对一道多物体机械能守恒习题错解的纠正与思考

收稿日期：2023-09-20

作者简介：罗金龙（2000-），男，黄冈师范学院 2020 级本科生，研究方向为中学物理教育教学研究。

摘   要：针对同一道习题学生给出的两种不同解法，对其中的错误解法进行详细分析与纠正，再根据刚体绕定轴转动的动能定理给出第三种解法，并将问题拓展，最后对高中物理的教学工作提出了一些建议。

关键词：机械能守恒；质心；转动；等效法

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）4-0066-3

在高中物理必修二“机械能守恒定律”这一章节的教学过程中，时常遇到由两个物体（质点）组成的系统满足机械能守恒的习题［１］，以竖直面内的杆球连接体为例，由于该模型的运动形态并非一维直线运动，而是二维平面内的转动，加之对多物体系统问题研究对象的选取有较大灵活性，因而解题方法多样。这导致部分学生在处理问题时“不小心”走出了高中知识的范畴，故而所得结果不同。

１    问题缘起

在习题课上，两个学生对同一道题分别给出了两种解法，所得结果截然不同，原题如下。

如图１所示，长为L的轻杆两端，各固定一个质量分别为2m和m的小球A和B（均可视为质点），B球与光滑转轴O之间相距■。杆在水平位置由静止释放后可在竖直平面内自由转动，不计空气阻力，重力加速度为g。求：

■

图1  原题附图

（1）小球A和B在运动过程中的速度大小之比；

（２）当A球运动到最低点时的速度大小；

（３）A球从开始到最低点过程中机械能的变化量。

本题第（１）问根据两小球发生同轴转动角速度时刻相等，即可得出两球速度大小之比等于其绕轴转动的半径之比；第（３）问则需在第（２）问的基础上求得。下面重点讨论两个学生对第（２）问给出的两种解答。

学生１：取两小球与轻杆组成的系统为研究对象，在杆发生转动的过程中，由于只有重力做功，所以系统的机械能守恒。设当A球运动到最低点时A球速度为vA，B球速度为vB，根据系统机械能守恒，A球减少的重力势能等于B球增加的重力势能与两球获得的动能之和，即

2mg■=mg■+■·2mv■■+■mv■■（１）

由第（１）问有vA=2vB，联立可解得vA=■■。

学生２：如图２所示，取两球的重心C作为研究对象，根据两球的质量关系可知重心的位置在距A球■处，即OC=■，此时将两小球的转动等效处理为质心C绕轴转动。设A球运动到最低点时质心C的速度为vC，根据机械能守恒定律有

3mg■=■·3mv■■（２）

解得v■=■，又因为vC=■ω，vA=■ω，所以vA=2v■=■■。

由以上过程可以看出两个学生的解法所得结果并不相同。问题出在何处？又应如何对学生作出解释？

■

图2  小球质心等效示意图

２    问题分析与解答

我们仔细对比（１）（２）式不难发现，A和B两球总重力势能的减少量与等效后质心C重力势能的减少量相同，而A和B两球增加的总动能E■+E■=■·2m（■Lω）2+■m（■Lω）2=■mL2ω2，质心C增加的动能E■=■·3m（■Lω）2=■mL2ω2，显然质心增加的动能小于两球增加的总动能。其中的原因在于，学生２给出的解法中直接将质心的动能视为系统的动能，不经意间走入了多物体系统动能表示方法的误区。

在中学阶段，我们经常接触的多物体系统一般情况都可视作一个质点组，又由于高中物理涉及到的模型中物体的运动状态多为平动，而在平动的情况下质点组可等效为一个质点处理，即此时质点组的动能可视为将其质量集中在其内部任何一点时的动能。根据柯尼希定理“质点组的动能等于质心的动能与各质点相对质心的动能之和”，在平动情况下，各质点相对于质心的动能为零，质点组的动能便可直接由质心的动能来表示。然而，如果涉及到转动问题，各个质点相对于质心的动能便不再为零，就不能直接进行等效处理。学生２在解答过程中犯了一个“隐蔽”的错误。

