数学解题教学应向“多想少算”转型

摘    要：“多想少算”理念倡导深度思考、减少机械计算，对提高解题效率、培养深度思维能力、激发创新精神具有重要意义.针对当前数学解题教学中“高密度、大容量、快节奏”的现象，教师需要顺应学生思维的发展，让教学“慢下来”，给学生足够的思考时间.教师还要为学生创造试错的机会，构建支持性学习环境，让学生经历算法优化的过程，培养学生的理性思维、批判性思维和创新能力.

关键词：多想少算；数学解题教学；高考数学新课标Ⅰ卷

在“多想少算”这一命题理念的指导下，2024年高考数学新课标Ⅰ卷（以下简称“新课标Ⅰ卷”）中的题量由原先的22题减少至19题.这一调整旨在促进学生在解题时进行深入的思考和广泛的联想，鼓励他们大胆地进行猜想和创造性的想象，同时减少对复杂计算的依赖.试题着重考查学生的理性思维和探究能力，旨在引导学生从传统的解题套路和模板中走出来.但纵观当前的数学解题教学，解题技巧的训练依旧是主旋律.例如，过分强调对公式和结论的记忆，以模仿和重复为主方法来训练，在解题导向上一味追求速度等.这不仅与“多想少算”理念不符，还直接影响学生考试的临场发挥.同时，虽然新课标Ⅰ卷中相应增加了基础题的比例、降低了初始题的起点，但还是有很多考生反映试题运算量大、结果算不出，其主要原因就是没有多想（或不会多想）有没有更好的算法，从而导致运算过程烦琐.因此，数学解题教学亟须向“多想少算”转型，以适应新高考的命题导向.

一、“多想少算”对数学解题的意义

“多想少算”理念倡导深度思考、减少机械计算，强调在数学解题过程中，学生应通过深入分析问题本质，运用创造性思维和逻辑推理，而非仅仅依赖公式和算法.这一理念重在培养学生的理性思维、批判性思维和创新能力，鼓励学生在面对问题时，能够自主探索、大胆假设、小心求证.

（一）有助于提高问题解决效率

通过减少对烦琐计算的依赖，“多想少算”使学生能够更快地识别问题的关键点，从而提高解题效率.这种方法有助于学生在有限的考试时间内，更加高效地完成题目，同时也能够减少因计算错误而造成的失分.下面以新课标Ⅰ卷第15题为例说明.

记[△ABC]的内角[A]，[B]，[C]的对边分别为[a]，[b]，[c].已知[sinC=2cosB]，[a2+b2-c2=2ab]．

（1）求[B]；

（2）若[△ABC]的面积为[3+3]，求[c].

对于第（2）问，容易求得[B=π3]，[C=π4].很多学生先直接利用正弦定理列出[b]，[c]边长的等量关系，即[bc=sinBsinC=62]，[b=62c]；然后利用[S△ABC=12acsinB=3+3]，列出[a]，[c]的等量关系，得出[a=4（3+1）c]；最后，代入余弦定理，得到一个数据构成比较复杂的二次方程[cosB=（4（3+1）c）2+c2-（62c）224（3+1）cc=12].这样虽然也能算出答案[c=22]，但无形中增加了运算量，并且容易出现计算错误.

不难发现，余弦定理的运用是造成运算复杂的主要原因，而直接利用正弦定理和面积公式来列方程可以简化运算.用正弦定理列出[a]，[c]的等量关系，[sinAsinC=ac]，易得[A=5π12]，[sinA=2+64]，则[a=3+12c]，代入面积公式[S△ABC=12acsinB=34⋅3+12c2=3+3]，这个方程运算就非常简单.

（二）有助于深度思维能力的培养

“多想少算”理念鼓励学生在面对复杂的数学问题时，能够进行深层次的思考和分析，从而透过现象看本质，发现问题的核心和规律，形成全面、系统的认识.它要求学生具备逻辑推理、批判性思维和创造性思维等高级认知技能，能够灵活地、创造性地应用所学知识，从而避免陷入机械记忆和公式套用的思维陷阱.下面以新课标Ⅰ卷第16题为例说明.

