数学解题教学要从“解题”转向“问题解决”

摘    要：侧重掌握程序化、规律性的解题套路的“解题”无法适应社会发展的需求，因此，数学解题教学的重心需要从“解题”向“问题解决”转变.“问题解决”是一个更广泛的过程，它不仅包括解题，还包括运用其他更加实际和综合的方法，二者的差异主要表现在目标导向、知识需求和创造性上的不同.在侧重“问题解决”的数学解题教学中，教师可引导学生开展数学阅读以深入理解问题实质，回顾已有经验以探求可能的方法，经历试误过程以实施问题解决计划，优化解题过程以拓展数学结论，反思问题解决的过程以理解问题的本质.

关键词：解题；问题解决；数学解题教学

解题教学是数学教学的重要组成部分，它在促进学生数学思维的发展上具有不可替代的作用.“就题论题”与“以题论法”是当前数学解题教学中最流行的两种形式.“就题论题”以解答题目为主要任务，以获得正确答案为最终目标，答案获得后，该题任务结束，然后转向下一题，它能在短期内迅速提升学生的解题能力；“以题论法”指通过题目来讲解题方法，它在解题方法的积累与解题策略的形成上具有天然优势［1］.这两种方式的搭配使用构成了当前数学解题教学的主流.不管是“就题论题”还是“以题论法”，它们遵循的都是以“解题”（从具体的题目出发，就题论题、以题论法，侧重解题套路）为中心的教学观，关注的对象都是“题”，传授的也都是“算法化”的“解题套路”.虽然在处理结构常规、情境熟悉、思路明确的题目时，它们能让学生游刃有余，但在处理情境复杂、数量关系隐蔽、表达抽象的问题时，它们则很可能让学生束手无策.2024年高考数学新课标Ⅰ卷第19题（以下简称“第19题”）就是很好的例证，题目如下.

设[m]为正整数，数列[a1]，[a2]，[…]，[a4m+2]是公差不为[0]的等差数列，若从中删去两项[ai]和[aj][（i<j）]后剩余的[4m]项可被平均分为[m]组，且每组的[4]个数都能构成等差数列，则称数列[a1]，[a2]，[…]，[a4m+2]是[（i]，[j）]-可分数列．

（1）写出所有的[（i]，[j）]，[1≤i<j≤6]，使得数列[a1]，[a2]，[…]，[a6]是[（i]，[j）]-可分数列；

（2）当[m≥3]时，证明：数列[a1]，[a2]，[…]，[a4m+2]是（2，13）-可分数列；

（3）从1，2，…，[4m+2]中一次任取两个数[i]和[j][（i<j）]，记数列[a1]，[a2]，[…]，[a4m+2]是[（i]，[j）]-可分数列的概率为[Pm]，证明：[Pm>18].

一、“解题”已经无法适应社会发展的需求

当下，“解题”的重心全部放在对程序化、规律性的解题套路的掌握上，而忽视了对学生主动获取知识与自主探究等能力的培养.社会的进步要求人们具有现代化的数学素养，具有发现、提取、分析和处理信息的能力.从这个角度来看，“解题”是不适应现代社会所必需的收集处理信息数据、发现和提出问题、合情推理，以及估计意识、应用意识、运筹和优化意识、创新意识等各种能力培养的要求，更不利于创新拔尖人才的培养［2］.例如，面对“第19题”这样的题目，很多学生直呼“看不懂，不会做”.不可否认，题目中的抽象表述会对审题造成一定的干扰，但此题不考查“具体知识与技能”及找不到可以套用的模式才是学生“不会做”的根本原因.当然，有数学竞赛经历的学生还是能够给出“完美”的解题过程，具体如下.

第（1）问的答案为（1，2），（1，6），（5，6）.

第（2）问，显然，若[ai1]，[ai2]，[ai3]成等差数列，则[i1]，[i2]，[i3]也成等差数列.不妨设原数列为A：1，2，…，[4m+2]，则删去2与13后，前12项按mod3同余分组，即（1，4，7，10）（3，6，9，12）（5，8，11，14），后[4（m-3）]项按顺序4项一组，便可证明数列[a1]，[a2]，[…]，[a4m+2]是（2，13）-可分数列.

