核心素养背景下的数学建模教学探究

［摘 要］ 在新课程标准（2022年版）建设背景下，培养学生核心素养关键在于“三个会用”，这就要求教师不仅注重数学知识的讲解，更要培养学生对数学知识的应用能力和模型意识。数学建模不仅能够促进学生在学习中体会数学的应用价值，而且有助于模型意识、创新意识的提升。基于此，从七个方面阐释了数学建模的一般步骤，继而提出了相应的数学模型建模策略，从而增强学生的模型意识，积累数学建模经验，促进学生初等建模能力的持续发展。

［关键词］ 数学建模；核心素养；教学策略

［基金项目］ 2018年度山东省高等学校教学改革（重点）项目“专业认证视角下的数学师范专业‘四四四四’人才培养模式研究与实践”（Z2018X096）；2020年度教师教育专项课题“深度教学理念下的中学数学课堂教学改革与实践”（JY-01-202002）

［作者简介］ 国忠金（1977—），男，山东新泰人，哲学博士，泰山学院数学与统计学院教授，聊城大学数学科学学院硕士生导师，主要从事数学教育、应用数学研究；付 侃（1997—），男，山东招远人，聊城大学数学科学学院2020级教育硕士研究生，研究方向为学科教学（数学）；孙 丹（1980—），女，辽宁抚顺人，学士，泰山学院数学与统计学院讲师，主要从事数学教育研究。

［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2023）15-0145-04 ［收稿日期］ 2022-06-02

引言

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确提出：数学课程培养学生核心素养主要表现在会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界（简称“三个会用”）［1］，这就要求数学课堂教学应溯源问题、探究问题、解决问题，逐步养成从数学角度观察、表达、探究和解释现实世界的习惯，发展学生的模型意识、创新意识，促进跨学科主题学习，感受数学应用的普遍性。数学建模就是针对客观世界中的现实问题、实际问题、热点问题进行分析、假设、简化、提炼等，根据现有物理、化学等定律或统计数据背后隐含的变化规律建立变量和变量之间的数学关系或图表关系等，即数学模型，然后利用解析方法、近似解析法、数值仿真法等求解数学模型，继而解释、验证、分析求解结果，通过验证、分析之后反馈于实际问题，解释和解决实际问题，最后，将问题模型进一步推广作为一般模型用于解决更广泛的类似问题的过程。近年来，基于核心素养的数学建模能力研究引起了众多学者的关注［2，5-6］。诸如：刘海霞［2］立足生活实例，从建模思维、建模意识、建模能力三个层面探索了培养学生数学建模能力的策略；杨琼红［3］从初中数学建模的教学内容选取、建模能力发展目标划分等层面探索了初中数学建模能力培养的实践研究；陆雪［4］探索了核心素养理念下高中数学建模的策略等。本文将侧重探索数学建模的一般步骤，通过初等函数、数列问题实证阐释数学建模的全过程，继而探索初等建模教学策略。本文将侧重探索数学建模的一般步骤，继而给出初等建模教学策略。

一、数学建模的一般步骤

数学建模就是依据实际问题背景，综合运用相关知识、数学理论、方法与计算机软件等工具来处理、分析和解决实际问题，以及建立数学模型的全过程。大致来说，数学建模过程包括问题表述、问题假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型检验等阶段。第一阶段主要是依据问题背景和问题信息，将具体问题简化转换成一般的数学问题，继而通过数学语言准确地表述出来。第二阶段主要是选用适当的数学方法和数学求解工具计算和表述数学模型的解答。第三阶段主要是指将数学语言的解答反馈到实际问题，分析实际问题解决方案和结论，继而解释现实世界。第四阶段主要是指用现实对象的信息检验模型的结果，以确认结果是否合理、有效、符合实际。

