2023年高考物理江苏卷第10题的分析与拓展
作者： 段石峰
收稿日期：2023-07-27
作者简介：段石峰（1992-），男，中学二级教师，主要从事高中物理教学研究。
摘 要：2023年高考物理江苏卷第10题以达·芬奇手稿中描述的一个实验为素材，考查轨迹图形中的相对运动，兼具思想的深度和立意的高度，是一道难得的好题。探讨了试题的教材溯源，并对试题进行定性和定量分析，用软件模拟演示图形，探究其中有益的启示，并对试题进行变式拓展。
关键词：运动轨迹；空间图形；相对运动；模拟演示
中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2024）3-0047-4
１ 试题分析
１．１ 试题呈现
达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则图１中能反映空中沙子排列的几何图形是（ ）
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Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
图1 漏沙空中排列图示
参考答案：Ｄ
１．２ 教材溯源
人教版课程标准实验教材必修１在“参考系”这一部分，为了说明选择不同的参考系来观察同一个物体的运动，其结果会有所不同，特地举了一个例子，并配了一幅插图。如图２所示，在沿直线匀速飞行的飞机上，人们以飞机做参考系，看到从飞机上落下的重物几乎是沿直线竖直下落的，而地面上的人以地面做参考系，看到物体是沿着曲线下落的［１］。
这是典型的“飞机投弹”模型，但这道高考题考查的角度与教材中说明的问题不同。教材中描述的是物体的运动轨迹，即一个物体在不同时刻所处位置的连线，相当于录制的一段“录像”，这与参考系的选择有关。而这道高考题考查的是物体在空中排列的几何图形，即多个物体在同一时刻所处位置的集合，相当于拍摄的一张“照片”，这与参考系的选择无关。
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图2 选择不同的参考系观察到的现象不同
１．３ 定性分析
罐子的加速度水平向右，以罐子为参考系，漏出的每粒沙子的初速度都为零，但有竖直向下的重力加速度和水平向左的加速度，因此相对加速度斜向左下方且为定值，所以每粒沙子都相对于罐子做初速度为零的匀加速直线运动，而所有沙子在任意时刻排列的形状与参考系的选择无关。由此可见，沙子在空中的排列形状取决于罐子的加速度，而不是罐子的速度。
１．４ 定量分析
方法一：分析任意一粒沙子与罐子的连线。
如图３所示，以任意一粒沙子刚漏出时的位置为原点Ｏ建立固定于地面的坐标系ｘＯｙ，设此时罐子和沙子的速度为ｖ０，罐子沿水平方向运动的加速度为ａ，沙子漏出后做平抛运动。
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图3 任意一粒沙子与罐子的连线
经过时间ｔ，罐子Ｐ和沙子Ｑ的位置坐标分别为
xP=v0t+■at2，yP=0
xQ=v0t，yQ=-■gt2
由此可得ＰＱ连线的斜率k=■=■为定值，与时间ｔ无关，即任意一粒沙子在任意时刻与罐子连线的斜率都相同，所以空中沙子排列的几何图形是一条斜向右上方的直线。
进一步，由罐子和沙子的位置坐标可求得ＰＱ的距离为
PQ=■=■■t2
由此可知，沙子相对于罐子做初速度为零的匀加速直线运动，水平方向和竖直方向加速度的分量分别为ａ和ｇ，合加速度大小为a'=■，方向与水平方向的夹角为θ，满足tanθ=■。
方法二：分析任意两粒沙子之间的连线。
如图4所示，以任意一粒沙子刚漏出时的位置为原点Ｏ建立固定于地面的坐标系ｘＯｙ，设此时罐子和沙子的速度为ｖ０，间隔时间Δｔ漏出的沙子，罐子和此时刚漏出的沙子的速度为ｖ０＋ａΔｔ。
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图4 任意两粒沙子之间的连线
经过时间t，两粒沙子Q1和Q2的位置坐标分别为
x1=v0t，y1=-■gt2
x2=v0Δｔ+■aΔt2+（v0+aΔt）（t-Δt）
y2=-■g（t-Δt）2
由此可得Q1Q2连线的斜率为定值k=■=■，与时间t和Δt无关，即任意两粒沙子在任意时刻的连线的斜率都相同，所以空中沙子排列的几何图形是一条斜向右上方的直线。
进一步，再间隔时间Δt漏出沙子Q3的位置坐标为
x3=v0·2Δｔ+■a（2Δt）2+（v0+a·2Δt）（t-2Δt）
y3=-■g（t-2Δt）2
可得Q1Q2的水平距离和竖直距离分别为
s1=x2-x1=atΔt-■aΔt2
h1=y2-y1=gtΔt-■gΔt2
Q2Q3的水平距离和竖直距离分别为
s2=x3-x2=atΔt-■aΔt2
h2=y3-y2=gtΔt-■gΔt2
所以，在两段相等时间Δt内，水平距离之差和竖直距离之差分别为
Δs=s2-s1=aΔt2
Δh=h2-h1=gΔt2
由此可知，沙子相对于罐子在水平方向和竖直方向都做匀加速直线运动，加速度分量分别为a和g，合加速度大小为a'=■，方向与水平方向的夹角为θ，满足tanθ=■。
方法三：分析任意两粒沙子的相对运动。
如图5所示，以第一粒沙子刚漏出时的位置为原点O建立固定于地面的坐标系xOy，设此时罐子和沙子的速度为v0，间隔时间Δt漏出的沙子，罐子和沙子的速度为v0＋aΔt。
