初中数学方程无解的类型及应用

［摘 要］文章结合具体实例，探讨初中数学方程无解的类型及应用，以帮助学生更好地认识方程，发展学生的数学思维，提升学生的数学核心素养。

［关键词］方程；无解；应用；初中数学

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）23-0031-03

方程是初中数学学习的重要工具，也是解决实际问题的重要模型。本文结合具体实例，探究初中数学方程无解的不同情形，以帮助学生从另一角度认识方程、了解方程，从而更好地应用方程。

一、方程无解的类型

（一）一元一次方程无解

[ax=b]是一元一次方程的最简式，解该含参一元一次方程需分类讨论，即当[a≠0]时，方程有唯一解；当[a=b=0]时，方程有无穷解；当[a=0]，[b≠0]时，方程无解。

1.原方程本身无解

［例1］解方程：[2x-12=5x+25-1]。

解析：去分母，得[5（2x-1）=2（5x+2）-10]，去括号，得：[10x-5=10x+4-10]，移项，得：[10x-10x=4+5-10]，合并同类项，得：[0x=-1]，由乘法的意义可知，0与任何数的乘积都是0，所以原方程无解。

2.原方程有解但不符合题意

［例2］2024年1月日历排列如图所示，用“X”形的方式任意框五个数。

（1）若框住的5个数中，正中间的一个数为10，则这5个数的和为               ；

（2）用式子表示“X”形框内五个数的和；

（3）“X”形框能否框住这样的5个数，使得它们的和等于120？若能，求出正中间的数；若不能，请说明理由。

解析：（1）[10+2+4+16+18=50]，故答案为50；（2）设正中间的数为[x（9≤x≤23]，且[x≠14]，15，21，22），则[x+（x-8）+（x-6）+（x+6）+（x+8）=5x]，所以“X”形框内五个数的和为[5x]，即正中间数的5倍；（3）“X”形框不能框住这样的5个数，使得它们的和等于120。理由：设正中间的数为[x]，则[5x=120]，解得[x=24]，因为[x+8=32>31]，不合题意，所以“X”形框不能框住这样的5个数，使得它们的和等于120。

（二）二元一次方程组无解

对于一般的二元一次方程组[b1x+a1y=c1，b2x+a2y=c2，]可将两个二元一次方程都化成一次函数的解析式，即[y=-b1a1x+c1a1，y=-b2a2x+c2a2。]当[-b1a1=-b2a2]且[c1a1≠c2a2]，即[a1a2=b1b2≠c1c2]时，对应的两直线平行，二元一次方程组无解。

［例3］解方程组：[x3-y+12=1，2x-（3y-5）=8。]

解析：由第一个方程得：[y=23x-3]；由第二个方程得：[y=23x-1]，因为这两个一次函数的[k]值相同，[b]值不同，所以对应的两条直线平行，没有交点，即原方程组无解。

（三）一元二次方程无解

解一元二次方程时，先要将其化为一般形式[ax2+bx+c=0]（[a≠0]），然后通过[Δ=b2-4ac]的值判断解的情况。当[b2-4ac<0]时，一元二次方程无解。也可以画出二次函数[y=ax2+bx+c]的图象，当抛物线与[x]轴无交点时，其对应的一元二次方程[ax+bx+c=0]无解。

1.原方程本身无解

［例4］解方程：[3x2-5x+8=0]。

解析：∵[a=3]，[b=-5]，[c=8]，∴[Δ=b2-4ac=（-5）2-4×3×8=-71<0]，∴方程没有实数根。

2.原方程有解但不符合题意

［例5］某商场雅戈尔衬衫平均每天可售出30件，每件衬衫可以盈利50元，为了进一步减少库存，商场决定开展一定的促销活动。通过统计发现，每件衬衫每降价1元销售，商场平均每天可以多售出2件。（1）设每件衬衫降价[x]元，则商场日销售量增加             件，每件衬衫盈利             元（用含[x]的代数式表示）；（2）在上述销售正常情况下，每件衬衫降价多少元时，商场日盈利可达到2000元（降价应小于销售量为30件时盈利的20%）？

解析：（1）因为每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，所以当每件衬衫降价[x]元，则商场日销售量增加[2x]件，每件衬衫盈利（[50-x]）元。

（2）根据题意，得：[（50-x）（30+2x）=2000]，整理，得：[x2-35x+250=0]，解得[x1=10]，[x2=25]，因为降价应小于销售量为30件时盈利的20%，所以[x]应小于10，所以没有符合题意的降价。

（四）分式方程无解

分式方程无解一般有两种情形，一是去分母后化成的整式方程有解，但这个解使原分式方程的最简公分母为0，即出现增根，原分式方程无解；二是分式方程去分母后化成的整式方程无解，使原分式方程无解。

