巧构三角形　妙解几何题

作为特殊的三角形，等腰（边）三角形的性质和判定有广泛的应用。有些几何题中不存在等腰（边）三角形，教师可以引导学生根据已知条件和图形特征添加辅助线，巧妙构造等腰（边）三角形，从而使问题化难为易，帮助学生迅速找到解题途径，提高数学思维。

一、用“等腰三角形+平行线”构造新等腰三角形

例1  [△ABC]是等腰三角形，D、E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G。求证：GD=GE。

方法1：如图1，过E作EF//AB交BC延长线于点F，根据等腰三角形的性质得∠B=∠ACB，由平行线的性质得∠F=∠B①；又∠ACB=∠FCE，可得∠F=∠FCE，所以CE=EF，又已知BD=CE，根据等量代换得BD=EF②；又∠BGD=∠FGE③；由③①②判定[△DGB]≌[△EGF]（AAS），根据全等三角形的性质即可证得结论。

方法2：如图2，过D点作DH//AC交BC于点H，由平行线的性质得∠ACB=∠DHB，由等腰三角形的性质得∠B=∠ACB，所以∠B=∠BHD，根据等角对等边得DH=BD，又BD=CE，所以DH=CE①；由DH//AC得∠DHG=∠ECG②；又∠DGH=∠EGC③；由③②①判定？DGH≌？EGC（AAS），根据全等三角形的性质即可证得结论。

以上两种方法，通过添加平行线构造新的等腰三角形，实现边与边、角与角之间的转化，达到解决问题的目的。本例主要考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用。利用全等三角形进行判定时要关注三角形之间的公共边和公共角。

二、用“角平分线+垂线”构造等腰三角形

在如图3所示的[△ABC]中，AD平分∠BAC，AD⊥BC，由“ASA”得[△ABD]≌[△ACD]，从而得AB=AC，BD=CD，即一边上的高与这边所对的角平分线重合，可知这个三角形是等腰三角形。

我们由此联想，当一个三角形中出现垂直于角平分线的线段时，通常可以延长此线段，使之与角的另一边相交，从而构造等腰三角形来解题。例2就是这样的典型题目。

例2  如图4，[△ABC]中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，求证：BF=2CD。

我们分析：分别延长BA、CD交于点E，已知∠BAC=90°，得出∠EAC=∠FAB=90°①；由CD⊥BD可知∠BDC=∠BDE=90°②，∠EBD+∠E=90°，∠ECA+∠E=90°，根据同角的余角相等得到∠EBD=∠ECA③；又已知AB=AC④；由①④③推出[△BAF]≌[△CAE]（ASA），根据全等三角形的性质得BF=CE；已知BF平分∠ABC，得出∠CBD=∠EBD⑤；又BD为公共边⑥；由②⑤⑥推出[△BDC]≌[△BDE]（ASA），得到CD=ED，即CE=2CD，根据等量代换得到BF=CE=2CD。

本例主要考查全等三角形的判定与性质的综合运用。延长BA交CD的延长线于点E，构造等腰[△EBC]是解题的关键。

三、用“平行线+角平分线”构造等腰三角形

例3  如图5，在四边形ABCD中，AD//BC，AE平分∠BAD交DC于点E，且点E恰好为DC的中点，求证：BE⊥AE，BE平分∠ABC。

我们分析：延长AE、BC交于点M，由已知AD//BC得∠DAE=∠M①，∠D=∠ECM②；由点E为DC的中点得DE=CE③；由①②③推出[△ADE]≌[△MCE]（AAS），根据全等三角形的性质得出AE=EM；由已知AE平分∠BAD得∠BAE=∠DAE，又∠DAE=∠M，得出∠M=∠BAE，推出AB=BM；根据等腰三角形的“三线合一”性质，得出BE⊥AE，BE平分∠ABC。

本例考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的判定和性质等。添加辅助线是解题的关键，教师讲解时可这样归纳：图形中有平行线和角平分线，构造等腰三角形可使问题简单化。

四、用“倍角”关系构造等腰三角形

例4  如图6，在[△ABC]中，∠B=2∠A，AB=2BC。试说明[△ABC]是直角三角形。

当三角形中有一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过转化“倍角”寻找等腰三角形。我们分析：作∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，由BD平分∠ABC得∠ABC=2∠ABD=2∠CBD；已知∠ABC=2∠A，所以∠ABD=∠CBD=∠A①；根据等角对等边可得AD=BD，再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AE=BE，所以AB=2BE，已知AB=2BC，可得BE=BC②；而BD为[△DBE]和[△DBC]的公共边③；由②①③推出[△BCD]≌[△BED]（SAS），根据全等三角形对应角相等，可得∠C=∠BED=90°，即证得结论。

本例考查了等腰三角形“三线合一”的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等。添加辅助线构造全等三角形和等腰三角形是解题的关键。

五、用60°角或120°角构造等边三角形

例5  如图7，∠BAD=120°，BD=DC，AB+AD=AC，求证：AC平分∠BAD。

作答时，延长BA到E，使AE=AD，连接ED。由AE=AD可知[△DAE]为等腰三角形；已知∠BAD=120°，求出∠DAE=60°，得到[△DAE]为等边三角形，又得到∠E=60°，ED=AD①；由AB+AD=AC，AD=AE得出AB+AE=AC，即BE=AC②；又BD=DC③；由①②③推出[△BDE]≌[△CDA]（SSS），根据全等三角形的性质可得∠E=∠CAD=60°，根据平角的定义得到∠BAE=180°，再求出∠BAC=180°-∠DAE-∠CAD=60°，即∠BAC=∠CAD=60°，即证得结论。

本例考查了等边三角形的定义、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定。在有关三角形的问题中，120°是常见角，我们可以利用120°的外角找到60°的角，再添加辅助线来构造等边三角形，使问题化难为易。

以上几例，我们通过构造等腰（边）三角形并利用等腰（边）三角形的性质，挖掘出隐含在图形中的数量关系，明晰了问题解决的思路，使解答过程彰显想象力和创造力。

责任编辑  刘佳