落实核心素养培养目标的重要途径。吕世虎等认为，数学单元整体教学可以以重要的数学概念或核心数学知识为主线组织，也可以以数学思想方法为主线组织，还可以以数学核心素养、基本能力为主线组织[2]。其中，模型思想既是一种基本的数学思想，又是核心素养在数学学科中的主要表现之一，是开展单元整体教学设计的重要依据。那么，在小学数学学习过程中，数学建模应经历哪些环节？如何根据建模过程对单元教学内容进行分析和调整？如何结合建模过程开发单元整体学习路径并设计主要学习活动？基于对这些问题的思考，我们以乘法模型（主要是矩形模型）的建构和应用为主线，对“面积”单元进行了整体思考、分析与设计。

一、数学模型建构的基本步骤分析

1.模型建构过程中的模型化与结构化

数学模型是数学研究的重要对象，可以说数学就是研究模型的学科[3]。因此，数学学习也是一个学习建模和运用数学模型解决问题的过程。模型思想在小学阶段主要表现为模型意识，即对数学模型普适性的初步感悟，包括知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径；能够认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释[4]。数学模型是指：对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构[5]。尽管小学阶段以培养模型意识为主，但模型建构与应用始终伴随着整个学习过程，这点毋庸讳言。为了得到数学模型，需要经历数学化的过程。数学化是提炼和组织不同层次的常识，使之凝聚成概念、性质、关系和规律的过程，包括横向数学化与纵向数学化。横向数学化指将生活现实抽象为数学的概念与命题等，其基本方式是模型化；纵向数学化是指数学概念、命题等内容的再组织，其基本方式是结构化[6]。可见，数学模型建构不是一蹴而就的，从广义的角度来看，结构化也是模型建构过程中的重要组成部分。也就是说，模型建构过程中，先由现实问题得到初始模型，在此基础上，通过结构化丰富原有模型的内涵，并拓展其外延，使模型更加完善并用于解决更多的新的现实问题（如图1）。

2.乘法模型中的模型化与结构化过程

在小学阶段，加法模型和乘法模型是两个最主要的数学模型，其中乘法模型是加法模型的进一步发展。研究者一般将乘法的现实模型概括为：等量组聚集模型、矩形模型、配对模型、映射模型和倍数模型，并认为最基本的是第一种模型，其他几种都可以转化为第一种[7]。或者说，等量组聚集模型是乘法模型建构过程中的初始模型，其他几种现实模型都是在此基础上发展起来的分支结构，它们通过结构化共同组成了整个乘法模型。等量组的聚集通俗地讲，就是我们最常见的对乘法概念的定义——求几个相同加数的和的简便运算。“几个相同加数”就是“等量组”，“和”就是“聚集”，同时，这其中包含了由加法模型发展为乘法模型的过程。以等量组聚集模型为基础，有助于我们更好地通过意义和结构的迁移学习其他现实模型以形成完整的乘法模型，并借助乘法模型深入理解、分析和解决更多与乘法有关的实际问题。

完整的乘法模型建构过程包含以下几个基本步骤：首先，通过实际问题建构等量组聚集模型；其次，以结构化的方式，借助等量组聚集模型学习其他现实模型；最后，通过其他现实模型进一步加深对等量组聚集模型以及整个乘法模型的理解。从等量组聚集模型发展到矩形模型，既是完善乘法模型内部结构的必经之路，也是学习“面积”单元的重要依据。图形面积的大小主要通过单位面积数量的多少进行表征。在这一过程中，既可以逐个计数面积单位，又可以以“一行几个，有几行”或“一列几个，有几列”的方式对单位面积进行累加，进而发展为运用等量组聚集模型进行乘法计算（如图2）。从逐个计数到分行（或列）计数和计算，需要经历由加法模型向乘法模型过渡的过程，这与等量组聚集模型的建构过程是一致的。

根据小学生的认知特点和抽象水平，小学数学中的模型化过程一般包括信息提取、表征联结、建构模型、求解验证等活动。在形成初始模型之后，还需进一步开展应用迁移等活动。应用迁移包含两层含义：一是直接应用已有模型解决相关的实际问题，二是通过迁移建构模型中的其他结构，进一步实现整个模型的结构化。以乘法模型中的等量组聚集模型和矩形模型为例，两者有各自的建构过程，但又形成了明确的对应关系，这种对应关系中包含着相似性或一致性，因此又可以通过迁移的方式，由等量组聚集模型得到矩形模型，再将矩形模型同化为等量组聚集模型，以完善乘法模型（如表1）。