建立数学模型并没有固定的模式，其一般步骤流程如图1所示。

（一）模型准备

首先要根据所给问题，搜集相关背景知识、了解问题的实际背景、明确建模的要求和目的、梳理和整合问题对象的各种信息，如数据、规律、原理、现象、机理等，通过查阅资料，梳理和分析研究问题的重要信息和特征，尽量对问题有较为清晰的了解，继而初步确定实际问题建模的方向和需要解决的问题隐含的本质特征，做好建模前的模型准备工作，继而形成一个比较清晰的“问题”。

（二）模型假设

根据实际问题的表征特征和问题解决的目的，对实际问题合理、有效地进行问题与数学间折中简化，并做出合理的问题假设。一般地说，现实世界中的实际问题若不经过问题模型简化就很难翻译转换成一个数学问题。数学建模的关键要抓住问题的核心和主要矛盾，揭示事物和现象内在的数量规律。不同的问题假设就会建立不同的模型，问题假设做得过于简单和存在与现实世界的不贴合，或将导致所构建的模型脱离现实世界的问题，如果假设做得过于详尽和全面，试图把问题背景的各种情形和细枝末节因素都纳入模型的话，或将导致模型无法有效建立。通常，问题假设的依据一是出于对问题本身所要求解决的结论和问题内在隐含的变量规律；二是来自对问题数据或问题内部机理和现象的分析，也可以是二者的综合。模型假设既要综合运用与问题相关的自然、工程、社科、管理等领域背景知识，又要充分发挥问题自身隐含的各类关系、内部机理等，抓住问题主要因素和关键指标，在合理与简化之间做出折中。

（三）模型建立

根据前述所给出的模型假设分析问题对象的因果关系和内部机理，以建模为解决问题的目标，充分利用问题对象所隐含的内在规律，采用适当的数学工具，建立起问题中相关量或指标因素的内在数学规律和机理，模型可以是数学表达式、描述图形、数据表格、迭代算法或其他数学结构。通常情况下，建模的目的可以是描述或解释现实世界的现象，也可以是根据现有数据特征预测问题未来的发展趋势，还可以是为了优化管理、系统决策或控制做出的对策等。对于现实世界中的复杂问题，往往需要综合运用不同学科知识、不同解决方法和各类工具来建立数学模型，才能够很好地解决问题。模型建立时还应尽量采取简单的数学工具，有效合理地解决现实问题，以便使更多人能够了解和使用。

（四）模型求解

数学模型求解可以由不同的数学知识和方法来解决，模型的类型和复杂特征将会导致问题解决的难易程度也不同。通常情况下，对较简单、初等的问题模型应力求普适性和一般性，对较复杂的问题，可采用从特殊到一般、简单到复杂的求解思路和过程来完成。数学模型的求解通常涉及不同数学分支理论及相关交叉学科的知识和方法，因此，针对不同的问题模型，除了掌握一定的数学理论知识和求解方法外，还需具备针对实际问题学习新知识、建立问题内部机理模型的能力。同时，还应具备掌握几种数学数值求解迭代优化算法和熟练的计算机编程能力等。

（五）模型分析

对所求模型的解，必须要对解的现实意义进行分析，有时需要根据问题的特征和要求，分析模型解之间的内部机理和稳态解的发展历程，有时需要根据问题求解的结果做出进一步的预测和推断，有时需要根据求解结果进一步推广和延伸给出一般的模型评价，有时需要进行模型的误差分析和灵敏度分析等。

（六）模型检验

模型求解后需要将求解结果反馈回实际问题，并与实际问题中的数据、描述的现象及特征进行对比，由此检验模型的合理性、适用性和有效性，若检验结果不符合实际问题本质特征，模型需要回到建模之初，修改、假设、简化、分析，继而重新建立模型，有时针对某些实际问题的建模过程可能需要经过几次反复修正、建模、求解、分析和检验，直到检验结果在某种程度上适应和符合实际问题特征。因此，模型检验对数学建模过程至关重要，有利于模型的修正和完善，提升数学模型与实际问题的贴合度。

（七）模型应用

数学模型的应用取决于所建立问题模型的普适性和可推广性。针对问题建立的模型及求解结果，只有应用到实际问题中得到检验后，才能被证明其正确性，直到经过实际的检验才可用于实际，并可做适当的应用推广。