经过时间t，两粒沙子Q1和Q2的水平速度和竖直速度分别为
v1x=v0，v1y=gt
v2x=v0+aΔt，v2y=g（t-Δt）
两粒沙子Q1和Q2的水平相对速度和竖直相对速度分别为
Δvx=v2x-v1x=aΔt
Δvy=v2y-v1y=-gΔt
由于Δvx和Δvy都为定值，与时间t无关，而Δt可以取任意值，表明任意两粒沙子相对做匀速直线运动。或者说，若以第一粒沙子为参考系，则后续所有的沙子都做匀速直线运动，水平分速度向右，竖直分速度向上，合速度斜向右上方。虽然漏出的所有沙子都在做平抛运动，但任意时刻所有沙子在空中的位置组成一条斜向上方的直线，并且这条直线在平行移动。
进一步，可以作出第一粒沙子的速度矢量图示，以及后续所有沙子漏出时相对于第一粒沙子的相对速度，如图5所示。从速度矢量图可以看出，任意两粒沙子的相对速度方向不变。
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图5 第一粒沙子的速度矢量图示
1.5 模拟演示
利用几何画板软件可以模拟演示图形，设罐子的初速度v0＝5 m/s，加速度a＝5 m/s2，重力加速度g＝10 m/s2。如图6所示，空中沙子排列的几何图形是一条斜向右上方的直线。
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图6 几何画板模拟演示空间轨迹图形
1.6 试题启示
由以上分析可知，漏出的每粒沙子运动轨迹与参考系的选择有关，相对于地面都做平抛运动，轨迹的形状为抛物线（曲线）。而漏出的所有沙子在空中排列的形状却是直线，而且与参考系的选择无关，这是为什么呢？
仔细分析发现，漏出的所有沙子在同一参考系中的运动形式是由完全相同的力学方式决定的，它们之间构成了空间关系，由于动力学原理是相同的，所以这个空间关系在另一个参考系中也是有效的。换句话说，如果一粒沙子在不同参考系中有不同的运动轨迹，而所有沙子都遵循相同的轨迹变换，可以想象所有沙子在同一时刻做同一变换，那么所有沙子的构型的每一个相应的点在同一时刻做了整体变换，它们的相对位置在整体的关系上并没有改变。
2 试题拓展
变式1：一架飞机在高空中由西向东沿水平方向做匀速直线运动，飞机每隔相同时间自由释放一个物体，共连续释放了6个物体（不计空气阻力）。图7是从地面某时刻观察到的6个空投物体的图像，其中正确的是（ ）
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A B
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C D
图7 空投物体空间分布图
参考答案：D
解析 飞机做匀速直线运动，每隔相同时间自由释放一个物体，物体在空中做平抛运动，水平方向与飞机有相同的速度，则释放后的物体落地前总在飞机的正下方；物体在竖直方向做自由落体运动，相等时间内的位移逐渐增大。所以，从地面观察到的6个物体的图像应在同一条竖直线上，且从上至下物体的间隔逐渐增大。本题定性分析即可，无须进行定量分析。
变式2：一架飞机在高空中由西向东沿水平方向做匀加速直线运动，飞机每隔相同时间自由释放一个物体，共连续释放了6个物体（不计空气阻力）。图8是从地面某时刻观察到的6个空投物体的图像，其中正确的是（ ）
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A B
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C D
图8 空投物体空间分布图
参考答案：A
解析 飞机每隔相同时间自由释放一个物体，物体在竖直方向做自由落体运动，从上至下物体之间的竖直距离逐渐增大；飞机做匀加速直线运动，物体释放时的速度逐渐增大，释放后在水平方向做匀速直线运动，从上至下物体之间的水平距离也逐渐增大。所以，从地面观察到的6个物体的图像应在同一条斜向右上方的直线上，且从上至下物体的间隔逐渐增大。本题与前文所述高考题如出一辙，同样可以采用三种方法严格地定量分析，此处不再赘述。
3 结束语
达·芬奇不仅是一位艺术家，还是一位科学巨匠。他开创使用观察、实验和推理的方式认识自然界，抛弃了宗教的偏见和迷信。由于他的重要思想大多数在生前都没有公之于众，导致人们只能根据他留下来的部分手稿，追踪这位举世罕见的“全能天才”［２］。江苏卷的这道高考题取材于达·芬奇的手稿，虽然只是对沙子漏出罐子后运动的描述和记录，但表明了他对探求事物真相的执着和敏锐的洞察力。他所崇尚的观察和实验的精神有助于科学的发展，成为伽利略创立近代科学的思想基础［３］。试题的背景素材、问题的价值取向，在落实物理核心素养方面具有积极的导向作用，有利于保持和培养学生的好奇心和求知欲，养成严谨的科学态度与责任。
参考文献：
［１］人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书物理必修１［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１０：１０．
［２］谢恩东．达·芬奇的物理生涯［Ｊ］．中学物理教学参考，２０１０，３９（４）：３９－４０．
［３］吴国盛．科学的历程（第二版）［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００２：１７３－１７５．
（栏目编辑 陈 洁）