1.分式方程出现增根

［例6］解方程：[5x-4x-2=4x+103x-6-1]。

解析：等式左右两边同乘[3（x-2）]，得：[3（5x-4）=4x+10-3（x-2）]，去括号，得：[15x-12=4x+10-3x+6]，移项合并同类项，得：[14x=28]，解得：[x=2]，检验：当[x=2]时[x-2=0]，所以原分式方程无解。

2.化成的整式方程无解

［例7］解方程：[1-xx+2=3-2x2+x+1]。

解析：等式左右两边同乘[x+2]，得：[1-x＝3-2x+x+2]，移项，得：[-x+2x-x＝-1+3+2]，合并同类项，得：[0x=4]，此整式方程无解，所以原分式方程无解。

3.化成的一元二次方程无解

［例8］解方程：[2xx-2+8x2-2x=1]。

解析：等式左右两边同乘[x（x-2）]，得：[2x2+8=x（x-2）]，整理，得[x2+2x+8=0]，因为[Δ=22-4×8=-28<0]，此一元二次方程无实数根，所以原分式方程无解。

二、方程无解的应用

（一）由一元一次方程无解确定参数关系式

［例9］解一元一次方程一般是先将一元一次方程整理为[ax=b]的形式（[a]，[b]为常数），再利用等式的基本性质2，将未知数的系数化为1。若关于[x]的一元一次方程[ax-42=13-bx]无解，求[a]和[b]关系。

解析：[ax-42=13-bx]，去分母，得：[3（ax-4）=2-6bx]，移项合并同类项，得：[3（a+2b）x=14]。因为原方程无解，所以[a+2b=0]。

评注：如果一元一次方程[ax=b]无解，那么[a=0]，[b≠0]，反过来也成立。由[a=0]可以求参数的值，也可以确定参数的关系式。

拓展：已知关于[x]的方程[（m+3）xm-2+6n=0]为一元一次方程，且该方程的解与关于[x]的方程[2x+15]-1=[x+n2]的解相同。（1）求[m]，[n]的值；（2）在（1）的条件下，若关于[y]的方程[ay+a=m+1-2ny]无解，求[a]的值。

解析：（1）∵关于[x]的方程[（m+3）xm-2+6n=0]是一元一次方程，∴[m-2=1]，[m+3≠0]，解得：[m=3]，当[m=3]时，方程为：[6x+6n=0]，解得：[x=-n]。将[2x+15-1=x+n2]去分母，得：[2（2x+1）-10=5（x+n）]，去括号得：[4x+2-10=5x+5n]，移项得：[4x-5x=5n+10-2]，合并同类项得：[-x=5n+8]，解得：[x=-5n-8]，∴[-5n-8=-n]，∴[n=-2]。（2）把[m=3]，[n=-2]代入[ay+a=m+1-2ny]，得：[ay+a=4+4y]，∵[y]的方程[ay+a=4+4y]无解，∴[a-4=04-a≠0]，∴[a=-4]。

（二）由二元一次方程组无解求参数的值

［例10］当[k]为何值时，二元一次方程组[kx+2y=2，3x-5y=2]无解？

解析：[kx+2y=2]可化为[y=-k2x+1]，[3x-5y=2]可化为[y=35x-25]。∵二元一次方程组[kx+2y=2，3x-5y=2]无解，∴[2-5=k3≠]1，解得：[k=-65]。故当[k=-65]时，二元一次方程组[kx+2y=2，3x-5y=2]无解。

评注：如果二元一次方程组[b1x+a1y=c1，b2x+a2y=c2]无解，那么[a1a2=b1b2≠c1c2]。据此可以求得参数的值。

拓展：已知关于[x]，[y]的方程组[y=kx+b，y=（3k-1）x+2。]（1）当[k]，[b]为何值时，方程组有唯一一组解？（2）当[k]，[b]为何值时，方程组有无数组解？（3）当[k]，[b]为何值时，方程组无解？

解析：（1）当[k≠3k-1]，即[k≠12]时，直线[y=kx+b]与直线[y=（3k-1）x+2]只有一个交点，所以当[k≠12]，[b]为任意数时，方程组有唯一一组解；（2）当[k=3k-1]，[b=2]，即[k=12]，[b=2]时，直线[y=kx+b]与[y=（3k-1）x+2]重合，所以[k=12]，[b=2]时，方程组有无数组解；（3）当[k=3k-1]，[b≠2]，即[k=12]，[b≠2]时，直线[y=kx+b]与直线[y=（3k-1）x+2]没有交点，所以[k=12]，[b≠2]时，方程组无解。