已知[A（0]，[3）]和[P（3]，[32）]为椭圆[C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）]上两点.

（1）求[C]的离心率；

（2）若过[P]的直线[l]交[C]于另一点[B]，且[△ABP]的面积为[9]，求[l]的方程.

对于第（2）问，很多学生想当然地直接设直线[l]的方程为[y=k（x-3）+32]，同时设[P（x1]，[y1）]，[B（x2]，[y2）]，将直线[l]方程与椭圆方程[x212+y29=1]联立得，[（4k2+3）x2-（24k2-12k）x+36k2-36k-27=0]，则[x1+x2=24k2-12k4k2+3]，[x1x2=36k2-36k-274k2+3]，得到[|PB|=1+k2（x1+x2）-4x1x2=431+k23k2+9k+2744k2+3]，点A到直线[l]的距离[d=|3k+32|1+k2]，则S=

[12⋅431+k23k2+9k+2744k2+3⋅|3k+32|1+k2][=9].显然这是一个非常复杂的方程，不易求解.

观察题目可发现A，P都是定点，如果以AP为底来表示[△ABP]的面积，那么运算量就会大幅减少，只需求出B点坐标，直线[l]的方程也就求出来了.设[B（x0]，[y0）]，易知直线AP的方程为[y=-12x+3]，[AP=352]；由[S△BAP=9]得B点到直线AP的距离为[d=1255=|x0+2y0-6|5]，即[|x0+2y0-6|=12]；化简得[x0+2y0=-6]或[x0+2y0=18]（舍去），与椭圆方程[x0212+y029=1]联立，解得[B（0]，[-3）]或[B（-3]，[-32）]，所以直线方程为[y=32x-3]或[y=12x].

（三）有助于激发创新和探究精神

“多想少算”理念鼓励学生大胆猜想和创造性地解决问题.这种探究精神不仅能够激发学生学习数学的兴趣，还能够培养学生的创新能力.在不断猜想和验证的过程中，学生能够学会如何从不同角度审视问题，从而发现新的解题思路和方法.下面以新课标Ⅰ卷第18题为例说明.

已知函数[f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3].

（1）若[b=0]，且[f（x）≥0]，求[a]的最小值；

（2）证明：曲线[y=f（x）]是中心对称图形；

（3）若[f（x）>-2]当且仅当[1<x<2]，求[b]的取值范围.

对于第（1）问，很多学生在答题时就“翻车”了，原因是没想到把[lnx2-x]转化为[lnx-ln（2-x）]再去求导，导致求导运算出错.

对于第（2）问，对如何证明对称性，很多学生一头雾水.其实，如果考虑到中心对称函数“定义域也成中心对称”这一性质，就很容易猜想图象的对称中心为（1，[a]），接下去只需证明[f（x）+f（2-x）=2a]即可.

从形的角度出发，运算会更加简单.令 [f1（x）=lnx2-x]，[f2（x）=ax]，[f3（x）=b（x-1）3]，发现[f1（x）]，[f3（x）]都关于（1，0）对称，而[f2（x）]图象是一条直线，直线上的任意一点都可以看作对称中心，当[x=1]时，[f2（1）=a]，因此，可以判定[f（x）]的对称中心为（1，[a]）.还可以从图象平移的角度进行验证，因为任何中心对称图形均可由奇函数平移得到，只需证明[f（x+1）-a]是奇函数即可.

对于第（3）问，根据“当且仅当”的数学内涵，可知[f（1）=-2]，解得[a=-2]，接下去就可以利用“端点效应”“必要性探路”等技巧来求出[b]的取值范围.

