基于数学对象研究套路的教学活动设计探究

摘    要：数学知识有着自身的发生发展规律，数学对象的研究有着特殊的套路，即“背景—概念—性质—结构—应用”.按照数学对象的研究套路创设问题情境，设计系列化的教学活动，符合数学知识发生发展的内在逻辑和学生的心理逻辑，能帮助学生厘清知识的来龙去脉，建立知识间的关联，加深对数学的理解，从而学会学习，提升数学核心素养.具体教学中，教师可围绕“立足认知基础，追根溯源，厘清知识产生来路”“创设合适情境，抽象概括，获得数学对象及其概念”“剖析数学对象，逻辑思考，获得重要的数学性质”“设计典型例题，分析解决，体现数学对象的应用价值”四个方面进行设计.

关键词：数学对象；研究套路；教学活动设计；高中数学

数学研究对象多种多样，但研究的内容、过程和方法是一脉相承的，正所谓“研究对象在变，研究套路不变，思想方法不变”［1］.章建跃对“函数”“几何”“向量”“概率”各条主线的研究路径进行了归纳，指出它们的基本要点都是：背景（现实世界中的一类现象）—概念（研究对象）—性质（要素、相关要素之间的关系、变化规律等）—结构（相关知识的联系）—应用［2］.此研究路径体现了数学知识的发生发展过程，符合学生的认知规律，也是数学对象的研究套路.

核心素养导向的数学教学要做到“两个过程”的合理性，即从数学知识发生发展过程的合理性、学生认知过程的合理性上加强思考，这是落实数学核心素养的关键点［3］.“两个过程”的合理性是实现数学知识自然生成的前提，依据数学对象的研究套路组织教学，就是这种合理性在教学中的具体体现.可见，以数学对象的研究套路为指导设计教学活动，能实现知识的自然生成，促进学生学会学习和对数学的理解，从而提升数学核心素养.下面，笔者以“条件概率”为例，阐述基于数学对象研究套路的教学活动设计路径.

一、基于数学对象研究套路的教学内容解析

“条件概率”是人教A版普通高中教科书《数学》选择性必修第三册（以下简称“《数学·选必三》”）第七章第一节中的内容，主要介绍了条件概率的概念、条件概率与随机事件独立性的关系、概率的乘法公式、条件概率的性质及应用.由条件概率概念导出的乘法公式是积事件概率求法的推广，乘法公式和条件概率的性质是全概率公式和贝叶斯公式的推导依据.这些公式丰富了概率的运算法则，为计算复杂事件的概率提供了有力的工具.为全面了解该教学内容，笔者从背景、概念、性质、结构、应用五个方面对其进行解析.

（一）背景

该教学内容是在学生掌握了必修课程中关于概率的知识技能、思想方法、活动经验的基础上，对两个不相互独立随机事件积事件概率的深入研究.对该内容进行教学所需的预备知识为：概率的基本性质、相互独立随机事件积事件概率.该教学内容的实际背景是：实际生活中，已知某一事件发生的前提下，另一事件发生的概率大小.

（二）概念

该教学内容中的重要概念为条件概率，其形成需经历四个过程：类比和事件概率的基本性质，运用推广的思维方式，明确研究“两个不相互独立随机事件同时发生概率”的必要性和可能性；通过分析一类实际问题，抽象出条件概率就是“事件[A]发生的前提下，事件[B]发生的概率”，发展数学抽象核心素养；结合古典概型，通过列举试验的样本空间，解决实际问题，比较有、无附加条件时的概率，获得计算条件概率的本质就是“在缩小的样本空间上计算事件的概率”；将解决问题过程中形成的结论推广到一般的古典概型，形成条件概率概念.

（三）性质

通过联系、类比、特殊化等思维方式，探究条件概率的性质，发展逻辑推理核心素养.在该教学内容中，条件概率的性质主要包含三个方面：条件概率与随机事件独立性的关系；乘法公式；条件概率具有的概率基本性质.

