以思想为“壤” 植模型之“树”

模型意识是小学生应具备的数学核心素养之一，它要求学生初步感悟数学模型的普适性。数学模型反映的是数学本质，其建构要基于数学知识与技能的学习，以及数学思想方法的渗透。如何更好地在《植树问题》的教学中培养学生的模型意识呢？

入模：开放情境，化繁为简

教材将生活中的植树问题整合成直线型和封闭型两种情况，根据植树方式不同，又将直线型植树问题分成“两端都栽”和“两端都不栽”两类，而封闭型植树问题可以转化为“一端栽一端不栽”的直线型植树问题。基于此，我们只要探究出直线型植树问题的三种模型，其他类似的问题都能迎刃而解。怎样让学生快速找到植树问题的三种模型呢？教学中，笔者创设开放性问题情境，通过改变教材原问题中的数据、凸显植树方式的多样化等方法，引导学生自主运用转化的思想、结合实际操作“入模”。

笔者先用课件出示题目：“在1000米小路的一边植树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树？”学生读题后，笔者设疑：“每隔5米栽一棵”是什么意思？学生即兴举例，以身体模拟呈现题目意思，进而理解了“间隔”的含义。接着，笔者引导学生猜测一共可以栽多少棵树。在学生提出不同的猜想后，笔者追问：谁猜得对呢？怎样验证？上述过程中，笔者设置开放性问题情境，有意识地把教材中的“100米”改成“1000米”，引导学生理解题意，并经历猜想的过程。随后，笔者引导学生利用画图或结绳的方法验证猜想。学生意识到1000米太长，用画图的方法，没有这么大的纸，用结绳的方法，不太容易找到这么长的绳子，即使有1000米的绳子，每隔5米打一个结，实际操作起来很麻烦，要想降低解题难度，只能先把大数据转化成小数据，探究出规律后再利用规律求解。这样的设计让学生自主产生了化繁为简的学习需求。

接着，笔者引导学生利用画图或结绳的方法探究“在20米小路的一边植树，每隔5米栽一棵”的植树情况。笔者巡视时发现，利用结绳方式探究的学生会出现困惑：绳子的两头打不打结呢？笔者乘机引导：绳子两端打结与否，要看是否符合题目要求的“每隔5米栽一棵”这一条件，同时思考实际生活中有没有类似的植树情况。学生通过回忆生活中的实际场景，想到绳子两端打不打结都有可能。

分不同情况操作探究后，学生交流做法。学生很容易就能根据路的前后两端是否栽树将植树问题分成三类：一类是两端都种树，一类是两端都不种树，还有一类是只有一端种树。学生总结后，笔者出示如下三种模型图。

以上教学，笔者让学生根据已有的生活经验模拟植树的场景，使学生从一开始就意识到生活中的植树问题都能归结成这三种模型，并初步感受到三种模型间既有联系（路长、间距相同）又有区别（植树方式不同）。

建模：数形结合，一一对应

学生通过结绳和画图的方法提炼出植树问题的三种基本模型。然而，植树问题的核心是找到“点段关系”，即棵数与间隔数的数量关系，这也是建模过程的难点。教师引导学生建模时，可以抓住一一对应的数学思想方法，帮助学生理清“点段关系”。

课堂上，笔者引导学生观察张贴的上述模型图，要求学生数一数可能栽几棵树。学生脱口而出：“可能栽4棵、3棵或2棵。”笔者顺势提问：“哪种情况栽的树最多？哪种情况栽的树最少？”一名学生回答：“两端都栽时树最多，两端都不栽时树最少。”笔者表示疑惑：“路长、间隔的米数都相同，为什么两端栽树时，树的棵数最多？多出来的树栽在哪里？”为了探究这一问题，笔者引导学生在图上画一画、圈一圈，并说一说。大多数学生的画法如下图所示。

学生经过操作、交流和展示，明确了“第1个5米栽一棵，第2个5米又栽一棵，第3个5米再栽一棵，第4个5米栽最后一棵。多出来的是前端的那棵”。笔者质疑：“这条路有几个5米？共栽了几棵树？你发现了什么？棵数为什么比间隔数多1？”笔者通过层层深入的提问让学生不仅明确了棵数比间隔数多1，还知道了“多1”的原因是第一棵树是从头栽起的，不需要间隔。“20米是这样，其他米数是否也是这样呢？”笔者将路长改成10米、30米等，让学生画一画、圈一圈，引导学生总结归纳出规律：两端都栽棵数=间隔数+1。

有了研究“两端都栽”植树问题的经验，学生对于应用“一一对应圈画法”这一直观的探究手段已经非常熟悉，很容易就迁移到另外两种植树模型的探究中，并自主圈画出类似图示（如下图），从而找到棵数与间隔数之间的关系，最终得出规律：两端都不栽棵数=间隔数-1；一端栽一端不栽棵数=间隔数。

此环节，学生结合线段图探明不同植树模型所蕴含的共同的数学思想，深刻理解了棵数与间隔数之间的数量关系受植树方式即“点”与“段”对应关系变化的影响。如果植树方式变化，那么在间隔数与棵数之间构建等量关系的关键数据就会发生变化，有时要加1，有时要减1，有时不加不减。

用模：分类比较，巧用模型

建模是目标，用模则是发展。应用已经构建出来的数学模型解决新的问题是培养学生模型意识的重要途径。

笔者根据植树问题在现实世界的表现，将练习题分为两个类型——“真树”型和“假树”型。“真树”型即问题情境中介绍的植树场景；“假树”型更复杂，问题中的“假树”有像“安装路灯”“排队”等情境中形似的“树”，也有像“锯木头”“爬楼梯”“敲钟”等情境中形不似神似的“树”。教学时，笔者利用动画或图片让学生找一找将什么看作“树”、什么看作“间隔”。学生通过想象、操作、画图等判断问题情境符合哪种植树模型。

以“敲钟”问题为例。笔者出示习题：时钟敲7下需要12秒，敲10下需要多少秒？学生模拟敲钟的情境，进而感悟到“敲钟”问题符合两端都栽植树模型，并在笔者的引导下发现“铛”声即是“树”，每两声间的停顿就是“间隔”，求“敲10下需要多少秒”相当于求“路长”。联系“两端都栽棵数=间隔数+1”，学生快速想到敲7下只有6个间隔，进而计算出每个间隔是2秒，敲10下有9个间隔，那么时长等于“2×9=18”秒。