第（3）问，若[0≤n≤k≤m]，A删除[4n+1]和[4k+2]后，前[4n]项、中间的[4（k-n）]项、后面的[4（m-k）]项按顺序4项一组，便知A是[（4n+1]，[4k+2）]-可分数列.若[0≤n≤k≤m]且[n-k≥2]，A删除[4k+2]和[4n+1]后，前[4k]、后[4（m-n）]项按顺序4项一组，而中间[4（n-k）]项按[mod（n-k）]同余分组，便可知A是[（4k+2]，[4n+1）]-可分数列.因为A中[4n+1]和[4k+2]型的项各有[m+1]个，满足[0≤n≤k≤m]且[n-k=1]的整数对[（n-k）]有[m]个，所以有[Pm≥（m+1）2-mC24m+2>m2+34m+18m2+6m+1=18].

按照一些竞赛专家的说法，此题设计新颖，属组合数论、组合设计与概率论的综合问题，熟悉数论的考生可在很短的时间内完成.由此，笔者联想到2024年1月份“九省联考数学试卷第19题”，同样是考查“新定义”问题，同样涉及数论背景——“费马小定理”，即如果p是一个质数，且a不是p的倍数，那么[ap-1≡1（modp）].这很可能会给教师带来错觉，那就是掌握的数学结论越多，解题就会越“轻松”.在当前的数学解题教学中，“拿来主义”盛行，教师常常将各种竞赛数学、高等数学的结论，如圆锥曲线中的二级结论、极点极线理论、泰勒公式、洛必达法则、中值定理等，直接下放给学生.然而，面对上述两道题目，很多教师又有了危机感，他们会本能地认为“补充数论知识”刻不容缓.不可否认，有这些高妙的“数学结论”加持，解题的效率会得到提升，但这些结论并不能被学生真正理解与掌握，反而会造成学生数学学习的形式化、浅表化、碎片化.不仅如此，在高考命题“打破固有模式，力求试题创新”的导向下，这次的题目背景可能是“数论”，下次则可能是“图论”“微分几何”“复变函数”等，结果只能是“数学结论根本补充不完”.

根据国家对人才培养的要求，数学解题教学的目标定位应该是让学生像专家那样思考，即能根据任务需求提出解决问题的方案，并熟练调用相关的知识来解决问题，而这就需要数学解题教学的重心从“解题”向“问题解决”转变.

二、“问题解决”的内涵及其与“解题”的差异

“问题解决”指设法消除某一给定智能活动的当前状态与智能主体所要达到的目标状态之间的差距的行为［3］.它是一个具有目的性并有认知成分参与的思维活动序列.进行“问题解决”时，要多维度、多视角地对问题情境或未知因素要求加以思考，深刻分析问题各相关因素，系统制订行动方案，提出解决问题的最佳策略.这是一种高阶结构化思维，具有创造性，像数学建模、数学探究、项目化学习等都可以看作是“问题解决”的不同表征.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确把“问题解决”作为发展数学核心素养的重要途径.

不难发现，“解题”和“问题解决”是两个相关但不同的概念.通常，“解题”是在已知条件和已有知识基础上进行的，通过运用逻辑、分析、推理等思维方式，对问题进行分析、归纳和推导，最终达到解决问题的目的.“问题解决”是一个更广泛的过程，它不仅包括解题，还包括运用其他更加实际和综合的方法.二者的差异主要表现为以下三个方面.

其一是目标导向.“解题”通常是以一个确定的目标为导向的，即找到一个或多个特定的解决方案或答案.在解答题目的过程中，我们可能需要运用特定的方法、技巧和领域知识，以达到特定的目标.“问题解决”更加综合和多样化，它强调在解决实际问题的过程中需要综合运用多种方法和技巧，并根据实际情况不断调整和改进.

其二是知识需求.在解答题目的过程中，我们通常需要具备一定的背景知识和专业知识，以便理解问题的条件和要求，并运用相应的知识进行分析和推导.“解题”更加依赖于特定领域的知识和技术.“问题解决”更注重灵活性和跨学科思维，我们不一定需要特定的专业知识，而是可以通过团队协作、分析问题的关键因素和权衡不同的选择来解决问题.

