与双曲线有关的三角形面积问题探究

［摘 要］文章结合例题，从三个方面探讨解答与双曲线有关的三角形面积问题的基本策略，以帮助学生突破解题难点，提升学生的综合能力。

［关键词］双曲线;三角形面积；问题

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）23-0028-03

近年来，各地高中数学试卷中频频出现与双曲线有关的三角形面积问题，这体现了考试命题倡导知识考查和对方法的灵活运用，符合新课标理念与数学学科核心素养的培养要求。解答与双曲线有关的三角形面积问题有哪些基本策略呢？本文结合例题进行探究。

一、灵活运用双曲线的定义

当问题中出现的三角形与双曲线的焦点、焦半径或焦点弦有关时，往往可灵活运用双曲线的定义来解决。

［例1］已知[F1]，[F2]是双曲线[C：x2-y2=1]的两个焦点，[P]为[C]上一点，且[PF1·PF2=4]，则[△PF1F2]的面积为                      。

解析：由双曲线[C：x2-y2=1]得[a=b=1]，[c=2]，由双曲线定义得[PF1-PF2=2]，则[PF1-PF22=PF12-2PF1PF2+PF22=4]，又[PF1·PF2=4]，所以有[PF12+PF22=12]，在[△PF1F2]中，由余弦定理得[F1F22=PF12+PF22-2PF1·PF2cos∠F1PF2=12-8cos∠F1PF2=4c2=8 ]，则[cos∠F1PF2=12]，则[sin∠F1PF2=32]，所以[△PF1F2]的面积为[12PF1PF2sin∠F1PF2=12×4×32=3]。

评注 本题由双曲线的定义，结合余弦定理求sin[∠F1PF2]，再由三角形面积公式求解结果。这类问题主要考查双曲线定义在焦点三角形中的应用，属于基础题。

［例2］已知双曲线[C]的方程为[x216-y29=1]，其左、右焦点分别是[F1 ，F2]，已知点[P]的坐标为[（4，2）]，双曲线[C]上点[Q（x0，y0）（x0>0，y0>0）]满足[QF1·PF1QF1=F2F1·PF1F2F1]，设[△QF1F2]的内切圆半径为[r]，则[r=]          ，[S△F1PQ-S△F2PQ=]                  。

解析：如图2，设[△QF1F2]的内切圆与[△QF1F2]的三边分别相切于[D、E、G]，由切线长相等得[QD=QG]，[F1D=F1E]，[F2E=F2G]，由双曲线定义得[QF1-QF2=2a=8]，则[QD+DF1-QG+GF2=DF1-GF2=EF1-EF2=2a]，又[EF1+EF2=2c]，解得[EF1=a+c]，则点[E]的横坐标为[a]，即内切圆的圆心的横坐标为[a]，由[QF1·PF1QF1=F2F1·PF1F2F1]得[QF1·PF1cos∠PF1QQF1=F2F1·PF1cos∠PF1F2F2F1]，化简得[cos∠PF1Q=cos∠PF1F2]，即[∠PF1Q=∠PF1F2]，即[PF1]是[∠QF1F2]的平分线，而点[P（4 ，2）]，且[a=4]，可得点[P]为[△QF1F2]的内心，且半径[r=2]，所以[S△F1PQ-S△F2PQ=12rQF1-QF2=12×2×8=8]。

评注 本题的解题关键点在于先利用切线长定理求得[△QF1F2]的内切圆的圆心的横坐标为[a]，再由[QF1·PF1QF1=F2F1·PF1F2F1]得到点[P]在[∠QF1F2]的平分线上，结合点[P]的横坐标为[a]进而得到点[P]为[△QF1F2]的内心，利用双曲线的定义及面积公式即可求解。本题具有一定的难度。

二、挖掘三角形的特点

挖掘三角形的特点，就是根据图形特征，选择恰当的面积公式加以计算，以达到减少运算量的目的，尤其是对于某些三角形的面积之比、面积之差、面积之和问题。

［例3］已知双曲线[C]：[x2-y2=1]的左、右焦点分别为[F1]，[F2]，直线[l]：[y=2x-m]与[C]相交于[A]，[B]两点，若[△F1AB]的面积是[△F2AB]面积的3倍，则[m=]               。

解析：依题意，双曲线[C]：[x2-y2=1]的左、右焦点分别为[F1（-2，0）]，[F2（2，0）]，设[F1]到直线[AB]的距离为[d1]，[F2]到直线[AB]的距离为[d2]，则[d1=-22-m5]，[d2=22-m5]，因为[△F1AB]的面积是[△F2AB]面积的3倍，所以[d1=3d2]，即[-22-m=322-m]，解得[m=2]或[42]，联立方程组[y=2x-m，x2-y2=1，]整理得[3x2-4mx+m2+1=0]，则[Δ=16m2-12（m2+1）>0]，解得[m2>3]，所以[m=42]。

评注 解答本题时注意到两个三角形的底边相同，所以解题的关键是将面积比转化为距离比，进而转化为点到直线的距离之比，通过列方程求参数即可，但需检验判别式，否则会产生增解。

［例4］设双曲线[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的离心率为[3]，且顶点到渐近线的距离为[263]。已知直线[l]过点[（0，-1）]，直线[l]与双曲线[C]的左、右两支的交点分别为[M，N]，直线[l]与双曲线[C]的渐近线的交点为[P，Q]，其中点[Q]在[y]轴的右侧。设[△OMP]，[△OPQ]，[△OQN]的面积分别是[S1，S2，S3]。