二、基于模型建构和应用的单元教学内容分析与重组

1.模型建构视角下的单元教学内容分析

建模过程需要经历信息提取、表征联结、建构模型、求解验证、应用迁移等活动，因而体现出长期性的特点。同时，模型建构除了模型化之外，也包含了结构化的过程，因此，建模过程还体现出周期性的特点。模型建构过程的长期性和周期性，恰好与单元整体教学的特点与目标相匹配。因此，可以按照建模过程中的基本步骤对单元教学内容进行适当划分，使学习活动更加符合模型的建构过程和规律，并凸显数学模型在学习过程中的作用。

在“面积”学习过程中，由于等量组聚集模型与矩形模型同属乘法模型，具有内在结构的一致性。因此，一方面，前期建构的等量组聚集模型可以直接用于解释面积的计算方法；另一方面，等量组聚集模型的建构过程，可以为矩形模型的建构提供参照，以便减少一些不必要的阻碍，必要时还可以通过迁移适当精简矩形模型的建构过程。小学数学教材中关于“面积”单元的内容，一般包括“面积的概念与测量”“面积单位”“长（正）方形的面积计算”“面积单位间的进率”“解决问题（铺地砖）”等。这些教学内容与模型的建构过程形成了大致的对应关系（如图3）。

2.立足建模过程的单元教学内容重组

从模型建构与应用的角度分析上述教学内容，可以发现其中存在一些值得商榷之处。首先，教材将“面积单位”编排在“面积的概念与测量”和“长（正）方形的面积计算”之间，使得“用单位面积进行度量并用其数量表征面积大小”与“进一步探索更加简洁的面积计算方法”这两个原本连续的内容被人为割裂，这也就造成了由逐个计数到等量组聚集模型再到矩形模型这一连续的建模过程被中断。其次，这又致使“面积单位”和“面积单位间的进率”之间的断层，导致平方厘米、平方分米、平方米这些面积单位的学习只能停留在直观感知上，缺少理性、深入的刻画，同时面积单位间的进率的学习则又缺少直观形象的支持。显然，按照建模过程和认知规律来看，在认识了面积概念并会用单位面积进行测量之后进一步总结出面积的计算方法，在认识了面积单位之后再研究它们之间的进率，这样的顺序更加具有连贯性和整体性。因此，本单元的学习内容可以调整为：“面积的概念与测量”“长（正）方形的面积计算”“面积单位”“面积单位间的进率”和“解决问题（铺地砖）”。事实上，由于有了等量组聚集模型及其建构过程作为基础，矩形模型的建构过程可以适当压缩，即在前两个内容的学习中就完成矩形模型的建构，而后三个内容可以看作矩形模型的应用（如图4）。

上述调整虽然符合模型建构的基本顺序，各课时之间的关系因此变得自然紧密，但也产生了一个新的问题：长（正）方形的面积计算过程和结果都需要借助面积单位进行表征，而按照上述安排，此时学生尚未学习面积单位，这将导致学生无法流畅、简洁地进行表达。然而，从数学发展的历史过程与模型建构过程相结合的角度分析，这个问题不会成为学习过程中的阻碍。首先，从数学发展历史的角度来看，面积单位的产生远在面积计算方法的形成之后，在没有国际通用面积单位的情况下，长（正）方形的面积计算可以借助其他单位进行，如我国传统数学名著《九章算术》早就概括出长方形的面积计算公式为“广从步数相乘得积步”，此处是用“（平方）步”作为面积单位的。其次，从矩形模型的建构过程来看，它与等量组聚集模型保持一致，也就意味着只要是等量组的聚集，都可以用乘法进行计算，单位面积个数的计算也是如此。在计算过程中，只关注对象（单位面积）间的数量关系，与对象的其他特征无关，用哪种单位都不会影响矩形模型的建构。因此，将“面积单位”与“长（正）方形的面积”互换位置是有据可依的，对矩形模型的建构和应用也更为有利的。

三、以模型建构和应用为主线的单元整体教学设计的关键内容

1.开发指向模型建构过程的单元整体学习路径

从模型建构和应用的角度分析教学内容，有助于对教学内容本身及其学习过程形成深刻理解，有利于准确把握当前学习内容在整个模型建构过程中所处的位置。基于对等量组聚集模型和矩形模型的建构过程的分析，以及对两者之间结构化过程（包括迁移和同化）的解读，我们对“面积”单元的学习顺序进行了调整，以帮助学生更加充分、有效地经历面积概念形成的几个必要过程。由于矩形模型的建构过程得到了等量组聚集模型的支持，可以较大程度地缩减时间，因此，“面积”单元的学习可以兼顾模型的建构和应用。结合矩形模型的建构和应用过程，本单元学习路径如图5所示：