（三）由一元二次方程无解求参数的值

［例11］当[m]为何值时，一元二次方程[（m2-1）x2+2（m-1）x+1=0]没有实数根。

解析：因为一元二次方程[（m2-1）x2+2（m-1）x+1=0]没有实数根，所以判别式[Δ=b2-4ac=2（m-1）2-4（m2-1）=-8m+8<0]，解得：[m>1]，所以当[m>1]时，一元二次方程[（m2-1）x2+2（m-1）x+1=0]没有实数根。

评注：此题考查了一元二次方程[ax2+bx+c=0]根的判别式。若根的判别式的值大于0，则方程有两个不相等的实数根；若根的判别式的值小于0，则方程没有实数根；若根的判别式的值等于0，则方程有两个相等的实数根。据此可以求得参数的值。

拓展：已知方程①：[1+k2x2+（k+2）x-1=0]和方程②：[x2+（2k+1）x-2k-3=0]。（1）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简[1-4k+12（k+4）2]。（2）若方程①和②有一个公共根[a]，求代数式[（a2+4a-2）k+3a2+5a]的值。

解析：（1）方程①[1+k2x2+（k+2）x-1=0]中的[Δ1=（k+2）2-41+k2×（-1）=k2+6k+8]，方程②[x2+（2k+1）x-2k-3=0]的[Δ2=（2k+1）2+4（2k+3）]，∵[Δ2=（2k+1）2+4（2k+3）=4k2+12k+13=（2k+3）2+4>0]，∴无论[k]为何值，方程②总有实数根，∵方程①和②只有一个方程有实数根，∴此时方程①没有实数根，∴[k2+6k+8<0]，即[（k+2）（k+4）<0]，∵[1-4k+12（k+4）2=（k+4）2-（4k+12）（k+4）2=（k+2）2（k+4）2=k+2k+42=k+2k+4]，∵[（k+2）（k+4）<0]，∴[1-4k+12（k+4）2=k+2k+4=-k+2k+4]。（2）∵[a]是方程①[1+k2x2+（k+2）x-1=0]和方程②[x2+（2k+1）x-2k-3=0]的公共根，∴记[1+k2a2+（k+2）a-1=0]③，[a2+（2k+1）a-2k-3=0] ④，由[（③-④）×2]得：[ka2=2（k-1）a-4k-4]⑤，由④得：[a2=-（2k+1）a+2k+3]⑥，将⑤⑥代入[（a2+4a-2）k+3a2+5a]得：[ka2+4ak-2k+3a2+5a=2（k-1）a-4k-4+4ak-2k-3（2k+1）a+6k+9+5a=5]。

（四）由分式方程无解求参数的值

［例12］已知关于[x]的分式方程[2x-2+mxx2-4=3x+2]。若该分式方程无解，试求[m]的值。

解析：方程两边同乘[（x+2）（x-2）]，得：[2（x+2）+mx=3（x-2）]①，整理得：[（m-1）x=-10]②，原分式方程无解有三种情况：（1）当[x-2=0]，即[x=2]时，分式方程无解，把[x=2]代入②，得[（m-1）×2=-10=0]，解得：[m=-4]；（2）当[x+2=0]，即[x=-2]时，分式方程无解，把[x=-2]代入②，得[（m-1）×（-2）=-10]，解得：[m=6]；（3）在[（m-1）x=-10]中，当[m-1=0]，即[m=1]时，分式方程无解。所以该分式方程无解时，[m]的值是[-4]或6或1。

评注：分式方程无解一般包括两种情况，一是求出的解是方程的增根，也就是使最简公分母为0的[x]的值；二是去分母后所化成的整式方程无解。据此可以求得参数的值。

拓展：已知关于[x]的分式方程[mx+1-2m-x-1x2+x=0]无解，求[m]的值。

解析：方程左右两边同乘[x（x+1）]，去分母，得：[mx-2m+x+1=0]。原分式方程无解分为两种情况：（1）分式方程有增根，得[x=0]或[x=-1]，将[x=0]和[x=-1]分别代入所化成的整式方程，得：[m=12]或[m=0]；（2）分式方程去分母后所化成的整式方程[mx-2m+x+1=0]无解，即[（m+1）x=2m-1]中[m+1=0]且[2m-1≠0]，∴[m=-1]。综上，当原分式方程无解时，[m=12]或[m=0]或[m=-1]。

综上可知，方程无解的应用较为广泛，在教学中，引导学生讨论方程解的情况是巩固方程应用的有效途径，它能使学生更好地认识方程、了解方程和应用方程，发展学生的数学思维，提升学生的数学核心素养。

（责任编辑 梁桂广）