对楔形块受力情况的深入分析与拓展讨论

摘   要：对一道涉及力学平衡的题目进行分析，分别剖析六个楔形块搭建成的半圆形拱券两侧的受力不对称和两侧的受力对称时相邻楔形块之间的相互作用力，再对原拱券厚度充分小的情况进行了拓展讨论。

关键词：楔形块；拱券；平衡；相互作用力；圆弧重心

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）1-0073-4

原题 （2022—2023学年度第一学期常州市高三期中质量调研物理试卷第2题）拱券结构是古代工匠的一种创举。如图1所示，用六块相同的楔形块构成一个半圆形的拱券结构，每块楔形块的质量为m，重力加速度为g，则1和2之间的作用力为（     ）

这是一道与系统平衡有关的题目。能够看出，命题者欲通过对这个力学问题的解答，考查学生对物体受力分析等知识点的掌握情况和灵活运用物理知识解决相关实际问题的能力。

原题解析 如图2所示，将2，3，4，5这四块楔形块作为整体进行受力分析。设楔形块1和6对整体的正压力分别是F1和F6，由于对称，所以F1=F6，不妨设F1=F6=F，则有2Fsin60°= 4mg。

由上述分析可知，选此答案的前提条件至少应有：两边底座固定且其上表面粗糙，所有其余接触面平整、光滑。

1    两边受力不对称时，相邻楔形块之间的相互作用力不确定

该结构是左右对称的，但稳定后两边的受力却可以不对称。假设原来两边的受力对称，这时楔形块3和4之间只存在正压力，不存在相互作用的摩擦力；两边的底座对楔形块的支持力相等，都是3mg。在此基础上，假设对支撑楔形块6的底座施加一个竖直向上的作用力，使得它对楔形块6竖直向上的支持力大于3mg，不妨设增量为kmg。显然，在该增量不超过一定限度的条件下，系统仍可维持平衡。在各楔形块不发生相对滑动的情况下，楔形块3和4之间就存在相互作用的静摩擦力。跟原来两边受力对称的情形相比，相邻各楔形块之间的相互作用力大小和方向必然会发生改变。而且增量kmg的大小不同，相邻楔形块之间相互作用力大小的改变也不尽相同，但六块楔形块组成的系统却可以维持“原样”。所以，仅根据题目条件，无法确定各楔形块之间相互作用力的大小，当然也无法确定楔形块1和2之间作用力的大小。

需要说明的是，要使某个楔形块平衡，除了要满足该楔形块所受各力矢量和为零之外，还需满足楔形块所受各力力矩的矢量和为零。可以证明，当楔形块厚度比较小时，楔形块所受各力矩的矢量和不为零（后面有证明）。以下，我们均按楔形块比较厚的状况处理，所以，不再考虑力矩的矢量和。

2    即使两边受力对称，也无法确定楔形块1和2之间相互作用力的大小

假设该装置两边的受力是对称的，则楔形块3和4之间只存在正压力，不存在摩擦力。我们先分析楔形块3的受力情况。如图4所示，假设楔形块4对3的正压力为F，由于楔形块3的重力为mg，所以系统平衡时楔形块2对3水平向右的作用力为F，竖直向上的作用力为mg。

再分析楔形块2的受力情况。如图5所示，由牛顿第三定律可知，楔形块3对2存在竖直向下、大小为mg的分力和水平向左、大小为F的分力。因为楔形块2所受重力是mg，所以平衡时楔形块1对2存在水平向右、大小为F的分力和竖直向上、大小为2mg的分力，因此，只要楔形块3和4之间的作用力F的大小确定，楔形块1和2之间作用力的大小也就确定了。

那么，F的大小能够确定吗？我们对左边的三块楔形块作为整体进行受力分析。如图6所示，假设H是这个整体的重心（由于楔形块厚度的不同，整体的重心可能在楔形块2所在的空间内，也可能在楔形块2所在的空间之外），则整体重力相对于楔形块1底面左侧（或右侧）力矩的大小是确定的，而楔形块4对3作用力F等效作用点的位置却可以在它们的接触面AB上任意上下移动。压力F作用点位置不同，它相对楔形块1底面左侧（或右侧）力矩的大小便不相同。所以，系统平衡时，楔形块3和4之间的作用力F的大小是不确定的，所以楔形块1和2之间作用力的大小也无法确定。