其三是创造性.在解答题目的过程中，我们通常会运用特定的方法和步骤来解决问题，如使用逻辑推理、数学公式、算法等.“解题”强调的是通过特定的分析和推理过程，有逻辑地找到问题的答案.“问题解决”更加弹性和开放，解决方法也更具创造性，即善于根据所给问题的条件和要求，能从不同方向，用多种方法进行发散思维后，迅速地选定思维方向，灵活地解决问题.

三、“问题解决”的实施过程

（一）开展数学阅读，深入理解问题实质

理解问题是解决问题的起点.像“第19题”这类题目，首先挑战的就是数学阅读能力，如果学生不具备较强的阅读能力，“问题解决”就无从谈起.较之一般的阅读，数学阅读的过程更为复杂，它不仅需要经历从背景、数据等材料中获取信息的心理活动过程，而且需要经历对数学文字语言、符号语言、图表语言的理解、记忆、认知等过程，以及对材料的逻辑结构进行分析、综合、归纳、推理、猜想等一系列思维过程［4］.通过数学阅读发现、辨认、提取、表征问题中隐藏的信息，再对问题所涉及的相关因素及关联性作出可视化的表达，学生就能在头脑中形成关于该问题的整体清晰的图景，达成对问题的真正理解.

“层次、结构、概括”是数学阅读的基本环节：“层次”指阅读材料的层次，并逐层进行意义剖析；“结构”指理顺各层次之间的关系，形成对阅读材料的整体认识；“概括”指在层次、结构的基础上对阅读材料进行抽象和概括，以实现由感知到觉悟的飞跃.基于这一认识，“三读”，即粗读—复读—精读，就是一种非常有效的阅读方法.如对“第19题”这类题目，教师可以教会学生这样阅读：先粗读，浏览全题，掌握题目概貌，回答“什么是可分数列”“构成可分数列的条件是什么”等问题；再复读，弄清问题的结构，领会[（i]，[j）]，[ai]，[aj]等抽象符号的内涵；最后精读，深入理解题意，思考“题目真正要考查什么”“如何简化问题”，从而激发创新思考［5］.通过“三读”，学生可以在短时间内达成“读通、弄懂、理清和学会”.

因此，为了让学生具备比较强的数学阅读能力，教师要反思如何加强数学阅读，自觉改进教学方法，主动将数学阅读纳入平时的课堂教学环节中，与讲授、练习等有机地结合在一起，让数学阅读成为数学课堂教学的重要环节，成为知识建构的必要手段，共同构筑课堂教学的最优结构［6］.

（二）回顾已有经验，探求可能的方法

在吃透问题的含义和目标后，学生要充分调动自己的已有解题经验，明确所求问题属于哪类内容、解决该问题可能需要运用哪些知识，进而通过文字、表格、图像、符号等形式呈现自己的思维过程.此时，储存在大脑表层的信息开始激活个体长时记忆系统中的知识，使学生得以提取与问题相关的知识，并从中挑选解决问题的策略与方法.若成功解决问题，则此问题表征就能进一步深植于长时记忆中，成为学生的新知识.若不能成功地找到有效的解决方法，学生就要修正起初的问题表征.

“第19题”实质上考查的是等差数列的一类性质.对于等差数列相关问题，学生已经掌握比较多的“解题工具”，如等差数列的通项与求和公式、等差数列的性质[am+an=ap+aq（m+n=p+q）]、等差数列的递推关系等，也掌握了比较多的“解题套路”，如直接套用现成公式与性质、基本量思想、函数方程思想等.但对“第19题”这类问题，学生无法直接套用现成的解题工具和解题套路.对此，教师需要引导学生思考“假设面对的是一个陌生数列，一般要采取怎样的方法进行研究”.通常采用的方法是用赋值法或者归纳法“找规律”，实际上，在学生刚开始学习“等差数列”时就用到了这样的方法.也就是说，当比较新的方法不好用时，可以回归到最初始的方法.归纳法适合对所有数列的研究，也是数学研究最基本的思想方法之一.

（三）经历试误过程，实施问题解决计划