寻根溯源，感悟数概念的一致性

［摘 要］以苏教版数学教材五年级上册“小数的意义”的教学为例，确定学习任务后，设计以下的教学活动：链接结绳计数，引导学生认识一位小数；借助平面图形，引导学生认识两位小数；通过立体图形，引导学生认识三位小数；沟通小数、整数和分数的联系，引导学生认识小数数位。这样从知识的源头处理好小数与整数在数位和计数法上的共通之处，引导学生感悟数概念的一致性，能深化学生对小数意义的理解，为他们后续的数学学习打下坚实的基础。

［关键词］苏教版；数概念；一致性

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）18-0018-03

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，在小学“数与代数”领域，要让学生“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识”。数的概念本质上的一致性主要体现在以下两个方面：一是整数、小数和分数都是对数量或数量关系的抽象；二是无论是整数、小数还是分数，它们都可以从计数单位和计数单位个数的角度来认识。但从教材和现在的教学来看，关于数的认识，整数、分数、小数都有自己独特的认识方法，且这些知识的编排呈现碎片化，缺乏内在的连贯性。

教学苏教版数学教材五年级上册“小数的意义”时，教师从古人的结绳计数引出整数、分数和小数，让学生不仅能感受数不断细分的过程，还感悟了整数、分数和小数等数的概念的一致性，深化了对小数意义的理解。

一、课前思考

认识数的关键是理解数的建构方法。所有数都是基于计数单位来建构的，计数单位是针对个数与顺序的计量单位。有了计数单位，就克服了逐个计数的烦琐与低效，以一个标准量为单位进行一组一组的计数，这个“一组”就是计数单位。数的发展过程就是计数单位的发展过程。整数和小数的计数单位就是十、个、十分之一等，即通常所说的数位；分数的计数单位就是分数单位。建构整数、分数与小数的关键是计数单位，数的认识重点强调计数单位。

1.小数的计数单位

小数0.1的计数单位是1/10，0.01的计数单位是1/100。小数是基于十进位值制来建构的，认识小数的关键是理解基于十进制的小数计数单位。如果把整数和小数的计数单位有序地排列在一起，就会发现小数计数单位是整数计数单元的自然扩展，小数的产生是必然的。

2.如何认识小数

小数是十进分数，这里的“分数”只是描述计数单位的工具，“十进”才是本质。在认识整数时，个位满十向十位进一，十位满十向百位进一……反过来，把计数单位“百”平均分成十份，一份就是计数单位“十”；把计数单位“十”平均分成十份，一份就是计数单位“个”。以此类推，把计数单位“个”平均分成十份，一份就是“个”的十分之一，称其为十分位……从这一点来看，小数作为十进分数，所蕴含的分数意义是很弱的。

“小数的意义”教学重点是位值制。根据“逢十进一”和“退一作十”的规则建构出来的小数，可以与整数一起构成完整的位值制系统，这就是小数的意义和核心。其中，非常重要的是按照同样的规则（十进制）来建构小数，这凸显了知识的本质。

综上所述，数概念的一致性体现为计数单位是数的建构基础，因而认识数的关键是认识计数单位。

二、教学过程

1.链接结绳计数，认识一位小数

师：（板书“数”）同学们，这个字你们会读吗？（有的学生读第三声，有的学生读第四声）（板书“数起源于数”）同学们，今天我们一起走进数的世界。在远古时期的某一天，部落首领正好打了一只新鲜的猎物，想平均分给10位客人。如果你是古人，你会怎么记录每人分到了多少猎物呢？

生1：我可以像古人那样在绳子上打一个小小的结。

师：那这个小小的结表示什么意思呢？

生2：把一只猎物平均分成10份，每份用小数表示是0.1，用分数表示是1/10。

师：这里的“1”表示一只猎物，结合生活中的事物还可以表示什么呢？

生3：还可以表示一个蛋糕、一条绳子、一个苹果……

师：（边说边演示）比如说，把1元平均分成10份，一份就是1角，用小数表示是0.1元，用分数表示是[1/10]元。刚才我们认识了0.1只、0.1元，现在把这些单位都去掉，你能说说什么是0.1吗？

生4：把一个整体平均分成10份，取其中的一份就是0.1。

师：你能说说什么是0.2、0.5、0.9吗？

生5：把一个整体平均分成10份，取其中的2份就是0.2，取其中的5份就是0.5，取其中的9份就是0.9。

师：通过刚才的观察，你发现了什么？

生6：10个0.1是1。

师：我们数着数着，就数到了分数和小数，那为什么不用整数来表示呢？

生7：因为用整数表示太大了，所以要用更小的数来表示事物的多少。

……

【设计意图】先介绍古人的结绳计数法，使学生对小数形成初步的认识；接着，利用日常生活中的实例，引导学生深入理解小数表示的具体数量；最后，进行抽象概括，向学生解释一位小数的含义，并强调“小数是对整数的细分，一位小数就是将一个整数平均分成10份，每份就是0.1”。这样教学，意在让学生对小数有更深入的理解，体会到小数在实际生活中的广泛应用。

2.借助平面图形，认识两位小数

师：同学们，数和形是一对好朋友。刚才我们借助线段等事物认识了一位小数，下面我们继续借助图形来认识更多的小数。如果老师想模仿古人在绳子上表示出0.06，要怎么表示？