3    对厚度充分小的六块楔形块搭建成平衡的半圆结构的拓展讨论

由前所述，正是因为各楔形块有一定的厚度，相邻楔形块之间相互作用力的分布情况无法确定，打破各楔形块的平衡状态，使其转动的“支点”也因其有一定的厚度可以随意变化，才使得楔形块1和2之间作用力的大小无法确定。那么，跟搭建的半圆形拱券的半径相比，如果楔形块的厚度充分小，达到远小于圆弧半径的程度，我们就可以不考虑楔形块的厚度了。这种情形下，问题是否就可以解决了呢？

拓展 某同学准备搭建一个半圆形拱券，为此，他先设计了搭建图纸，如图7所示。拟采用六块相同的楔形块搭建这个半圆形的拱券结构，若每块楔形块的质量为m，重力加速度为g，已知楔形块的厚度远小于拱券圆的半径，且系统平衡时两边受力对称，试问：

（1）按这样的图纸进行搭建，系统是否可以维持平衡？请说明理由。

（2）除了楔形块3和4之间保持自然搭建外，若将其余楔形块各连接点焊死，为维持系统平衡，求楔形块与底座之间动摩擦因数的取值范围。

分析 跟半圆拱券圆弧的半径相比，楔形块的厚度很小时，搭建成的拱券可以视为半圆弧了。为确定问题的答案，有必要先探讨质量分布均匀的圆弧在已知半径和圆心角的情况下（这样的圆弧，形状和大小是确定的）重心的位置。

如图8所示，质量分布均匀的圆弧AB的半径为R，圆心角为α，C是圆弧AB的中点，设圆弧的线密度为ρ。由于OC所在的直线是圆弧AB的对称轴，所以圆弧AB的重心一定在OC上，不妨设重心在M点。D是圆弧AB上的任意一点，设半径DO与垂直于OC的直径的夹角为x，以D为端点向上截取一段微元圆弧DE，该微元圆弧所对的圆心角为dx，设重心M到圆心O的距离为H。则有

图7所示的结构，是由六个楔形块叠加组合而成，所以只有当各楔形块所受各力的矢量和为零且相对任意一点所有各力力矩的矢量和也为零时，整个系统才能维持平衡。否则，有一个楔形块所受各力的矢量和不为零，或者所受各力力矩的矢量和不为零，整个系统都将无法维持平衡。

解析 （1）假设系统可以维持平衡，我们先看楔形块3和4之间的作用力大小。如图9所示，将楔形块1，2，3视为焊接在一起的整体，设楔形块4对3的作用力为F，圆弧AC的重心为P，由圆弧重心公式可得

再分析以D为支点时楔形块3在4对3的作用力和自身重力作用下能否维持平衡。设P为楔形块3的重心，过支点D作这两个力的作用线的垂线（即确定力臂），垂足分别为G和H，如图10所示。则有

可以看出，F·|DG|≠mg·|DH|。因此，楔形块3会按某个方向翻转而失去平衡。所以，按图7给出的图纸进行搭建，系统不可能维持平衡。

4    结  语

由以上分析可以看出，对于原题给出的这个力学平衡问题，若楔形块的厚度足够大，则六个楔形块搭建成一个半圆形的拱券是可以实现的，但系统平衡时无法确定相邻两个楔形块之间的作用力大小。而楔形块的厚度相对拱券圆弧半径非常小时，六个楔形块搭建成的半圆形拱券如果没有外力的作用，无法维持平衡。所以，无论是否考虑楔形块的厚度，原题这个力学问题都无法确定相邻两个楔形块之间的作用力大小。

参考文献：

［１］郜建辉．中学物理受力分析的原则与方法初探［Ｊ］．物理教学探讨，２０２１，39（１１）：５５－５９，６３．

［２］张海．圆弧重心位置的计算公式及其应用——一道静力学问题的再探究［Ｊ］．物理教学，２０２１，43（１）：７５，７４．

［３］茅云飞．一个静力学竞赛问题的另两种求解方法［Ｊ］．物理教师，２０２１，42（３）：７４－７５．

［４］赵秀霞．三种途径解决平衡类问题［Ｊ］．中学物理教学参考，２０２２，51（18）：６０－６１．

（栏目编辑    蒋小平）

收稿日期：2023-04-28

作者简介：王伟民（1964-），男，中学高级教师，主要从事中学物理教学研究。