等积法：解决四边形问题的重要方法

［摘 要］等积法是指利用图形的面积相等或作等量代换求解或证明几何问题的方法，是解决四边形问题的重要方法。文章结合几个实例多角度对等积法在解决四边形问题中的应用进行分析探讨，以使学生体会等积法的应用价值，提高学生的数学思维，提升学生的数学核心素养。

［关键词］等积法；四边形问题；初中数学

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）23-0034-03

四边形是初中数学中的一个重要图形，四边形问题是历年中考数学的必考点，而等积法是解决四边形问题的重要方法。等积法是等面积法的简称，指利用图形面积相等或作等量代换求解或证明几何问题的方法，利用等积法解决四边形问题可以化难为易，达到事半功倍的效果。下面，笔者结合实例分类阐述如何利用等积法解决四边形问题。

一、求边长

利用等积法求四边形中某条线段的长，可以通过两次列式计算四边形的面积，建立等式求解未知量的值。

［例1］如图1，四边形[ABCD]是[⊙O]的内接四边形，[BD]是直径，[AB=AD]，过点[A]作[AE⊥BC]于点[E]，[AF⊥CD]于点[F]。（1）求证：[BE=DF]；（2）若[BC=3]，[DC=5]，求[AC]的长。

分析：（1）根据圆周角定理得到[∠BAD=∠BCD=90°]，推出四边形[AECF]是矩形，得到[∠EAF=90°]，往证[△AEB ]≌[△AFD]，再根据全等三角形的性质得到[BE=DF]；（2）根据勾股定理得到[BD=BC2+DC2=32+52=34]，所以在Rt[△BAD]中，有[AB=AD=22BD=17]，根据三角形的面积公式即可解出所求。

解：（1）∵[BD]是直径，∴[∠BAD=∠BCD=90°]，∵[AE⊥BC]于点[E]，[AF⊥DC]于点[F]，∴[∠E=∠AFC=∠AFD=90°]，∴四边形[AECF]是矩形，∴[∠EAF=90°]，∵[∠EAB+∠BAF=∠EAF=90°]，[∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°]，∴[∠EAB=∠FAD]，∵[AB=AD]，∴[△AEB ]≌[△AFD]（AAS），∴[BE=DF]。

（2）∵[BC=3]，[DC=5]，∴在Rt[△BCD]中，[BD=BC2+DC2=32+52=34]，∴在Rt[△BAD]中，[AB=AD=22BD=17]，由（1）知[△AEB ]≌[△AFD]，∴[AE=AF]，∵[S四边形ABCD=S△BAD+S△BCD=12AB·AD+12BC·DC]，[S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12BC·AE+12DC·AF]，[AE=AF]，即[17×17+3×5=3×AE+5×AE]，∴[AE=4]，∵[∠ACB=∠ADB=45°]，∴[△AEC]是等腰直角三角形，∴[AC=2AE=42]。

评注：本题先用对角线[BD]将四边形[ABCD]分割为两个直角三角形，再用对角线[AC]将四边形[ABCD]分割为一个锐角三角形与一个钝角三角形，然后根据不同的分割方式分别列式表示这四个三角形的面积，借助面积相等的性质建立方程，最后求得[AC]的长。这类对同一几何图形进行不同分割是等积法求线段长的典型实例。

二、求高线长

利用等积法求高线长一般表现为求菱形的高线长，因为菱形的对角线互相垂直，所以菱形的面积是两条对角线乘积的一半。同时，菱形还是特殊的平行四边形，它的面积还可以用底乘以高来表示，所以菱形的高线长可以用等积法求得。

［例2］如图2，已知菱形[ABCD]两条对角线[BD]与[AC]的长之比为3∶4，周长为40 cm，求菱形的高及面积。

分析：设[BD=3x]，[AC=4x]，根据菱形的对角线互相垂直平分，可得[BO=32x]，[AO=2x]，由菱形的周长为40可得[AB=10]，利用勾股定理求出[BO]和[AO]，继而求出[AC]和[BD]，再由菱形两种面积计算公式求出菱形的高及面积。

解：∵[BD]∶[AC=3]∶4，∴设[BD=3x]，[AC=4x]，∴[BO=32x]，[AO=2x]，又∵[AC⊥BD]，在Rt[△AOB]中[AB2=BO2+AO2]，∴[AB=52x]，∵菱形的周长是40 cm，∴[AB=40÷4=10]，即[52x=10]，∴[x=4]，∴[BD=12]，[AC=16]，∴[S菱形ABCD=12BD·AC=12×12×16=96]，又∵[S菱形ABCD=AB·h]，∴[h=9610=9.6]。答：菱形的高是9.6 cm，面积是96 cm2。

