三角形周长最小值问题解答策略探究

［摘 要］三角形周长的最小值问题常作为压轴题出现在数学试卷中，具有一定的区分度。文章结合例题，从三个方面探究三角形周长最小值问题的解答策略，以帮助学生突破解题难点，提升学生的思维能力和解题能力。

［关键词］三角形；周长；最小值；解答策略

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）23-0025-03

线段和的最小值问题是中考数学命题的热点，三角形周长的最小值问题更是常见的题型，其中几何类综合题及函数与几何结合的综合题，常作为压轴题出现在数学试卷中，具有一定的区分度。但是，学生只要熟练掌握相应的解题思路与方法，破解此类问题不是难事。本文阐述三种三角形周长最小值问题的解答策略。

一、三角形的三个顶点中，有两个点是固定点，第三个点是在定直线上的动点

［模型1］如图1，已知点[A]、[B]是直线[l]同侧的两点，点[P]在直线[l]上，问点[P]在何处时，才能使[△APB]的周长最小？

策略：如图2，以直线[l]为对称轴作点[A]的对称点[A′]，连接[A′B]，交直线[l]于点[P]，则点[P]为满足条件的点，连接[AB]、[AP]，此时[△APB]的周长最小。证明：因为[AB]的长度一定，要使[△APB]周长最小，只需[AP+PB]最小即可，如图2，在直线[l]上任取另一点[Q]，连接[AQ]、[QB]、[A′Q]。∵点[A]与[A′]关于直线[l]成轴对称，点[P]、[Q]在直线[l]上，∴[PA=PA′]，[AQ=A′Q]。在[△A′BQ]中，由三角形的三边关系得[A′Q+QB>A′B]，∴[AQ+QB>A′B]，即[AQ+QB>A′P+BP]，∴[AQ+QB>AP+BP]，∴[PA+PB]最小，∴[△APB]的周长最小。

［例1］如图3，已知在平行四边形[ABCD]中，点[E]是[AD]边上一点，连接[BE]、[CE]，[BE=CE]，[BE⊥CE]，点[F]是[EC]上一动点，连接[BF]。

（1）如图4，当[BF⊥AB]时，连接[DF]，延长[BE]、[CD]交于点[K]，求证：[EF=EK]。

（2）如图5，以[BF]为直角边作等腰Rt[△FBG]，[∠FBG=90°]，连接[GE]，若[DE=2]，[CD=5]，当点[F]在运动过程中，求[△BEG]周长的最小值。

分析：（1）证明[△CEK ]≌[△BEF]即可得出[EF=EK]；（2）作[BK⊥BE]，[GK⊥BK]于点[K]，延长[KG]交射线[CE]于点[P]，先证明点[F]在[CE]上运动时，点[G]在[PK]上运动，再延长[EP]到点[Q]，使[PQ=PE]，连接[BQ]交[PK]于点[G]，此时[△BEG]的周长最小，求出此时[GE+GB+BE]的值即可。

解：（1）∵四边形[ABCD]是平行四边形，∴[AB]∥[CD]，[AD]∥[BC]，∴[∠K=∠ABE]，∵[BF⊥AB]，∴[∠ABF=90°]，∴[∠ABE=90°-∠EBF=∠BFE]，∴[∠K=∠BFE]，∵[BE=CE]，∴[△CEK  ]≌[△BEF]（AAS），∴[EK=EF]。（2）如图6，作[BK⊥BE]，[GK⊥BK]于点[K]，延长[KG]交射线[CE]于点[P]，则[∠EBK=] [∠FBG=90°]，∴∠KBG =∠EBF = [90°-∠GBE ]，∵[∠K=∠BEF=90°]，[BG=BF]，∴[△BKG ]≌[△BEF]（AAS），∴[BK=BE]，∵[∠EBK=∠K=∠BEP=90°]，∴四边形[BEPK]是正方形，∴[PE=BE=CE]，∴当点[F]在[CE]上运动时，点[G]在[PK]上运动。∵[BE]为定值，当[BG+GE]最小时，[△BEG]的周长最小，如图6，作点[E]关于直线[PK]的对称点[Q]，连接[BQ]交[PK]于点[G′]，则点[G′]就是所求作的点，此时[G′E+G′B+BE]最小，即[△BEG′]的周长最小，最小值为[BQ+BE]的值，作[DH⊥CE]于点[H]，则[∠DHE=∠DHC=90°]，∵[∠ECB=∠EBC=45°]，∴[∠HED=∠ECB=45°]，∴[∠HDE=45°=∠HED]，∴[DH=EH]，∴[DH2+EH2=2DH2=DE2=（2）2=2]，∴[DH=EH=1]，∴[CH=CD2-DH2=（5）2-12=2]，∴[BE=CE=EH+CH=1+2=3]，∴[EQ=2PE=2BE=6]，∵[∠BEQ=90°]，∴[BQ=BE2+EQ2=32+62=35]，∴[G′E+G′B+BE=35+3]，∴△[BEG]周长的最小值为[35+3]。

