不同观测方式下平面折射成像的位置

摘   要：平面折射不能严格精确成像，在一定条件下可以近似成像，其像点应分为子午像和弧矢像。通过理论分析和实验验证表明，不同的观测方法会观测到不同的像，它们和观测者具有不同的相对位置关系。

关键词：平面折射；子午像；弧矢像；几何光学；光束单心性

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）1-0066-4

１    问题提出

平面折射不能严格精确成像，但若经过物点的光束发散角不大，可以近似成像。比如，进入人眼瞳孔的光束发散角很小，因此生活中也可以直接用眼睛观察水下物体、玻璃砖下物体等。当人眼在光疏介质不正对折射平面观察光密介质中的物点，像点相对于物点，离折射平面变浅还是变深了？离观察者变近还是变远了？对此，多篇参考文献通过理论分析和实验验证，得到不同结论，无法统一认识。

２    一种普遍的观点

参考文献［１］—［４］基本都采用相同的原理，即过物点作折射平面的法线，在该法线所在的某一平面（选为纸平面）内，作两条临近光线，其反向延长线的交点即为像点。这些文献推导方法不尽相同，但结论一致。本文也按此思路，给出一种简洁的推导。

建立如图１所示的坐标系，使ｘ轴在折射平面上，ｙ轴垂直于折射平面且过物点Ｓ。ｘ轴下方为介质，其折射率记为ｎ，ｘ轴上方折射率记为１。作两条相互靠近的光线（图中已夸大）分别由Ｂ点和Ｂ′点折射进入眼睛。

这表明，像点相对于物点“既变浅又变近”。

对于普通有机玻璃n=1.49，取y0=10.10 cm时，不同观测点看到的像点Ｓ′组成图２中的粗实线。可见，如果靠近折射面观察，像点“既变浅又变近”现象应当非常显明。

持这一观点的参考文献［１］—［４］跨度近三十年，作者来自中学、高等院校、研究机构等，可见此种观点具有一定的普遍性。“既变浅又变近”的观点在一些中学物理教材的插图中也有所体现，但考虑到这些教材没有定量讨论，定性插图未必能代表教材编者对本问题的慎重观点，故本文不作引用和评述。

３    子午像线和弧矢像线

参考文献［５］指出，光线在平面折射时，单心光束的单心性将被破坏。对于单心光线，只要作出任意两条光线的交点，就能确定所有其他光线都经过这个点。但对于非单心光线，必须考虑光线在空间的分布。

如图３所示，将图１绕ｙ轴转过一小角度，将原平面记为ｘ１ｙ平面，新平面记为ｘ2ｙ平面。相应的S'扩展成一小段圆弧S'1S'2，BB'扩展成一小块面积B1B'1B'2B2，经过Ｓ且在B1B'1B'2B2范围内折射的光线反向延长后不会交于同一点，而是既相交于S'1S'2之间的一小段直线上各点（称为子午像线），也相交于S''1S''2间的一小段直线上各点（称为弧矢像线）。若B1B'1B'2B2范围足够小，S'1S'2和S''1S''2分别近似为一点，不妨称为Ｓ的子午像和弧矢像，分别记为S'和S''。

当垂直于平面观察时，x=0，上式同样变为视深公式（7）。当不垂直于平面观察时，子午像S'“既变浅又变近”，而弧矢像S''“只变浅不变近”。那么，我们实际观察到的像究竟是哪一个像？究竟是“既变浅又变近”还是“只变浅不变近”？

４    实验及其结果

４．１    单眼观测

单眼观测时，进入眼睛的光线对应的折射区域B1B'1B'2B2很小，子午像S'和弧矢像S''都在这些光线的反向延长线上，单只眼睛难以确定像的远近。可以采用图４所示的装置，利用近视眼的远点和近点来帮助判断像的距离。

（１）将物点Ｓ置于玻璃砖下方靠近边缘处，通过玻璃砖上表面用单只近视裸眼观察，找到其像点。

（２）同时在玻璃砖处靠近Ｓ点竖直立一刻度尺，在玻璃砖外直接观察刻度尺上的刻度，找到与像点等高的刻度线。左右移动眼睛，使像点和等高刻度线可以同时被观察到。

（３）增大眼睛与像点和等高刻度线的距离，当等高刻度线刚要模糊的位置即为近视眼的远点，观察此时像点的清晰程度。

（４）减小眼睛与像点和等高刻度线的距离，当等高刻度线刚要模糊的位置即为近视眼的近点，观察此时像点的清晰程度。

实验发现，当等高刻度线处于远点时，像点依然清晰，需要继续远离一段距离，像点才变模糊。可见，单眼能观测到子午像S'。当等高刻度线处于近点时，像点亦刚要模糊，等高刻度线稍远于近点，等高刻度线和像亦同步变得清晰。可见，单眼也能观测到弧矢像S''。所以综合来讲，单眼观测既能观测到子午像S'，也能观测到弧矢像S''。其中，子午像S'“既变浅又变近”，弧矢像S''“只变浅不变近”，两个像是否变近的效应非常不显著。