（四）结构

概率乘法公式与条件概率公式的关系、条件概率与随机事件独立性的关系、条件概率与一般概率的关系，三者都体现了相关知识之间的联系，属于数学对象研究套路中的“结构”.

（五）应用

该教学内容安排了3个例题，均以现实情境为载体，围绕条件概率的求法、乘法公式和条件概率性质的应用等方面设置问题.教学中，教师要注意引导学生采用分解与综合、化难为易等方法，解决复杂事件的概率问题，形成转化的数学思想，发展数学运算和数学建模核心素养.

二、基于数学对象研究套路的教学活动设计路径

数学知识有着自身的发生发展规律，数学对象的研究有着特殊的套路，即“背景—概念—性质—结构—应用”.理解了数学对象的研究套路，我们就能更好地设计教学.在实际教学中，笔者遵从《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对“条件概率”的教学要求，根据上述教学内容解析，从以下四个方面展开基于数学对象研究套路的教学活动设计.

（一）立足认知基础，追根溯源，厘清知识产生来路

数学是自然的，从数学知识发生发展规律上说，数学教学中的新知识都需要学生在已有的认知基础上，运用结构性、一致性、连贯性的数学思维，进行系统性、普适性的数学思考而产生.数学教学要立足于学生的认知基础，在数学知识产生的链条上提出合适的数学问题.这些问题既是激发学生学习兴趣的催化剂，也是数学知识发生发展的助推器.通过对这些问题进行思考和分析，追根溯源，学生就能厘清知识的产生来路.

依据以上思考，在教学此内容的伊始，笔者提出如下数学问题.

问题1：在必修第二册，我们已经学过概率的基本性质，请大家回忆一下概率有哪些基本性质？

追问1：性质3“如果事件[A]与事件[B]互斥，那么[P（A⋃B）=P（A）+P（B）]”与性质6“设[A]，[B]是一个随机试验中的两个事件，我们有[P（A⋃B）=P（A）+P（B）-P（A⋂B）]”是概率的两个非常重要的运算性质，它们之间有着怎样的关系？

追问2：对于结论“如果事件[A]与事件[B]相互独立，那么[P（AB）=P（A）P（B）]”，你有怎样的思考？

设计意图：问题1让学生回顾已学的概率知识，旨在为后续的求解概率问题作铺垫.由于条件概率仅仅是缩小了样本空间，所以条件概率同样具有概率的性质，问题1的设置也是为条件概率性质的探究提供一个依据和方向.追问1旨在让学生明白两个性质之间是一种特殊与一般的关系，为追问2的思考提供一种思路.学生对追问2的思考结果可能有很多种，但类比追问1，学生不难提出问题“当事件[A]与事件[B]不独立时，如何求[P（AB）]”，进而形成该教学内容的核心问题，这也是新知识能产生的根源.

（二）创设合适情境，抽象概括，获得数学对象及其概念

通过具体情境，让学生经历完整的抽象过程，概括出一类事物在数或形上的本质特征，并用精确的数学语言（包括文字语言、符号语言、图形语言等）加以定义和表示，进而获得数学研究对象，既是每一章的首要学习任务，又是后续学习的必备基础，并且也是培养学生数学核心素养的重要契机［4］.这里的情境包括数学情境、现实情境和科学情境，它是数学对象及其概念的获取根源，也是数学核心素养发展的基石.在教学中，教师可从以下三个方面创设情境、提出问题，引导学生解决问题，进而建立条件概率概念.

1.设计数学情境，提出问题，明确探究内容和方向

数学是讲道理的，引导学生探究任何一个数学对象之前，都要通过情境与问题，帮助他们明确探究内容和方向，知道“探究什么”“怎么探究”“为什么可以这样探究”，这样的探究才是高效且有价值的.

