设计体验点，开展深度教学

深度教学强调教师借助问题情境引导学生深度探究所学内容，进而提升学生数学应用能力。在《数与形》的教学中，笔者引导学生从数与形的紧密联系、相互解释和相互转化的角度认识和思考问题，通过设计数学学习的体验点，促进学生深度学习。

一、见形想数，看数想形

学生深刻认识数与形相互转化的关键，是通过“形”加深对“数”的理解，也可以是通过“数”加深对“形”的理解。

为了达成这个目标，笔者按顺序出示一组学生熟悉的问题。①出示一幅线段图，让学生用一个数表示。②根据图形表示的意义列式。③在教室座位平面图上用数对确定自己的位置。④比较两个角的大小（一个是89°的角，但没有标明度数，另一个是直角）。前3个问题学生都能轻松给出答案，但第④个问题出现了争议。有的学生认为两个都是直角，有的学生认为第一个不一定是直角，要是有度数就能比较了。此时，笔者在第一个角上标出89°，学生意识到不知道度数之前，不能确定两个角的大小。然后，笔者出示[42]=16，让学生用一个图形加以表示，并收集了具有代表性的作品（一个4×4的正方形）。以上教学唤醒了学生对数与形相互转化的认识，丰富了学生对数与形关系的认知。

二、以形助数，用数解形

以形助数一般是指借助图像的直观性来表达算式的数量关系。笔者首先带领学生回顾刚才的内容：用一个正方形表示4×4，是[42]，也就是16。接着，笔者让学生不用乘法算式，而是用一个加法算式表示16。通过观察图形，学生自主构造算式“4+4+4+4、8+8、15+1、14+2、13+3”等。笔者收集、展示了以下两种不同方法。

方法一：1+3+5+7=4²=16

方法二：1+2+3+4+3+2+1=4²=16

笔者引导学生聚焦“1+3+5+7=[42]=16”这个算式，观察算式的特点，探究算式与正方形之间的联系。笔者指着正方形追问：要想画一个比它稍小的正方形，应当是什么样的呢？学生回答：3×3的正方形。笔者反问：用一个加法算式怎样表示呢？另一名学生回答：1+3+5=[32]=9。那么，算式中有几个奇数？从几开始的？师生共同讨论后得出：3个连续的奇数，从1开始。那如果要画一个更小一点的正方形又是什么样的？是几的平方？可以写成几个连续奇数相加？

笔者结合图形和学生的回答整理出如下规律。

由此，笔者引导学生得出结论：从1开始n个连续奇数相加的和是[n2]。通过类比推理，学生学会从已有知识经验出发，主动关联“1+2+3+…+n+（n-1）+…+3+2+1=[n2]”这个式子。至此，学生有了新的感悟：图形可以帮助我们直观地表示平方数的规律。

如何让学生更深刻地理解图形中隐藏的数的奥秘？笔者继续出示如下图形，并提问：给你一个图形你能想到什么数？学生回答：一张桌子坐了6个人、两张桌子坐了10个人、三张桌子坐了14个人……

笔者继续引导学生思考：如果有100张桌子拼在一起，一共可以坐多少人？学生通过观察思考，发现桌子左右各坐了1人，上下各坐了2人，增加1张桌子就增加4人；左右2人不变，变化的是有几张桌子连起来就有几个4人，所以坐的人数是“100×4+2=402”人。由此，学生归纳出n张桌子拼起来共可坐“4n+2”人，并说明：不管有几张桌子，只要把桌子张数代入4n+2，就马上能算出可以坐多少人。

以上教学，教师引导学生发现：数学问题中的运算、数量关系等可以与几何图形结合起来思考，使“数”与“形”各展其长，发挥强化数学理解的作用。

三、数形结合，强化运用

在“数”与“形”相互转化、相互表达的基础上，笔者通过几组层层递进的题目，引导学生运用数形结合解决数学问题，助推学生探索“数”与“形”之间是如何相互赋能、助力问题解决的。

笔者先呈现第一个练习“1+3+5+7+9+7+5+3+1=？”。在前两次体验的基础上，有的学生认为可以把它看成两个部分，即1+3+5+7+9=52和7+5+3+1=42，和就是52+42=41；还有的学生认为，可以把算式想象成边长是5的正方形和边长是4的正方形的面积相加，由25+16得到41。学生都是在深刻理解“以形助数”的基础上得出了以上结论。

笔者继续出示第二个练习：看图（图略。一个5×5的正方形面积减去一个2×2的小正方形的面积）写一个算式。学生稍作思考，汇报如下解题方法：①5+7+9；②假设前面加上1+3，这样可以组成“1+3+5+7+9”，和等于52，然后减去22；③想象成一个边长是5的正方形的面积减去一个边长是2的正方形面积，所以“5+7+9”就是52-22=21。学生在深刻理解“用数解形”后，便可轻松解决问题。

最后，笔者出示第三组练习：动态演示一个4×4的正方形面积减去一个3×3的小正方形面积；一个3×3的正方形面积减去一个2×2的小正方形面积；一个6×6的正方形面积减去一个5×5的小正方形面积……学生很快给出答案并说出自己发现的规律：图形只是一个转折，其实就是一个奇数，这些奇数都可以写成连续两个数的平方再相减。这个解题过程让学生体验到“数”与“形”之间可以相互照应，强化了数学理解。

责任编辑  张敏