学会裂项　求和无忧

［摘 要］文章以2022年一道数列求和高考题为引，结合几道典型例题，分析探讨裂项相消法的主要类型及应用，以拓宽学生的思维路径。

［关键词］数列求和；高考题；裂项相消法

［中图分类号］    G633.6                ［文献标识码］    A                ［文章编号］    1674-6058（2024）32-0021-03

数列求和历来是高考的必考题型，尤其是对裂项相消法的考查更为频繁。下面以2022年新高考Ⅰ卷第17题为引，结合几道典型例题，探究裂项相消法的主要类型及应用，以拓宽学生的思维路径。

一、高考试题

本题作为数列问题典型考题，聚焦了两大考查重点：数列通项和数列求和。本文暂不讨论数列通项，仅探究如何运用裂项相消法进行数列求和。

二、裂项相消法的原理

裂项相消法的作用在于通过把一个数列的每一项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终化简求和。

裂项相消法的基本步骤见图1。

裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止。

消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项；前边剩第几项，后边就剩倒数第几项。

在应用裂项相消法时需注意，抵消后不一定只剩第一项和最后一项，也可能前面剩两项，后面剩两项，还需注意有时要调整前面的系数，使裂项前后等式两边保持相等。

三、裂项相消法的运用类型

（一）等差型

出现在中档题中，如上文提到的高考题就是属于这种类型。那么等差型裂项求和应如何求解呢？以下结合例题进行分析。

评注：从以上两道例题可以观察到，等差型裂项求和的解题方法有一定的规律可循，但教学中仍须提醒学生：具体问题具体分析，合理配凑，才会有所收获。

（二）根式型

评注：根式型裂项求和题在高考中属于基础题，其解答难度在于“裂项”。教学中教师应引导学生总结归纳，积累方法，以灵活运用“裂项”技巧。

（三）指数型

若问题中将数列裂项求和与指数运算相结合，则会使“裂项”难度陡增。

评注：从以上两道例题可以看出，“裂项”中加入指数运算，题目难度直线上升，当通项中出现[（-1）n+1]时，往往将通项分裂成[（-1）n+1]乘以两项之和，然后借助[（-1）n+1]得到一正一负的项，相互抵消；当通项中出现[an]，应将通项分裂成含有指数的两项之差，而这两项刚好是某数列的连续两项。

总之，数列问题中裂项相消法的考查方式灵活多样，教学中应引导学生深入理解其基本原理和应用技巧。教师应通过分析不同题型的特点，帮助学生掌握裂项相消法的关键点——裂项，让学生通过多练习，感悟方法，并积累裂项相消法的经验，以使学生获得更深层次的理解和提升。