问题2：由前面的复习回顾我们知道，性质3中的前提条件是“事件[A]与事件[B]互斥”，如果去掉这个前提条件，就意味着事件[A]与事件[B]有可能同时发生，事件[A]与事件[B]同时发生的概率[P（AB）]就会对[P（A⋃B）]产生影响，具体影响可见性质6.同样，在追问2中，如果去掉“事件[A]与事件[B]相互独立”这个前提条件，就意味着什么？它对[P（AB）]会有怎样的影响？

设计意图：问题2可引导学生先认识到，“对于一般事件[A]和事件[B]，若要求[P（AB）]，先要考虑‘在事件[A]发生的前提下，事件[B]发生的概率’或‘在事件[B]发生的前提下，事件[A]发生的概率’”，从而明确“探究什么”和“怎么探究”.继而引导学生思考性质3向性质6的推广过程，明白去掉条件“事件[A]与事件[B]互斥”就意味着“事件[A]与事件[B]有可能同时发生”，进而得到“[P（AB）]肯定会对[P（A⋃B）] 产生影响”的结论.类比这样的思考方式，对于追问2中，去掉条件“事件[A]与事件[B]相互独立”，就意味着“事件[A]发生将影响到事件[B]的发生”或“事件[B]发生将影响到事件[A]的发生”，学生容易获得 “‘在事件[A]发生的前提下，事件[B]发生的概率’或‘在事件[B]发生的前提下，事件[A]发生的概率’会对[P（AB）]产生影响”的结论，从而明确“为什么可以这样探究”.引导学生解决这样的问题，既能培养学生的合情推理能力，发展其逻辑推理核心素养，也能顺理成章地引出下面问题3中的两个实际问题，体现数学的自然性.

2.设计现实情境，归纳共性，初步概括概念和本质

数学是一门抽象的学科，只有将数学对象融入合适的情境尤其是现实情境中，才能让学生体会到数学的应用价值，激发其学习兴趣.由此，对数学对象及其概念，学生就能“看得着”“抓得住”“理解得了”.

问题3：由问题2我们知道，事件[A]发生的条件下，事件[B]发生（或事件[B]发生的条件下，事件[A]发生）的概率会对[P（AB）]产生影响，至于如何影响，请思考并解决课本上的问题1第2小问（班级学生中，已知选到的是团员，那么选到男生的概率问题）和问题2第2小问（已知两孩家庭有女孩，那么两孩均为女孩的概率问题）（注：这两个问题见《数学·选必三》第44～45页）.

设计意图：问题3中的两个实例问题源于教材，虽然情境不同，但所求的“如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少”和“如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率是多少”两个问题，从数学本质上来说，都是求“在事件[A]发生的前提下，事件[B]发生的概率”，可引导学生透过现象看本质，从实际背景中初步抽象概括出条件概率的概念并表示为[P（B | A）]，发展数学抽象核心素养.

3.推广已有结论，变形转化，完善并建立数学概念

依据有限个现实情境和问题，抽象概括出来的数学对象及其概念，不一定具有一般性，需要对其适用范围进行界定，对其内涵进行完善.这是数学概念建立过程中必不可少的一步，因为经过推广、完善后的数学概念，能够更好地反映数学对象的本质属性.同时，经历推广、完善的过程，更有利于学生对概念的理解和把握.

设计意图：问题4旨在引导学生将由具体情境所获得的结论进一步推广，体会用数学方式认识事物和处理问题.引导学生用韦恩图进行说明，目的是让学生体会用集合的知识研究随机事件的重要方法，渗透数形结合思想，发展几何直观核心素养.

（三）剖析数学对象，逻辑思考，获得重要的数学性质

数学性质是数学对象的内在规律性，它是运用数学知识解决问题的重要工具.数学性质可以从不同层次上表现出来：首先是所界定的对象中要素间的关系；其次是概念间的联系；再次是与其他知识的联系（结构化）［5］.依据以上分析，条件概率的性质可从以下三个角度设置问题进行探究.

1.立足概念本身，探究数学对象性质

数学概念反映的是数学对象的本质属性，必然蕴含数学对象的要素，探究这些要素间的关系，是获得数学对象性质的重要渠道之一.

追问4：设[A]，[B]是一个随机试验中的两个事件，[P（A）>0]，根据问题5的结论，对追问1中“[P（A⋃B）=P（A）+P（B）-P（A⋂B）]”的这个公式可作如何推广？