（1）求双曲线[C]的方程；

（2）求[S2S1+S3]的取值范围。

解析：（1）双曲线[C]的方程为[x24-y28=1]，过程略。

（2）由题意得[S2S1+S3=PQPM+QN]，直线[l]的斜率存在，设直线[l]的方程为[y=kx-1]，设[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]，由[y=kx-1，2x2-y2=8，]得[（2-k2）x2+2kx-9=0]，则[k2≠2，Δ=4k2+36（2-k2）>0，-92-k2<0，]即得[-2<k<2]，则[x1+x2=2kk2-2]，[x1x2=9k2-2]， 故[MN=1+k2·x1-x2=1+k2·（x1+x2）2-4x1x2=1+k2·72-32k22-k2] [=1+k2·229-4k22-k2]，由[y=kx-12x2-y2=0]，得[（2-k2）x2+2kx-1=0]，[Δ=4k2+4（2-k2）=8>0]，

则[xP+xQ=2kk2-2]，[xPxQ=1k2-2]， 得[PQ=1+k2·（xP+xQ）2-4xPxQ=1+k2·222-k2]，

故[S2S1+S3=PQPM+QN=PQMN-PQ=1MNPQ-1]，而[-2<k<2]，[MNPQ=9-4k2∈1，3]，所以[S2S1+S3∈12，+∞]。

评注 解答本题第（2）问的关键是抓住三个三角形具有同高的特点，把三角形面积比转化为底边之比，于是利用弦长公式表示出[S2S1+S3=PQPM+QN=PQMN-PQ]，进而结合参数的取值范围求得答案。

三、灵活运用三角形的面积公式

灵活运用三角形的面积公式，是指运用三角形面积公式时与韦达定理相结合，尤其是三角形面积的最值问题或定值问题，面积公式中的有关量的选择要与韦达定理有关。

［例5］与椭圆[x29+y25=1]有公共焦点的双曲线[C]过点[M（3，6）]，过点[E（2，0）]作直线[l]交双曲线的右支于[A，B]两点，连接[AO]并延长交双曲线左支于点[P（O]为坐标原点）。

（1）求双曲线[C]的方程;

（2）求[△PAB]的面积的最小值。

解析：（1）双曲线[C]的方程为[x2-y23=1]，过程略。

（2）显然直线[l]与[y]轴不垂直，设直线[l]的方程为[x=my+2]，[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，由双曲线的对称性知[AP]的中点为[O]，故[S△PAB=2S△OAB]，联立[x=my+2，3x2-y2=3⇒] [（3m2-1）y2+12my+9=0]，故[Δ=36（m2+1）]，且[y1+y2=-12m3m2-1y1y2=93m2-1，]由于[A]，[B]均在双曲线右支，故[x1+x2>0，x1x2>0⇔m（y1+y2）+4=-43m2-1>0，m2y1y2+2m（y1+y2）+4=-3m2-43m2-1>0，]

解得[0≤m2<13]，[S△PAB=2S△OAB=2×12×OE×y1-y2=2（y1+y2）2-4y1y2]，代入韦达定理得[S△PAB=12m2+11-3m20≤m2<13]，令[m2+1=t1≤t<233]，则[S△PAB=12t4-3t2=124t-3t1≤t<233]，易知[4t-3t]随[t]的增大而减小，则当[t=1]时，[（S△PAB）min=12]。

综上，[△PAB]的面积的最小值为12。

评注 双曲线的面积最值问题的处理方法：设出直线方程[y=kx+b]以及交点坐标[（x1，y1）]和[（x2，y2）]，将直线方程代入双曲线方程后运用韦达定理得[x1+x2]和[x1x2]，根据交点情况得出参数的取值范围，利用点的坐标求出面积，代入韦达定理的结果后面积可化为所设参数的函数，从而再利用函数知识、不等式知识求得最值。

［例6］已知双曲线[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的离心率为[426]，且其焦点到渐近线的距离为1。

（1）求[C]的方程；

（2）如图3，若动直线[l]与[C]恰有1个公共点，且与[C]的两条渐近线分别交于[P，Q]两点，[O]为坐标原点，证明：[△OPQ]的面积为定值。

解析：（1）[C]的方程为[x26-y2=1]，过程略。

（2）当直线[l]的斜率不存在时，直线[l]的方程为[x=±6]，此时[PQ=2]，[S△OPQ=12×2×6=6]；当直线[l]的斜率存在时，不妨设直线[l]的方程为[y=kx+m]，且[k≠±66]。联立方程组[y=kx+m，x26-y2=1，]得[（1-6k2）x2-12mkx-6m2-6=0]。由[Δ=144m2k2+4（1-6k2）（6m2+6）=0]，得[6k2=m2+1]。

联立方程组[y=kx+m，y=66x，]得[x=6m1-6k]。不妨设直线[l]与[y=66x]和[y=-66x]的交点分别为[P，Q]，则[xP=6m1-6k]，同理可得[xQ=-6m1+6k]，所以[PQ=1+k2xP-xQ=26m·k2+11-6k2]。

因为原点[O]到[l]的距离[d=mk2+1]，所以[S△OPQ=12PQ·d=6m21-6k2]。因为[6k2=m2+1]，所以[S△OPQ=6]。故[△OPQ]的面积为定值[6]。

评注 本题第（2）问是考试中较为常见的三角形面积定值问题。当直线[l]的斜率存在时，不妨设直线[l]的方程为[y=kx+m]，且[k≠±66]。动直线[l]与[C]相切可得[Δ=0]，即[6k2=m2+1]，再由弦长公式、点到直线的距离公式表示出三角形的面积，结合[6k2=m2+1]即可得解。本题采用了设而不求、整体消参的策略。

综上， 与双曲线有关的三角形面积问题，可通过灵活运用双曲线的定义，挖掘题目所给条件和图形特征，灵活建立三角形的面积的关系式实现运算的简化以及问题的突破。

（责任编辑 黄春香）