４．２    双眼观测

为了更好地感知像的远近，可以采用双眼观测。当用双眼观测时，可将进入每一只眼睛的光线视为一细束，于是像点主要由两束光线确定。对于通常的实验装置，两眼距离较大，确定像点的两束光线不是非常临近，所以双眼的放置方位可能会影响观测结果。可按图５所示装置进行定量测定。

（１）用标记细丝选定一个折射位置，记录ｘ的数值。

（２）双眼水平放置，找到物点经上表面折射所成的像，并调节眼睛的位置，使像、标记细丝和双眼在同一平面内。

（３）左右移动双眼，使双眼可同时观察到像点和竖直可动刻度尺实物。

（４）前后移动竖直可动刻度尺，让像点刚好处于刻度尺实物边缘某刻度上，由该刻度记录像的纵坐标，由竖直刻度尺的水平位置记录像的横坐标。

（５）双眼上下放置，重新完成实验（２）—（４）步，其中第（２）步看清像点时，标记细丝变为两个平行的影像，可以让像点处于这两个影像的中点处。

结果如表１和图６所示。当双眼水平放置时，观测到的像点位置与弧矢像理论位置吻合，在图６中相对应标记点几乎完全重合。当双眼上下放置时，观测到的像点位置与子午像的理论位置符合得很好。

这个结果不难理解。如图７所示，对于水平折射面，双眼水平放置时，两束光线交于弧矢像S″处，即像点“只变浅不变近”。双眼上下放置时，两束光线交于子午像S′处，即像点“既变浅又变近”。需要说明的是，当双眼上下放置时，观察到的像点由两束离得较远的光线延长相交确定，并不是严格的由临近光线确定的子午像S′，实验中用平均折射位置对应的子午像S′理论值与观察结果基本吻合，该像点“既变浅又变近”的现象是非常明显的。

４．３    望远镜观测［７］

实验中的单眼或双眼还可以换为光学实验常用的望远镜。对于望远镜，进入镜筒的光线范围比进入单只眼睛的范围大很多，这时子午像和弧矢像扩展为子午像线和弧矢像线。调节望远镜的焦距，可以分别观测到子午像线和弧矢像线，结果如表２所示。

５    结  论

由上述实验可知，不同的观测手段得到的观测结果不同，无论是定性现象还是定量数据都和本文的理论分析符合得很好。在空气中观测介质中物点关于水平上表面折射成像的情况，如表３所示。近年来有很多关于这个问题的讨论，既有理论分析也有实验验证，在实验验证时往往没有明确实验的具体方法，尤其是观测方法，导致不同文献的结论完全不同［６，８-１０］。

参考文献：

［１］陈力．在光疏媒质中看到平面折射成像位置的讨论［Ｊ］．内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版），１９９１（１）：６２－６５．

［２］桂健生．光经平面界面折射成像的位置与观察者方位的关系［Ｊ］．物理教师，２０１０，３１（９）：４３－４４．

［３］顾敏敏，邱勤薇．平面折射成像究竟在哪儿？［Ｊ］．物理教师，２０１５，３６（３）：６０－６１，６４．

［４］易施光，罗志荣，张文杰，等．平面折射成像的定量描述［Ｊ］．玉林师范学院学报，２０１７，３８（２）：２３－２８．

［５］姚启钧，华东师大光学教材编写组．光学教程（第六版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９．

［６］郎军，董洪琼．平面界面折射成像位置的研究［Ｊ］．物理教师，２０１７，３８（２）：５８－６１．

［７］罗琬华，牟林西．观察子午象线和弧矢象线的实验［Ｊ］．大学物理，１９９６，15（９）：２4－25．

［８］孙红文．再探平面界面折射成像的位置［Ｊ］．物理教学探讨，２０１８，３６（１０）：５５－５６，５９．

［９］邵云．物点通过空气与水的界面折射成像的性质及位置特点分析［Ｊ］．首都师范大学学报（自然科学版），２０２０，４１（２）：１５－１９．

［１０］程靖龙．分析立体光路  找准水下物像［Ｊ］．物理通报，２０１８（２）：１０７－１０８，１１１．（栏目编辑    蒋小平）

收稿日期：２０２３－10－10

基金项目：江苏省教育科学“十四五”规划２０２１年度课题“新实验体系下物理课堂开展深度学习的实践研究”（Ｃ－ｃ／２０２１／０２／１５８）。

作者简介：李松（１９８５－），男，中学一级教师，主要从事高中物理课堂教学研究、教育信息化研究。