评注：本题的难点在于确定动点[G]的运动路径。本题通过证明四边形[BEPK]是正方形，确定了点[G]的运动路径为直线[PK]，实际上根据“瓜豆原理”也可以看出来，因为主动点[F]在线段[EC]上运动，而[△FBG]始终是等腰直角三角形，所以从动点[G]也必在一条直线上运动。找到动点[G]在直线上运动后，求[△BEG]周长的最小值问题，就转化为“将军饮马”问题，作对称点，连接对称点与另一固定点。

二、三角形的三个顶点中，只有一个是固定点，另外两个分别是定直线上的动点

［模型2］如图7，已知[∠AOB]，[P]是[∠AOB]内部的一个定点，点[E]、[F]分别是[OA]、[OB]上的动点，要使得[△PEF]的周长最小，试在图上确定点[E]、[F]的位置。

策略：如图8，作点[P]关于[OA]的对称点[C]，作点[P]关于[OB]的对称点[D]，连接[CD]，交[OA]于[E]，[OB]于[F]。连接[PE]、[PF]，此时[△PEF]的周长最小。实际上，模型2与模型1的作图思路基本一致，都是通过作对称点，将三角形的三条线段转化到一条直线上，根据“两点之间，线段最短”可得此时[△PEF]的周长是最小的，所以在解答此类题目时，考虑线段和的转化是首先要做的工作。

［例2］如图9，直线[y=-x+5]与[x]轴交于点[B]，与[y]轴交于点[C]，抛物线[y=-x2+bx+c]与直线[y=-x+5]交于[B]、[C]两点，已知点[D]的坐标为（0，3）。（1）求抛物线的解析式；（2）点[M]、[N]分别是直线[BC]和[x]轴上的动点，则当[△DMN]的周长最小时，求点[M]、[N]的坐标，并写出[△DMN]周长的最小值。

分析：（1）求出点[B]、[C]的坐标、将点[B]、[C]的坐标代入抛物线的解析式，即可求解；（2）过点[D]分别作[x]轴和直线[BC]的对称点[D′]（0，-3）、[D″]，连接[D′D″]交[x]轴、直线[BC]于点[N]、[M]，此时[△DMN]的周长最小，即可求解。

解：（1）抛物线的解析式为：[y=-x2+4x+5]，过程略。

（2）如图10，过点[D]分别作[x]轴和直线[BC]的对称点[D′]（0，-3）、[D″]，在二次函数[y=-x2+4x+5]中，令[y=0]，则[-x2+4x+5=0]，解得[x=-1]或5，故点[A（-1，0）]，∵[OB=OC=5]，∴[∠OCB=45°]，∵点[C（0，5）]，点[D（0，3）]，由轴对称得[∠OCB=∠BCD″=45°]，[CD=CD″=5-3=2]，则[CD″⊥y]轴，则点[D″]的坐标为[（2，5）]，连接[D′D″]交[x]轴、直线[BC]于点[N]、[M]，此时[△DMN]的周长最小，将点[D′]（0，-3），[D″]（2，5）代入一次函数的方程[y=mx+n]，得[n=-3，2m+n=5，]解得[m=4]，[n=-3]，∴直线[D′D″]的方程为[y=4x-3]，当[y=0]时，[x=34]，∴点[N]的坐标为[34，0]，联立直线[BC]、直线[D′D″]的方程，得[y=-x+5，y=4x-3，]解方程组得[x=85]，[y=175]，∴点[M]的坐标为[85，175]，此时[△DMN]周长的最小值[=DM+DN+MN=D′D″=4+64=217]。

