依托“学历案”设计，引导学生深度学习

［摘 要］“三新”背景下，“学历案”逐渐成为教师课堂教学与学生自主学习的一个新模式。文章以“基本不等式”一课的“学历案”为例，分析“学历案”的设计与应用方法，为一线教师设计、应用“学历案”以及进行教学改革与创新提供有益的参考。

［关键词］学历案；设计；深度学习；基本不等式

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）23-0015-04

一、问题提出

在“三新”（新课标、新教材、新高考）背景下，课堂教学更加注重体现学生的主体性，引导学生进行自主学习与深度学习，不断提升学生的关键能力，培养学生的学科核心素养。这就要求教师改进传统的教学方式（如五导四动）、教学方案（如教案、学案、导学案），更加注重体现学生的主体性与提高学生的参与度。在此背景下，“学历案”应运而生，其巧妙融合了传统教学方案的优点，创新融入学生的学习经历，逐渐成为现阶段教师教学与学生学习中的一种更加科学、合理的文本方案，且还在不断地优化与提升。

如何继承与发展传统教学方案的优点，合理设计有助于学生自主学习与深度学习的“学历案”，成为“学历案”设计与编写研究的一个热门课题。

本文以“基本不等式”一课的“学历案”为例，分析“学历案”的设计与应用方法，为一线教师设计、应用“学历案”以及进行教学改革与创新提供参考。

二、“学历案”的设计与应用

下面笔者以“基本不等式”一课为例阐述“学历案”的设计与应用。

（一）导学聚焦

在“学历案”中，通过表格（如表1）罗列教材核心知识、学习目标、核心素养，引导学生学习。

设计意图：在“导学聚焦”环节设计中，依托表格，对教材核心知识、学习目标、核心素养进行罗列，使得学习目标更加明确，形成导学聚焦；让目标主线贯穿整个“学历案”的设计与应用过程。

（二）自主学习

让学生预习人教版（A版）高中数学必修第一册第二章“一元二次函数、方程和不等式”第44页至第49页的内容，并思考以下问题：

（1）基本不等式的内容是什么？包括哪些基本信息？

（2）如何证明基本不等式？你有哪些方法？

（3）基本不等式成立的条件是什么？主要由哪几个关键点构成？

（4）利用基本不等式求解一些函数或代数式的最值时，应该注意哪些基本问题？

（5）利用基本不等式解决一些应用问题与综合问题时，应该注意哪些基本问题？

设计意图：借助“自主学习”环节的设计，实现“课前有预习”，构建更加完整、和谐的“学历案”体系，进一步促进学生的自主学习。

（三）新知初探

1.重要不等式与基本不等式

展示重要不等式与基本不等式的相关内容（如图1）。

【思考】（1）重要不等式[a2+b2≥2ab]和基本不等式[ab≤a+b2]成立的条件是否相同？

提示：重要不等式[a2+b2≥2ab]和基本不等式[ab≤a+b2]成立的条件是不同的。前者要求[a]，[b]是实数，而后者要求[a]，[b]都是正实数（即[a>0]，[b>0]）。

（2）基本不等式中的[a]，[b]只能是具体的某个数吗？

提示：不完全是。基本不等式中的[a]，[b]既可以是具体的某个数，也可以是某个相应的代数式。

（3）基本不等式成立的条件“[a>0]，[b>0]”能省略吗？请举例说明。

提示：不能。例如，[（-3）+（-4）2≥（-3）×（-4）]是不成立的。

设计意图：结合重要不等式与基本不等式的基本内容、相互联系设置问题，引导学生思考，并深入探究两种不等式的成立条件、变量的取值范围等，进而理解与把握两种不等式的内涵与实质，为接下来的基本不等式的应用打好基础。

2.基本不等式与最值

已知[a>0]，[b>0]，则有：

（1）若[a+b=S]（和为定值），则当[a=b]时，积[ab]取得最大值[S24]。

（2）若[ab=P]（积为定值），则当[a=b]时，和[a+b]取得最小值[2P]。

可以借助口诀“两正数的和定积最大，两正数的积定和最小”来辅助记忆。

【思考】通过以上基本不等式与最值之间的结论，你认为利用基本不等式求解一些函数或代数式的最值要注意哪些基本问题？

提示：利用基本不等式求解一些函数或代数式的最值时，必须按照“一正”“二定”“三相等”这三个基本原则来分析与处理。“一正”即符合基本不等式[ab≤a+b2]成立的前提条件：对应的[a]，[b]均为正数；“二定”即符合基本不等式[ab≤a+b2]中的[a]，[b]和为定值或积为定值的条件；“三相等”即只有当[a=b]，才符合基本不等式取“=”号的条件。在实际运用基本不等式解决问题时，以上三个原则缺一不可。

设计意图：深入探究利用基本不等式解决最值问题的两种基本类型，为实际操作与应用指明方向。

设置“新知初探”环节，依托学生的课前预习，以及教师的课堂教学，合理引导学生回顾知识与自主学习，实现师生双边互动。

（四）讲练互动

探究点1：对基本不等式的理解

［例1］（多选题）下列条件中，能使[ba+ab≥2]成立的是（ ）。

A. [ab>0]                    B. [ab<0]

C. [a>0]，[b>0]           D. [a<0]，[b<0]

设计意图：结合习题，引导学生注意运用基本不等式时的三个基本原则：

探究点2：利用基本不等式直接求解最值

［例2］（1）已知[t>0]，求[y=t3-4t+1t]的最小值。

（2）若正实数[x]，[y]满足[2x+y=1]，求[xy]的最大值。

设计意图：引导学生去寻找题设的定值条件，若[a+b=S]（和为定值），则当[a=b]时，积[ab]有最大值[S24]，可以用基本不等式[ab≤a+b2]求得；若[ab=P]（积为定值），则当[a=b]时，和[a+b]有最小值[2P]，可以用基本不等式[a+b≥2ab]求得。不论是哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立。