评注：本题虽然没有直接给出菱形的对角线长，但却是根据菱形的周长以及对角线的比值，再利用菱形对角线的垂直且平分的性质列方程求得对角线的长，由此求得菱形的面积，进而根据等积法求得菱形的高。

三、求线段的和

求两条线段的和一般不用求出这两条线段各自的长，而是将这两条线段的和看作整体。用等积法求线段的和一般运用于等腰三角形中，即当一个四边形由若干个等腰三角形组成并要求线段和时，可考虑等积法。

［例3］如图3，已知矩形[ABCD]的对角线[AC]，[BD]交于点[O]，点[P]为[BC]边上任意一点，[PE⊥AC]于点[E]，[PF⊥BD]于点[F]，[∠AOD=120°]，[AC=8]，求[PE+PF]的值。

分析：连接[OP]，先证明[△AOB]是等边三角形，得出[AB=OA=OB=4]，再由勾股定理求出[BC]，最后通过[S△OBC=S△OBP+S△COP=14S矩形ABCD]，即可得出结果。

解：连接[OP]，如图4所示，∵四边形[ABCD]是矩形，[AC=8]∴[∠ABC=90°]，[OA=OC=12AC=4]，[OB=OD=12BD]，[AC=BD]，∴[OA=OB]，[S△OBC=14S矩形ABCD]，∵[∠AOD=120°]，∴[∠AOB=60°]，∴[△AOB]是等边三角形，∴[AB=OA=OB=4]，∴在Rt[△ABC]中，[BC=AC2-AB2=82-42=43]，又∵[OB=OC]，[S矩形ABCD=AB×BC]，∴[S△OBC=S△OBP+S△COP=12OB·PF+12OC·PE=12OB×（PE+PF）=14AB×BC]，即[12×4×（PE+PF）=14×4×43]，∴[PE+PF=23]。

评注：由矩形的对角线相等且相互平分，可得矩形被两条对角线分成了四个面积相等的等腰三角形，由矩形面积可得其中一个等腰三角形的面积。当连接[OP]后，[△OBC]被分成了两个三角形，分别计算这两个三角形的面积再相加，由于这两个三角形的底边相等，可以得到[PE+PF]的式子，再利用等积法就可求得这两条线段的和。

四、求证角平分线

利用等积法求证角平分线，实际上就是通过两个三角形面积相等，得到一个点到角两边的距离相等，那么过这个点与角的顶点的射线就是这个角的平分线。

［例4］如图5，在平行四边形[ABCD]中，点[E]、[F]分别在[AD]、[CD]上，连接[AF]、[CE]并相交于点[O]，且[AF=CE]，连接[BO]。求证：[BO]平分[∠AOC]。

分析：如图6，连接[BE]，[BF]，过点[B]作[BG⊥AF]于点[G]，[BH]垂直[CE]于点[H]，由[△ABF]与[▱ABCD]的面积关系及[△BCE]与[▱ABCD]的面积关系，得[△ABF]和[△BCE]面积相等，进而通过列等式及[AF]∶[CE]判断出[BG=BH]，由角平分线性质定理的逆定理即可得出结论。

证明：如图6，连接[BE]，[BF]，过点[B]作[BG⊥AF]于点[G]，[BH⊥CE]于点[H]，∵四边形[ABCD]是平行四边形，可得[S△ABF=12S▱ABCD]，[S△BCE=12S▱ABCD]，∴[S△ABF=S△BCE]，∵[S△ABF=12AF·BG]，[S△BCE=12CE·BH]，∴[12AF·BG=12CE·BH]，即[AF·BG=CE·BH]，∵[AF=CE]，∴[BG=BH]，又∵[BG⊥AF]，[BH⊥CE]，点[B]在[∠AOC]内，∴[OB]平分[∠AOC]。

评注：本题由两个三角形都等于同一平行四边形面积的一半，得到它们面积相等，因为底边相等，所以它们的高也相等，最后由角平分线性质定理的逆定理得到角平分线。这里是利用等积法证得了两条高线相等，是等积法的又一价值体现。

五、求图形面积

利用等积法求图形面积是指将原图形分割拼接后得到的图形与原图形面积相等，也就是图形的形状虽然变了但是面积不变，利用这一点可以求得未知图形的面积。它包括将两个或多个图形拼合成一个图形，或将不规则图形转化为规则图形。