二、教学“慢下来”，给学生足够的思考时间

教育是慢的艺术，教育的变化是极其缓慢、细微的，它需要生命的沉潜，需要耐心的等待，需要潜滋暗长，需要“深耕细作式的关注与规范”［1］.但放眼当前的数学解题教学，“高密度、大容量、快节奏”已经成为常态.或许有些教师担心“慢下来”会降低教学效率，但实际上，如果“慢”不是消极地等待、拖拉怠慢、停滞不前，而是为了更好地顺应学生思维的发展，那么这样的“慢”就是一种符合学生实际的“慢”，是符合教学客观规律的“慢”，是为了抵达快的“慢”，是为了提高效率的“慢”.比如：教师有意识地调整课堂节奏，避免过快推进教学内容，确保学生能够跟上教学进度并充分理解所学知识；在讲授新概念或难点时，教师提供详尽的解释和示例，确保学生能够深入理解，而不是仅仅停留在表面记忆上；教师创造开放的课堂氛围，鼓励学生提出问题并耐心解答，以促进学生的主动思考和理解；通过小组讨论、角色扮演等互动教学方法，教师让学生在交流中深化理解，形成自己的见解；等等.下面以新课标Ⅰ卷第19题为例说明.

设[m]为正整数，数列[a1]，[a2]，[…]，[a4m+2]是公差不为[0]的等差数列，若从中删去两项[ai]和[aj][（i<j）]后剩余的[4m]项可被平均分为[m]组，且每组的[4]个数都能构成等差数列，则称数列[a1]，[a2]，[…]，[a4m+2]是[（i]，[j）]-可分数列．

（1）写出所有的[（i]，[j）]，[1≤i<j≤6]，使得数列[a]1，[a]2，[…]，[a]6是[（i]，[j）]-可分数列；

（2）当[m≥3]时，证明：数列[a1]，[a2]，[…]，[a4m+2]是（2，13）-可分数列；

（3）从1，2，[…]，[4m+2]中一次任取两个数[i]和[j][（i<j）]，记数列[a1]，[a2]，[…]，[a4m+2]是[（i]，[j）]-可分数列的概率为[Pm]，证明：[Pm>18].

面对这种“新定义”问题，很多学生直呼“看不懂，不会做”，但作为压轴题，其难度并没大到无法下手，至少前两问是能够拿到分数的.学生“不会做”的一个重要原因就是没有静下心来，没有慢慢地阅读、细心地思考.若先把“什么是可分数列”“构成可分数列的条件”等问题搞清楚，再按照从特殊到一般的思路“找规律”，就能发现解题的突破口.

显然，这一问题可以简化为：只考虑数列的下标，然后按照4个一组进行排列，最后一行只有2个数，即（1，2，3，4）（5，6，7，8）（9，10，11，12）（13，14，15，16）（17，18，19，20）（21，22，23，24）…（4m+1，4m+2），由此很容易得到第（1）问的答案为（1，2），（1，6），（5，6）.

对于第（2）问，只需要把1，2，…，14中去掉2和13的其余12个数排成3个等差数列，即余下的数有4m+2-14=4（m-3）个，且从头到尾连续相邻，可以构成m-3个满足条件的等差数列.前面14个数去掉2和13的其余12个数可以构成数列（1，4，7，10）（3，6，9，12）（5，8，11，14），显然是等差数列.第（3）问也可以按照上述思路进一步探索，此处不再赘述.

实际上，对于上述问题，即使数学基础不怎么好的学生也能够获得一定的分数，因为从特殊到一般的归纳思想原本就是数学研究最基本的思想，但为什么很多基础比较好的学生反而“想不到”呢？这可能是因为教师在平时的教学中急于求成，一味求快，未能充分重视对学生思考过程的培养，导致学生在解题时过于依赖寻找快速解题的套路和模式.当学生遇到需要创新思维和深度探究的题目时，他们就会因为缺乏相应的思维训练而难以适应.

三、创造试错的机会，让学生经历算法优化的过程

在解题教学中，教师习惯于按照预设的正确的、优秀的方法来引导学生解题，而忽视了为学生提供试错的机会.由于在预设中已经剔除了教学中存在的风险或不确定性，教学被简化为由教师单方面推进的线性过程，同时也简化了学生、教师与文本三者之间的复杂交互，从表面上看教学变得异常顺利，但实际上在解题中，学生根本不知道为什么要这样做、这样做有何目的，学生只是按照教师的指令行事.教学演变为师生围绕确定性知识而开展的机械化操练，限制了师生对未知世界与可能世界的探索，致使学生被套锁在既有知识、思维的框架中，丧失了创造性［2］.