探究点3：利用基本不等式变形求解最值

［例3］（1）已知[x>2]，则[y=x+4x-2]的最小值为                    。

（2）若[0<x<12]，则函数[y=12x（1-2x）]的最大值是                    。

（3）若[x]，[y∈（0，+∞）]，且[x+4y=1]，则[1x+1y]的最小值为                    。

设计意图：引导学生关注利用基本不等式求最值的策略以及拼凑法求解最值应注意的问题：（1）以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做好等价变形；（2）通过代数式的变形拼凑出和或积的定值；（3）拆项、添项时注意检验利用基本不等式的前提条件。

探究点4：利用基本不等式证明不等式

［例4］已知[a]，[b]，[c∈（0，+∞）]，且[a+b+c=1]。求证：[1a-11b-11c-1≥8]。

设计意图：引导学生掌握利用基本不等式证明不等式的思路与方法技巧，即利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接利用基本不等式证明，则应考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之变为能利用基本不等式来证明；若题目中有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换。另外，解题时要时刻注意等号成立的条件。

探究点5：利用基本不等式解决应用问题

［例5］某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润[y]（单位：万元）与机器运转时间[x]（单位：年）的关系为[y=-x2+18x-25（x∈N*）]，则当每台机器运转          年时，年平均利润最大，最大值是                  万元。

设计意图：引导学生归纳总结利用基本不等式解决应用问题的思路，让学生知道利用基本不等式解决应用问题的关键是建构模型。在解题过程中应尽量向模型[ax+bx≥2ab（a>0，b>0，x>0）]靠拢。

探究点6：利用基本不等式解决综合问题

［例6］若不等式[9x+a2x≥a+1]（常数[a>0]）对一切正实数[x]成立，则常数[a]的取值范围为           。

设计意图：让学生明白解决一些不等式恒成立问题时，可通过求对应函数值的最值来合理转化：（1）[a≤f（x）]恒成立[⇔]求[f（x）]的最小值；（2）[a≥f（x）]恒成立⇔求[f（x）]的最大值。这里[f（x）]表示有关[x]的代数值。

在“讲练互动”环节，教师可以根据不同班级学生的学情进行合理设计，充分体现学生的主体性与教师的主导性，使教师的讲与学生的练能更好地结合与转化。

三、教学启示

（一）围绕“以学生为中心”这一基本理念来设计与编写

“学历案”应围绕“以学生为中心”这一基本理念来设计和编写。这就要求教师基于高视角与高观点，充分把握学生的认知水平与知识能力等，并依托学生的能力水平设计学生的学习经历、学习过程与学习体验，使得“学历案”更加契合学生的学习实际，从而让学生能够更好地进行自主学习、自主探究、自主创新、深度学习。

在“学历案”的实际设计与编写过程中，教师可以在一些具体细节上体现“以学生为中心”这一基本理念。如在具体实例的应用中，通过合理变式，创设变式问题，引导学生在掌握应用实例的相关知识的基础上进行深入探究与创新应用，从而有效引导学生进行深度学习。对于变式问题，教师可结合学生的实际情况与教学需求加以创新设计。例如，教师结合学生对应用案例相关知识的理解与掌握情况，合理设置以上几个典型变式。

［变式1］（变条件）已知[x<2]，则[y=x+4x-2]的最大值为               。

［变式2］（变设问）已知[0<x<1]，则[x（3-3x）]取得最大值时[x]的值为                。

［变式3］（变形式）已知[x>0]，[y>0]，且[1x+9y=1]，则[x+y]的最小值为               。

“以学生为中心”的基本理念要贯穿“学历案”的整个设计与编写过程，深入到学生的各个学习环节（括课前预习、课堂学习与课后学习等）。教师应创新设计“学历案”，有效引导学生自主学习与深度学习，凸显学生的主体地位。

（二）抓住“教学根本”来设计与编写

“学历案”的编写与设计不能脱离教学根本。“学历案”必须牢牢抓住教学实质来合理设计。

在具体设计与编写对应课时的“学历案”时，教师必须厘清课时内容在整个数学知识体系中的地位，进而围绕教学任务与教学根本，合理确定教学内容、知识点的难易程度以及学习深度与宽度等，结合学生的实际学情，合理分层设计，巧妙调控与创设。

例如上述“讲练互动”环节，围绕“基本不等式”的教学任务与教学根本，通过基本不等式的概念理解、基本不等式的直接运用、基本不等式的变形运用以及基本不等式的综合运用（包括证明、实际应用与综合应用等），层层递进，体现学生的学习经历与思维过程。而对于应用问题，则根据班级学生的具体情况合理分层，以契合各层次学生的学习需求。

（三）根据“核心素养”这一基本目标来设计与编写

“学历案”有别于传统教学方案的地方是更加关注学生的学习经历，合理设计学生的学习过程及引导学生思维，促进学生积累学习经验与掌握学习技能，提升数学学科核心素养，实现深度学习。

例如上面所述的例3，对于基本不等式的变形应用问题，是基于基本不等式的“三原则”引导学生深度学习，并通过拼凑法来解决问题的，而拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，这充分体现了对学生关键能力的训练与核心素养的培养。

综上，“学历案”的设计与编写应贯彻“以学生为中心”的基本理念，为学生设计合理有效的学习任务，促进学生把握“四基”与提升“四能”，为学生的深度学习奠定坚实的基础。

（责任编辑 黄春香）