值得注意的是，上述建立模型的过程并不是那么严格，各步骤之间并没有严格的界限。针对实际问题的数学建模过程，不拘泥于形式，而是根据研究对象和建模目的灵活探索，侧重按照实际问题分析进行机理性建模的推导过程，最终得到解决实际问题的科学性、普适性模型和方法。

二、初等数学建模教学策略

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的新要求，数学课程教学将以核心素养为导向，由以记忆、理解为出发点的教学转向以问题解决为出发点的教学，以先学后用为特征的能力培养观念转向以做中学、用中学为导向的能力培养模式。数学课堂教学也将转向让学生感受分析、解释、检验真实问题的过程。数学建模是将问题数学化，建立适当的模型，继而通过求解、解释、检验，最终将问题解决的能力。因此，数学课堂教学中，教师应将数学知识与实际问题相联系，通过情景导入、知识联想、问题转化等途径渗透数学模型形成的过程，培养学生的模型意识、创新意识，提升利用数学解决实际问题的能力。

（一）立足教材，重视建模关键教学内容的价值

当前的数学教材对数学模型都有着很好的渗透和嵌入，诸如：数学知识模块的前言内容都阐释了数学知识在实际问题中的应用及知识间的联系。作为教师，一方面，应重视数学应用价值的导入，并在知识讲解中有效渗透解决问题的思想；另一方面，应重视简单实际问题背景的教学价值，研究和归纳各个教学内容中隐含的典型模型，立足于教材，重视建模的教学内容。

（二）丰富认知，提升问题转化能力

将实际问题简化、提炼、转化为数学问题是数学模型建立的前提。实际问题的背景学习和理解过程是学生锻炼数学逻辑思维和信息加工的过程。作为教师，一方面，应在知识讲授前主动了解和学习实际问题背景知识，丰富多学科知识；另一方面，了解问题背景，教师应建立大单元教学理念，通过梳理信息，建立问题转化意识，将实际问题简化、提炼、归纳为当前学习的数学知识，提升问题转化能力。

（三）理解模型，增强模型意识

数学课程标准所要求的知识体系中包含了函数、不等式、方程、概率等基本初等模型内容，了解模型含义，理解模型作用和适用的范围、条件是数学建模的关键。作为教师，一方面，教学过程中应主动引导学生关注蕴含模型信息的关键内容；另一方面，遵循学生认知规律，充分考虑学生已有模型的积累，理解模型后将模型指向清晰简单的问题进行适当变式，让学生在分析问题的过程中选择模型，增强模型意识。

（四）应用模型，展示数学问题解决的过程

多角度多层面思考问题、分析问题隐含的数学本源是数学建模思想培养的出发点，也是数学建模的前提。作为教师，一方面，教师应主动为学生导入模型思想，有意识地将模型思想渗透到解决实际问题中，将解决问题的全过程展现给学生，让学生主动接受并学习建模思想，培养一定的模型意识；另一方面，教学过程中应主动为学生灌输建模机理分析方法，通过建模分析过程的展现来提升学生思考和解决实际问题的能力。

（五）反思笃行，强化项目化、探究式教学实施

模型意识的培养是一个长期积累、循序渐进、由简到繁的过程，数学学习中的归纳、反思、总结是数学建模意识建立的基础。作为教师，一方面，教学过程中应强化项目化、探究式教学模式的实施，通过探究形成思维和模型；另一方面，在探究建模过程中，注重教学中角色的转变，主动参与到学生问题讨论中，并积极地启发、引导学生与相关知识内容方法相联系，通过反思，形成思维和模型。

综上，数学建模能力的培养对数学学科核心素养与创新素养培养有着重要的价值，要使学生的建模能力得到有效发展，在课堂教学中就应立足于教材，重视数学建模的关键教学内容的价值。教师要不断地给学生创造建模的机会，引导学生主动思考问题、探究问题，亲历解决数学问题的全过程，培养建模能力，进而学会用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界，形成良好的核心素养。

参考文献