（1）在概念习得过程中建构模型

矩形模型的建构包括两个课时。第一课时，面积的概念与测量：建立面积的概念，体会一维的长度与二维的面积之间的区别与联系；尝试用小正方形为单位进行测量，并通过拼摆与逐个计数的方式表示出指定长方形的面积大小。第二课时，长（正）方形的面积计算：通过等量组聚集模型将单位面积计数的过程简化为乘法计算并得出长方形的面积计算方法“一行个数×行数”。在此基础上，面积大小的表征方式需从单位面积的个数过渡到面积单位。可将长方形的长与宽以厘米做单位，引出小正方形的面积单位平方厘米，明确1厘米与1平方厘米的关系，并将长方形面积计算方法由“一行个数×行数”发展为“一行平方厘米数×行数”（如图6）。这样，就完成了由等量组聚集模型向矩形模型的转化，同时也将矩形模型同化到已有的乘法初始模型中，丰富了学生对乘法模型的认知。

（2）在解决问题过程中应用模型

矩形模型的应用同样也包括两个课时。由于面积单位中的“平方厘米”已被安排到了第二课时中，因此，其余两个常见的面积单位“平方分米”“平方米”的认识可以与“面积单位间的进率”整合为第三课时。第三课时主要通过现实情境，结合长度单位认识常用的面积单位，形成直观的认知表象；在此基础上，运用矩形模型“一行的单位面积数×行数”对面积单位间的进率进行深度刻画和量化描述。如由1平方厘米变为1平方分米，长边上的1个1平方厘米变为10个1平方厘米，宽边也发生同样变化，面积变为原来的100倍（一行10个×10行），因此，两者的进率是100；平方分米与平方米的进率可以以此类推。第四课时是运用矩形模型解决实际生活中的铺地砖问题。该问题包含两种解决方案：一是分别计算所要铺设的长方形地面在长和宽两个方向上各需要几块地砖，再根据矩形模型用“一行几块×几行”计算出所需地砖总数；二是以所需铺设的总面积除以地砖面积，即“大面积÷小面积”。两种方法相比，显然前者更具有一般性，特别是在遇到无法恰好整块铺设的情况时，更需要从矩形模型的角度加以分析和解决。

2.设计立足模型建构的单元整体学习活动

在分析模型建构的基本步骤、基于建模过程分析单元教学内容、立足建模过程开发学习路径的基础上，还应当基于单元整体视角选取恰当的学习素材，并对单元内各课时的具体学习活动进行进一步细化，以使教学活动具有可操作性。“面积”单元各课时教学活动的安排，始终围绕矩形模型建构和应用这一整体目标，按照循序渐进的原则，注重课时内容之间的过渡衔接以及学习活动之间的互动呼应，通过数形结合的方式，用直观的图示表征抽象的模型、公式和规律。各课时主要内容具体见表2。

在数学教学中，厘清模型建构的主要步骤，从建模的视角进行内容分析，有助于教师厘清数学认知结构形成的脉络，准确把握当前教学内容在学习活动中的定位。结合建模过程对单元教学内容进行整体路径与具体活动的设计，有利于突出单元教学的核心与主线，使学习活动之间的逻辑关系更加顺畅，同时也更加符合学生的认知心理和认知规律。不同的学习内容在各自模型建构过程中所处的定位和作用各不相同，在教学设计与实施的过程中，需要我们更加深入地进行思考与分析，用整体、发展的眼光进行准确把握和合理运用。

参考文献

[1][4] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：86，10.

[2] 吕世虎，杨婷，吴振英.数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤[J].当代教育与文化，2016，8（04）：41-46.

[3][5] 刘晓婷，刘加霞.数学模型的实质与建模过程——以“植树问题"为例[J].小学数学教育，2014（03）：3-5.

[6] 刘加霞.数学化：“是什么”与“怎么做”[J].教学月刊小学版（数学），2022（Z2）：1.

[7] 刘加霞.作为“模型”的乘法——对数学概念多元表征的思考[J].小学教学（数学版），2008（10）：46-48.

[责任编辑：陈国庆]