初中数学解题反思的几个着力点

［摘 要］解题反思有利于学生理解数学知识和掌握解题技巧，是提高学生数学核心素养和培养学生数学关键能力的重要途径。教师可引导学生对题目考查的知识点、解题过程的合理性和便捷性、题目条件与结论的关系、题目所考查的数学思想方法、题目的问题情境、错题等进行反思，及时总结解题方法与解题规律， 使学生掌握解题思维活动的基本规律，提升学生的解题能力和核心素养。

［关键词］解题反思；初中数学；着力点

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）23-0019-04

解题反思是一个重要的学习环节，是学生理解数学知识和掌握解题技巧的重要方法，它有助于培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。在解题教学中，就算教师将解题方法与技巧讲得清清楚楚、面面俱到，一些学生自己动手做题时仍然不知从何下手，究其原因主要是缺少解题反思。对此， 教师应引导学生对题目考查的知识点、解题过程的合理性和便捷性、题目条件与结论的关系等进行反思，使学生通过反思加深对数学知识的理解，掌握解题的规律与技巧，逐步提高解题能力。具体可从以下几个方面进行解题反思。

一、题目考查的知识点

反思题目考查的知识点是非常重要的。在解题后，教师可让学生反思题目考查了哪些概念、公式、定理和推论，然后对比类似的题目和知识点，找出它们之间的联系和区别，这样可让学生巩固复习知识，更好地掌握知识点，提高解题效率。

［例1］如图1，四边形[ABCD]中，[AD]∥[BC]，点[O]为对角线[BD]的中点，过点[O]的直线[l]分别与[AD]、[BC]所在的直线相交于点[E]、[F]（点[E]不与点[D]重合）。

（1）求证：[△DOE ]≌[△BOF]。

（2）当直线[l⊥BD]时，连接[BE]、[DF]，试判断四边形[EBFD]的形状，并说明理由。

解析：（1）由[AD]∥[BC]，利用平行线的性质得到[∠ODE=∠OBF]，[∠OED=∠OFB]，由[O]为[AD]的中点得[BO=DO]，可证得[△DOE ]≌[△BOF]。

（2）判断四边形[EBFD]为菱形，连接[EB]、[FD]，如图2所示，由[△DOE ]≌[△BOF]得[ED=BF]，结合[ED]∥[BF]可由平行四边形的判定知四边形[EBFD]为平行四边形，又直线[l⊥BD]，即[EF⊥BD]，由菱形的判定得四边形[EBFD]为菱形。

反思：解答此题需要用到三角形全等的判定和性质、平行四边形的判定、菱形的判定、平行线的性质等相关知识，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法。通过逐一回顾这些知识点，学生清楚图形的性质与判定的核心是边与角及其关系，从而加强对问题的认识，进一步巩固知识。

二、解题过程的合理性与便捷性

反思解题过程的合理性和便捷性是非常重要的。解题过程的合理性是指解题过程合理、完整，而解题过程的便捷性则是指解题过程简单、高效。

解题后必须对解题过程进行反思。首先，反思解题步骤和方法是否规范合理，列式是否符合题意，使用的数学概念、公式和方法是否正确，检查和梳理解题过程是否合理、完整；其次，反思解法是否便捷、是否最佳， 思考有无多种解法。有时候，同一个问题可能有多种解法，而不同的解法可能在解题过程的合理性与便捷性上有所不同。通过反思解题过程的合理性和便捷性，可以找到更加高效、简捷的解法，从而提高解题效率。

［例2］如图3，点[A]、[D]分别在函数[y=-3x]和[y=6x]的图象上，点[B]、[C]在[x]轴上。若四边形[ABCD]为正方形，点[D]在第一象限，则点[D]的坐标是             。

解法一：∵四边形[ABCD]为正方形，∴设点[D]的坐标为[m，6m]，则点[A]的坐标为[-m2，6m]，∴[m--m2=6m]，解得[m=±2]（负值舍去），经检验，[m=2]是方程的解，∴点[D]的坐标为（2，3）。

反思：本题采用的是设坐标法，这一解法是常规方法，是否还有更简捷的解法？通过观察图形（如正方形）的特征，联想面积问题，发现可利用[k]的几何意义解题。

解法二：由反比例函数的比例系数[k]的几何意义可得正方形[ABCD]的面积为[3+6=9]，∴[CD=3]，∴[OC=2]，∴点[D]的坐标为（2，3）。

反思：两种解法都符合数学原理，具有合理性，但解法二利用[k]的几何意义更为简单快捷，在选择题和填空题中优点尤为突出。

通过解题反思，学生有了一题多解的意识，并能分析每种解法的优劣，学会去繁取简、优化解题过程。

三、题目条件与结论的关系

在解题过程中，学生对题目的条件与结论的认识和理解可能存在缺漏，造成审题不清或忽视条件与结论的内在关系，从而导致错解或无解。因此，反思题目条件与结论的关系尤为重要。

首先，反思是否阅读清楚题目，有没有遗漏或误解，是否完全理解所有的条件，并思考这些条件之间的联系，以及它们可能会如何影响解题过程；其次，仔细考虑题目要求的结论或需要证明的结论；最后，在了解题目条件和结论的基础上，思考结论与题目条件之间的关系，思考为什么这些条件能推出结论或者为什么结论是基于这些条件而得出的，尝试找出连接题目条件和结论的桥梁。

［例3］如图4，在[△ABC]中，[AB=AC]，[∠A=30°]，射线[CP]从射线[CA]开始绕点[C]逆时针旋转[α]角（[0°<α<75°]），与射线[AB]相交于点[D]，将[△ACD]沿射线[CP]翻折至[△ACD]处，射线[CA]与射线[AB]相交于点[E]。若[△ADE]是等腰三角形，则[∠α]的度数为              。