生8：可以在绳子上打6个更小的结。

师：现在请同学们借助这个正方形，通过画一画、涂一涂的方式来认识更多的小数。

生9：我把这个正方形平均分成100份，取其中的一份，用小数表示是0.01。

师：你能结合具体事物来说一说吗？

生10：我把1元平均分成100份，一份就是1分，用小数表示是0.01元。

生11：我把一个正方形平均分成100份，取其中的3份就是0.03。

生12：我把一个正方形平均分成100份，取其中的15份就是0.15。

师：刚才同学们说的0.01，其实和哪个分数是一样的？

生13：0.01和[1100]是相等的。

师：如果在这个正方形中涂90格、99格、100格，你发现了什么？

……

【设计意图】首先，让学生模仿古人的结绳计数法，尝试用绳子表示出两位小数；接着，引导学生在一个正方形中通过涂色等操作来表示两位小数；最后，通过问题引导学生关注小数不同数位上的计数单位，为后续深入学习小数打下坚实的基础。这样教学，意在通过直观图形和实际操作，使学生深入理解两位小数的含义及其在数值表示中的应用。

3.通过立体图形，认识三位小数

师：同学们，我们借助一根绳子、一条线段、一个正方形认识了一位小数和两位小数。现在老师给大家提供一个正方体，你们能不能发现更多的小数？

生14：我把一个正方体平均分成1000份，取其中的一份是0.001。

生15：我把一个正方体平均分成1000份，取其中的123份是0.123。

生16：我把一个正方体平均分成1000份，取其中的999份是0.999。

师：如果老师在0.999的基础上再加上0.001，你有什么新的发现？

生17：1000个0.001就是1。

师：0.001其实和哪个分数是一样的？

生18：0.001和[11000]是相等的。

师：如果你是古人，你会怎么表示0.006？

生19：我会在一根绳子上打6个更小的结。

师：通过古人的结绳计数，你知道0.006的计数单位是什么？

生20：0.006的计数单位是0.001。

【设计意图】这一环节，先出示一个正方体，让学生自己探索并理解三位小数的含义；再引导学生交流和讨论，鼓励他们分享自己的发现和思考。这样教学，意在引导学生逐渐总结出三位小数的计数单位，明白三位小数不仅可以用来表示具体的数量，还可以用来进行精确的计算和比较。

4.沟通小数、整数和分数的联系，认识小数数位

师：为了帮助大家更好地理解小数，我们先来看一个小视频。（播放视频）通过这个小视频，你知道了什么？

生21：把一个整体平均分成10份，取其中的一份是0.1；把0.1平均分成10份，取其中的一份是0.01；把0.01平均分成10份，取其中的一份是0.001。1乘10是一个十，10乘10是一个百……

师：以1为基，向左看是满十进一，通过累加变得越来越大；向右看是一分为十，通过细分变得越来越小，这就是数学上的十进制，即相邻两个计数单位之间的进率都是10。

师：（出示小数数位顺序表）小数可以分成整数部分和小数部分，请你试着填写小数数位顺序表中的数位和计数单位。

生22：整数部分，从右往左的数位分别是个位（表示几个一）、十位（表示几个十）、百位（表示几个百）、千位（表示几个千）……小数部分，从左往右的数位分别是十分位（表示几个十分之一）、百分位（表示几个百分之一）、千分位（表示几个千分之一）……

师：我们通过一条线段、一个正方形、一个正方体等认识了小数的意义，现在你有什么收获？

生23：我知道了1里面有10个0.1，0.1里面有10个0.01，0.01里面有10个0.001……

生24：我知道小数是分数的另一种表示方式。

……

师：我们在一、二年级的时候学习了整数，在三年级的时候学习了分数，今天我们又研究了小数。通过今天的学习，我们发现整数、分数和小数之间有着密切的联系，它们其实是一家人。

【设计意图】这一环节，先播放小视频，沟通整数、小数和分数之间的联系；再放手让学生自己完成含有整数部分和小数部分的数位顺序表，并解释每一数位的含义和计数单位。这样教学，意在将学生对小数的认识拓展到带小数，让学生深刻体会到小数与整数在数位和计数法上的共通之处，即它们都遵循十进制计数法。

三、课后反思

这节课教学从数概念的一致性的角度出发，不仅让学生理解了古人的结绳计数，还帮助学生构建了一个完整、连贯的数概念体系。

1.体会数概念的一致性

在数学中，整数、分数和小数都是数的不同表现形式，它们之间存在着密切的联系。因此，教师在教学中注重将这些数的概念进行整合，能帮助学生建构一个清晰的、完整的知识网络。这节课，先通过引导学生回顾整数的概念，逐步引出小数的概念，再利用结绳计数法和正方形涂色操作等直观的教学手段，帮助学生理解小数是整数的细分，是数的另一种表示形式。在这个过程中，教师注重强调小数与整数在数位和计数法上的共通之处，使学生深刻体会到小数与整数的内在联系和一致性。

2.培养学生的探索精神

在这节课中，教师设计了一系列富有启发性和探究性的问题，引导学生主动思考、自主发现。如让学生模仿古人的结绳计数，表示出一位小数、两位小数和三位小数；在正方形涂色操作中思考“1里面有几个0.01”的问题，等等。这样的问题引导，既使学生掌握所学的数学知识，又培养了他们的思维能力和探索精神。

总之，数的概念不是孤立存在的，而是在旧知识的基础上生长出来的。因此，教师应从知识的源头处理好小数与整数在数位和计数法上的共通之处，引导学生感悟数概念的一致性，以深化学生对数学知识的理解，为他们后续的数学学习打下坚实的基础。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 吴汝萍.基于数概念的一致性，探索分数的意义：以《分数的初步认识》教学为例[J].河北教育（教学版），2023，61（12）：32-35.

[2] 章骏.把握数概念一致性  促进学习深度发生：《小数的意义》教学实践与思考[J].小学教学设计，2024（Z2）：95-97.

（责编 杜 华）