评注：本题以二次函数为背景探究在平面直角坐标内求三角形周长最小值的问题，确定两动点的位置的思路与模型2相同，即作定点关于两条定直线的对称点，然后连接两对称点，所得直线与两条定直线的交点就是动点的位置。在平面直角坐标内求交点的坐标，需要分别求得两函数的解析式，然后联立两函数的解析式组成方程组，解方程组可得交点坐标。

三、三角形三个顶点中有两个点是固定点，另一个是满足特定等式的动点

［模型3］如图11，在[△ABC]中，点[P]是平面内一点，且满足[PB=PC+m]（[m]是不小于0的常数），求作点[P]，使[△PAB]的周长值最小。

策略：如图11，当点[P]满足[PB=PC+m]（[m]是不小于0的常数）时，[△PAB]的周长[=PA+PB+AB=PA+PC+m+AB=PA+PC+（m+AB）]，因为（[m+AB]）为常数，只需让（[PA+PC]）取最小值即可，在[△PAC]中，由三角形的三边关系得[PA+PC≥AC]，即[PA+PC]的最小值为[AC]，所以[△PAB]的周长的最小值[=AC+m+AB]。

［例3］如图12，在平面直角坐标系中，抛物线[y=-12x2+bx+c]与[x]轴交于[A（4，0）]，[B（-1，0）]两点，与[y]轴交于点[D]，直线[AC]：[y=2x-8]交[y]轴于点[C]。点[E]为直线[AD]上方抛物线上一动点，过点[E]作[x]轴的垂线，垂足为[G]，[EG]分别交直线[AC]、[AD]于点[F]、[H]。（1）求抛物线的解析式；（2）[Q]是[y]轴上一点，当四边形[AFQH]是矩形时，写出点[Q]的坐标；（3）在（2）的条件下，第四象限有一动点[P]，满足[PQ=PC+3]，请直接写出[△PQA]周长的最小值。

分析：（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据三角函数设[AH=n]，[AF=2n]，则[FQ=AH=DH=n]，[CF=QH=2n]，由[CD=10]列方程可得[n]的值，从而得点[Q]的坐标；（3）因为[△PQA]的周长[=PQ+AP+AQ=AP+PC+8]，所以要使得[△PQA]的周长最小，只要[PC+AP]的值最小，因为[PC+AP≥AC]，所以当点[P]在[AC]上时，[PC+AP]的值最小。

解：（1）抛物线的解析式为[y=-12x2+32x+2]，过程略；（2）如图13，∵四边形[AFQH]是矩形，∴[∠CFQ=∠QHD=∠FAH=90°]，[AD]∥[FQ]∵[FH]∥[CD]，[QH]∥[AC]，∴[∠ACD=∠AFH=∠DQH]，四边形[DHFQ]是平行四边形，∴[DH=FQ]，∵[A（4，0）]，[C]（0，-8），∴[OA=4]，[OC=8]，∴[tan∠ACO=tan∠DQH=tan∠AFH=OAOC=FQCF=AHAF=DHQH=12]，设[AH=n]，[AF=2n]，则[FQ=AH=DH=n]，[CF=QH=2n]，∴[CQ=DQ=5n]，∵[CD=2+8=10]，∴[25n=10]，∴[n=5]，∴[DQ=5]，∴[OQ=5-2=3]，∴[Q]（0，-3）；（3）如图14，∵[AQ=32+42=5]，且[PQ=PC+3]，∴[△PQA]的周长[=PQ+AQ+AP=PC+3+5+AP=8+PC+AP]，要使得[△PQA]的周长最小，只要[PC+AP]的值最小，∵[PC+AP≥AC]，∴当点[P]在[AC]上时，[PC+AP=AC]的值最小，∵[AC=42+82=45]，∴[△PQA]的周长的最小值为[45+8]。

评注：在[△PQA]中有两个定点[A]、[Q]和一个动点，但动点[P]满足一定的条件，即[PQ=PC+3]，这样求[△PQA]的周长时就可以转化为求[8+PC+AP]，而[PC+AP]的最小值可以利用“两点之间，线段最短”来求得，即为[AC]的长，这是求三角形周长最小值比较特殊的一类情形。

本文介绍了三种求三角形周长最小值的问题，分别对应有一个动点、两个动点、一个有条件的动点，前两种类型利用轴对称进行转换，最后一种类型利用代数式及三角形的三边关系进行转换。不难发现，针对不同类型的问题要采取不同的解答策略，这样才能有效解题。

（责任编辑 黄春香）