解析：由折叠的性质知[∠A=∠A=30°]，[∠ACP=∠A′CP=α]，当[AD=DE]时，如图5，若[∠DEA=∠A=30°]，由三角形的外角性质得[∠DEA=∠A+∠ACD+∠ACD]，即[30°=30°+2α]，此情况不存在。当[AD=AE]时，如图6，[∠A=30°]，[∠DEA=∠EDA=12×（180°-30°）=75°]，由三角形的外角性质得[75°=30°+2α]，解得[α=22.5°]。当[EA=DE]时，如图7，[∠EDA=∠A=30°]，∴[∠DEA=180°-30°-30°=120°]，由三角形的外角性质得[120°=30°+2α]，解得[α=45°]。当[AD=AE]时，如图8，[∠ADE=∠AED=15°]，∴[∠ADC=∠ADC=12×（180°-15°）=82.5°]，∴[α=∠ACD=180°-30°-82.5°=67.5°]。

综上，[∠α]的度数为[22.5°]或[45°]或[67.5°]。

反思：三角形的外角是解题的关键条件，更是解题的桥梁。当条件不明确时就要考虑分类讨论；当题中提供的图形不够用时，可多画些图形进行分析；当题中直接提供的条件不够用时，应挖出隐含条件加以运用，从而顺利解决问题。

四、题目所考查的数学思想方法

数学思想方法是数学知识的精髓，是对数学知识本质的认识。在解题过程中，不仅要关注题目的答案，还要关注解题过程所涉及的数学方法和蕴含的数学思想。反思题目考查的数学思想方法是一个非常重要的学习过程，学生通过总结题目考查的数学思想方法，形成自己的解题经验和策略，并将这些解题经验和策略应用到其他类似的题目中，检验其有效性，从而达到对数学思想方法的再认识，加深对数学思想方法的理解，提升解题能力和数学核心素养。

［例4］如图9，一次函数[y=kx+b（k>0）]的图象过点[（-1，0）]，则不等式[k（x-1）+b>0]的解集是（ ）。

A. [x>-2] B. [x>-1]

C. [x>0]   D. [x>1]

解法一：∵一次函数[y=kx+b（k>0）]的图象过点（-1，0），∴[-k+b=0]，∴[b=k]，∴不等式化为[kx-k+b>0]，即[kx>0]，∵[k>0]，∴[x>0]，故选C。

反思：函数图象经过某一点，把该点的坐标代入函数关系式是一种常用方法（直接法），但既然有图象，而不等式与函数图象之间又有密切的关系，能否用图象法求解？由[kx+b]与[k（x-1）+b]对应成[y=kx+b]与[y=k（x-1）+b]，能体现点的坐标与图形变换的关系，因此可以利用数形结合方法求解。

解法二：如图10，将直线[y=kx+b（k>0）]向右平移1个单位得到[y=k（x-1）+b（k>0）]，该图象经过原点，由图象可知，在[y]轴右侧，直线位于[x]轴上方，即[y>0]，因此，当[x>0]时，[k（x-1）+b>0]，故选C。

反思：本题利用一次函数的图象与一元一次不等式之间的关系求解，通过观察图象，从图象中得到对应部分的解集，把求答案化成看答案（图象法），体现了数形结合思想。通过解题反思，学生了解到除了一般的常规解题方法，还可以利用数形结合思想进行求解，既简便又快捷，进一步拓展了解题思路与拓宽了解题视野，提升了解题能力。

五、题目中的问题情境

通过反思题目中的问题情境，学生可感受到数学在解决生活问题的作用，从而增强学生的知识应用意识，提高学生解决实际问题的能力。在反思题目的问题情境时，要弄清楚题目的背景信息，理解所描述的实际情境，理解题目要求，确定解题方向。在理解题目背景和要求的基础上，挖掘题目的隐含条件。有时候题目会间接给出一些关键信息，需要仔细分析和推断，在得到解后，还要检查解是否符合题目背景和要求。同时，还应将问题与其他知识关联起来。例如，如果问题涉及方程，那么可以考虑这个方程与哪些方程有关联，或者这个方程在实际生活中的应用场景等。

通过以上反思，学生可以更好地理解和掌握数学问题，提高数学思维能力和解题能力。

［例5］任务：某校八年级同学想测量旗杆的高度 h（m），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子长度未知，如图11所示。

工具： 一把皮尺（测量长度略小于绳子长）。

小明利用皮尺测量，求出了旗杆[BC]的高度 [h（m）]，其测量及求解过程如下：

测量出绳子垂直落地后还剩余[a]（m），把绳子拉直，绳子末端A点在地面上离旗杆底部C点[b]（m），即[AC=b]（m），如图12所示。

由测量得[AC=b]，[BC=h]，[AB=h+a]，在 Rt[△ABC]中，[∠ACB=90°]，∴[BC2+AC2=AB2]， 即[h2+b2=（h+a）2]，∴[h=]             （m）。

阅读下列材料，回答问题。

（1）直接写出小明求得的旗杆高度h（m）的值;

（2）小明求得h所用到的几何知识是            ;

（3）小明仅用皮尺，通过２次测量，求得h（m），请你利用皮尺另外设计一个测量方案，并利用直角三角形的知识求旗杆的高度h（m），写出你的测量及求解过程。（测量得到的长度用字母m，n表示）

反思：测量长度和高度问题是常见的问题，但回归到实际生活情境的应用不多见，因此如何把所学知识应用于解决生活实际问题至关重要。很多学生可能想到了方法，但不会表达，而还有学生是看不懂题目中的表述在数学中的含义。因此，教师应引导学生对数学实际情境问题进行思考、反思、总结，从而提高学生解决实际情境问题的能力，同时让学生进一步感受数学知识在解决实际问题中的作用。