在解决问题的过程中建构数学模型

“植树问题”的教学有利于学生发现数学规律，经历数学模型建构的过程，发展模型意识和应用意识。教学中，教师如何引导学生通过实践活动发现“棵数”与“间隔数”之间的关系，建构“植树问题”模型，并迁移、运用模型解决同类型的问题？本期，我们从“建模”角度出发精选三篇文章，讨论植树问题的教学。

《植树问题》是人教版数学五年级上册《数学广角》的内容。笔者遵循学生的认知规律，将结构化的数学知识和学生的生活经验整合起来，设计了《植树问题》主题学习活动，引领学生在寻求解决问题的途径与方法的过程中多渠道、多角度构建“植树问题”模型，培植学生的模型意识。下面，笔者以例1的教学为例，做具体阐述。

一、激趣导入，感知模型

有趣的手指操能让学生的注意力迅速集中到课堂学习中。教学《植树问题》例1时，教师可以用手指操引入，让学生在活动中体会手指根数和手指间空个数之间的关系，认识“间隔”的概念，为探究植树问题做铺垫。

课堂上，笔者让学生伸出左手，并提问：“5根手指之间有几个间空？”学生回答：“4个。”笔者继续提问：“你们发现了什么规律？”学生回答：“4根手指之间有3个间空，3根手指之间有2个间空，2根手指之间有1个间空。”笔者适时总结：在数学中，我们把这样的间空叫作“间隔”。接着，笔者让学生尝试解释“间隔”的含义，学生比较容易理解“间隔”是两个事物之间的距离。然后，笔者让学生找一找生活中的“间隔”。学生列举了很多例子：衣服上，每两颗扣子之间有间隔；教室中，前后相邻的两张桌子之间有间隔；斑马线之间有间隔；马路边树的排列也有间隔。学生提到马路边的树时，笔者顺势引出本节课的学习主题“植树问题”。

二、猜测验证，构建模型

数学模型是为了某种目的对现实原型进行抽象、简化后形成的数学结构，是使用数学符号、数学公式及数量关系对现实原型所做的一种本质刻画。模型意识的培养有一定的难度，需融入具体知识的学习过程中。对于不易解决的问题，我们往往通过转化，把它归结为比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决。这种思想方法称为化归思想方法。教师可以运用化归思想方法，帮助学生建构“植树问题”模型。

课堂上，笔者出示题目“在一条长100米的小路的一边植树，每隔5米栽一棵，两端都栽，一共要栽多少棵树？”学生齐读题目后发现如下关键信息：间隔5米，小路的一边，两端都栽。笔者让学生独立思考，尝试列式解答。随后，笔者收集了三种有代表性的解法：①100÷5=20（棵）；②100÷5=20（棵），20+1=21（棵）；③100÷5=20（棵），20+2=22（棵）。笔者让学生观察比较，找出3种解法相同的地方。学生发现其中都有相同的除法算式“100÷5=20”。笔者引导学生思考这道算式表示什么。学生回答：“100米里面有20个5米，就是有20个间隔，单位应是‘个’。”同时，学生提出疑惑：“有的解法加1，有的解法加2，有的解法不加，哪种解法对呢？”笔者留下悬念，引导学生进一步探讨解决问题的正确方法。学生根据以往的学习经验想到用画线段图的方法来验证，但发现100米太长，不好操作。一名学生提出，可以先用较小的数来探究。笔者肯定了学生的想法：“当我们遇到繁琐的问题时，可以化繁为简。”实际操作时，有的学生选择的数据过小，不符合题目要求。笔者组织学生交流讨论：在100米中选取一段来研究这个问题，选择多少米合适？学生讨论后明确：要大于5米，并且是5的倍数，如10米、20米、25米等。画图探究后，学生展示并说明自己的想法：“20米长的小路一边有4个间隔，可栽5棵树；25米长的小路一边有5个间隔，可栽6棵树。”然后，笔者引导：不画图，如果这条路长30米、35米、40米等，你有办法填写如下表格中的信息吗？

学生填表后交流汇报。笔者让学生观察表格，说一说发现了什么规律。学生总结：“路长÷间隔长=间隔数；间隔数+1=棵数。”笔者引导：“想一想，什么情况下‘间隔数+1=棵数’？”学生补充：“两端都栽的情况下‘间隔数+1=棵数’。”笔者提醒学生不要忽视“两端都栽”的前提条件。这样教学，学生从大量数据中发现了规律，培养了数据意识。

学生在经历了尝试计算、图示表达、抽象概括的学习过程后，笔者引导学生逐层深入地研究，从20米、30米、35米、40米、50米、100米的情况联想到“点数比段数多1”，建立起“点”“段”之间关系的模型。

三、解决重难点，夯实模型

两种物体间隔排列意味着这两种物体的排列一一对应。通过“间隔5米栽1棵树”，学生了解到可以将一个“段”和一个“点”看成一组，用圈一圈或连一连的方式表示，以直观感知间隔排列的特点。学生还发现最后多了一个“点”（一棵树），进而明白加的“1”指的是哪棵树。此时，有学生提出质疑：“5个间隔加1不是6个间隔吗？怎么变成了6棵树？”一名学生上讲台指着下图解释：“一个间隔对应一棵树，就是一一对应，最后多了一棵树。”

笔者追问：“他把谁和谁对应？”学生明确：把一个间隔和后面的一棵树对应。笔者追问：“加的1指什么？”学生回答：“起点的一棵树。”笔者继续追问：可不可以一个间隔对应前面一棵树？学生回答“可以”，并说明这样对应加的“1”就是最后一棵树。学生在抽象分析中明晰了一一对应思想方法在“植树问题”模型探究中的应用，深切体会到几何直观有助于把握数学问题的本质。

（本文系2022年“学习新课标  践行新理念”主题征文获奖作品）