经过以上分析，在学生２给出的解法中，系统重力势能的变化量可以由质心的重力势能变化量来表示；但由于A和B两球相对于质心发生了转动，系统的动能就不能直接用质心的动能来表示了。根据柯尼希定理，（２）式的正确列式应为

3mg■=■·3m（■Lω）2+■·2m（■Lω）2+

■m（■Lω）2（３）

（３）式右边第一项为质心的动能，第二项为A球相对于质心的动能，第三项为B球相对于质心的动能。由（３）式可解得ω=■，所以A球运动至最低点时的速度大小vA=■Lω=■■。

可以看出，当我们在学生２的解法中加上两球相对质心的转动动能后，所得结果便与学生１的相同了。

３    问题拓展

当用质心等效法求解小球速度时，根据柯尼希定理需要考虑两球相对于质心的动能，学生容易犯下“隐蔽”的错误，那么是否还有其他方法？实际上，本题也可视作大学物理中刚体转动的问题［２］，可根据刚体绕定轴转动的动能定理来求解。

A球绕转轴O的转动惯量J1=2m（■L）2=■mL2，B球绕转轴O的转动惯量J2=m（■L）2=■mL2。由于不考虑杆的质量，且杆在转动过程中只有重力对小球做功，由刚体绕定轴转动的动能定理有3mg■=■J1ω2+■J2ω2，解得A 球运动至最低点时角速度ω =■，即vA=■Lω=■■，与学生1的结果一致。

在中学阶段，遇到杆、绳等一类物体一般不考虑其质量，其作用仅限于使物体之间发生相互作用。于是，会有学生产生疑问：若本题中考虑杆的质量，则球的速度又应如何求解？对于这个问题，我们同样可以根据柯尼希定理由质心等效法进行处理，但由于要先找到质心位置，并表示出各部分相对质心的转动动能，明显质心等效法在此情境下略显麻烦，所以若用刚体转动的动能定理进行处理将会简洁一些。

不妨设长为L的杆的质量为m且质量分布均匀，取其线密度为λ，故杆绕转轴O的转动惯量J3=■r2dm=■λr2dr=■λL3=■mL2。如图３所示，杆的重心C'在距O点■处，由刚体转动动能定理有3mg■+mg■=■J1ω' 2+■J2ω' 2+■J3ω' 2，解得ω'=■，即得到当匀质杆的质量为m时A球运动到最低点的速度为v'■=■Lω'=■■。值得注意的是，当杆的质量不同时，其转动惯量J3也不同，所求的球速度会发生相应变化。

■

图3   质心等效示意图

４    总结与思考

通过上文的论述，得出了学生２的解法错误的原因所在。显然，对于高中生而言（下转第70页）（上接第67页）只能采用学生１的解法进行定量计算。而作为教师，在考虑学生知识基础的前提下，应充分发挥教学机智，将学生的错误有效地转化为教学资源，适当地把柯尼希定理与刚体绕定轴转动的动能定理等内容作为课堂上的知识拓展或对问题的定性说明。如此既能打消学生现阶段心中的疑惑，也能激发学生探索广阔物理世界的好奇心。这也顺应了在新高考改革的大背景下，高中物理教师要改变“高考考什么，教师就只教什么，学生就只学什么”的观念，在教学中应适当进行拓展，不断开阔学生的视野，激发学生的求知欲，为高校人才培养与学生的长远发展奠定良好的基础［３］，以实际行动为我国大、中学物理教育衔接工作贡献一份绵薄之力。

参考文献：

［１］人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心．普通高中教科书物理必修第二册［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９．

［２］马文蔚，周雨青，解希顺．物理学（上册）（第七版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０２０：１２７－１３１．

［３］曹海霞．浅谈大学物理与中学物理教学的有效衔接［Ｊ］．物理教师，２０２１，４２（１０）：２５－２９．

（栏目编辑    蒋小平）