［例5］在直角梯形[ABCD]中，[AD]∥[BC]，[∠B=∠A=90°]。操作：小明取直角梯形[ABCD]的非直角腰[CD]的中点[P]，过点[P]作[PE]∥[AB]，交[BC]于点[E]，剪下[△PEC]（如图7），并将[△PEC]绕点[P]按逆时针方向旋转180°到[△PFD]的位置，拼成新的图形（如图8）。小明发现：在一个四边形中，只要有一组对边平行，就可以剪拼成平行四边形。如图9，在梯形[ABCD]中，[AD]∥[BC]，[E]是[CD]的中点，[EF⊥AB]于点[F]，[AB=5]，[EF=4]，求梯形[ABCD]的面积。

分析：如图10，过点[E]作[AB]的平行线，交[BC]于点[G]，交[AD]的延长线于点[H]，易证四边形[ABGH]是平行四边形，由[△DEH ]≌[△CEG]，得[S△DEH=S△CEG]，得[S梯形ABCD=S▱ABGH]，再利用平行四边形的面积公式求出[S▱ABGH]即可。

解：如图10，过点[E]作[AB]的平行线，交[BC]于点[G]，交[AD]的延长线于点[H]，∵[AH]∥[CG]，∴[∠H=∠CGE]，∵[E]是[CD]的中点，∴[DE=CE]，又∵[∠DEH=∠CEG]，∴[△DEH ]≌[△CEG]（AAS），∴[S△DEH=S△CEG ]，∵[AH]∥[BC]，[AB]∥[HG]，∴四边形[ABGH]是平行四边形，∵[EF⊥AB]于点[F]，[AB=5]，[EF=4]，∴[S▱ABDH=AB×EF=5×4=20]，∴[S梯形ABCD=S五边形ABGED+S△CEG=S五边形ABGED+S△DEH=S▱ABDH=20]。

评注：本题利用两个全等三角形的面积，将梯形的面积转化为平行四边形的面积，也就是利用图形分割重新拼合后面积不变求得不规则图形的面积。

六、求最值

利用等积法求最值，常与动点问题结合，先利用等积法建立起函数关系式，再根据自变量的取值范围，确定因变量的取值范围，这样就可以求得因变量的最大值与最小值。

［例6］如图11，正方形[ABCD]的边长为2，点[P]为边[BC]上任意一点（可与点[B]或点[C]重合），分别过[B]、[C]、[D]作射线[AP]的垂线，垂足分别是[B']、[C']、[D']。（1）设[AP=x]，[BB'+CC'+DD'=y]，求[y]与[x]的函数关系式，并求出[x]的取值范围；（2）直接写出[y]的最大值为               ，最小值为               。

分析：（1）连接[AC]、[DP]，根据三角形的面积公式得出[S△DPC=S△APC=12×AP×CC′]，根据[S正方形ABCD=S△ABP+S△DPC+S△ADP]，推出[BB′+CC′+DD′=8AP]，即可得解；（2）根据已知得出[2≤AP≤22]，代入（1）即可得解。

解：（1）如图12，连接[AC]、[DP]，∵正方形[ABCD]的边长为2，∴[S正方形ABCD=2×2=4]，由勾股定理得：[AC=AB2+BC2=22+22=22]，∵[AB=2]，∴[2≤AP≤22]，∵[△DPC]和[△APC]的公共边[CP]上的高分别是[DC]、[AB]且[DC=AB]，∴[S△DPC=S△APC=12×AP×CC′]，∵[4=S正方形ABCD=S△ABP+S△DPC+S△ADP=12×AP×（BB′+CC′+DD′）]，∴[BB′+CC′+DD′=8AP]，∴[y=8x]，其中[2≤x≤22]；（2）由（1）知，[y=8x]，[2≤x≤22]，∴当[2≤x≤22]时，[y]随着[x]的增大而减小，∵当[x=2]时，[y=4]，当[x=22]时，[y=22]，∴[22≤y≤4]，即[y]的最大值为4，最小值为2[2]。

评注：本题根据正方形的面积等于三个同底三角形面积的和，建立了三条垂线段的和与[AP]的函数关系式，根据自变量[AP]的取值范围，求得三条垂线段和的取值范围，也就得到了三条垂线段和的最大值与最小值。

综上，等积法在求四边形的边长、高线长、线段和以及证明角平分线、求图形面积、求最值等方面有重要运用。利用等积法可以将复杂的几何问题简单化。教学中引入等积法可以培养学生的数学思维，提升学生的数学核心素养。

（责任编辑 梁桂广）