基于统计推理的“单元—课时”教学设计

摘    要：围绕主题进行“单元—课时”教学设计，可体现知识之间的内在逻辑，将学习内容与核心素养表现有效关联.教师应分析单元知识结构与内容、单元目标、教学问题及教学支持条件，然后确立课时目标和教学重难点，构建课时教学框架，以单元统领课时，实施整体教学.具体教学中，教师可遵循“学为中心”理念，将课堂分解成“读·思”“疑·议”“议·练”“议·悟”“ 思·悟”“练·思”六个部分，以真实丰富的情境带领学生一步步深入知识的学习，体会数学思想和方法，学会迁移运用知识，进而提升核心素养.

关键词：“单元—课时”教学设计；统计推理；数据观念；初中数学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“《课程标准》”）在“教学建议”中指出，要重视单元整体教学设计，“分析主题—单元—课时的数学知识和核心素养主要表现，确定单元教学目标，并落实到教学活动各个环节，整体设计，分步实施，促进学生对数学教学内容的整体理解与把握，逐步培养学生的核心素养”.

初中阶段统计教学的主要内容是“抽样与数据分析”，强调从实际问题出发，根据问题背景设计收集数据的方法，经历更加有条理地收集、整理、描述、分析数据的过程，利用样本平均数估计总体平均数，利用样本方差估计总体方差，体会抽样的必要性和数据分析的合理性，从而形成和发展数据观念.因此，笔者将该单元定为“抽样与数据分析”单元.而由样本具有某属性推出总体具有某属性的推理即统计推理，属于“或然推理”，是统计区别于其他学习内容的根本特征.因此，笔者将该单元的学习主题定为“统计推理”.

单元视角下的统计教学需要确定单元教学主题，选择能体现知识之间内在逻辑的学习素材，将学习内容与核心素养表现有效关联，引导学生感悟统计推理在数据分析、判断决策等方面所起的作用，切实加强数据观念、模型观念和应用意识等核心素养的培育.下面，笔者围绕“统计推理”主题，阐述“单元—课时”教学设计的思路.

一、单元知识结构与内容解析

（一）单元知识结构

根据《课程标准》的相关要求，该单元在原有内容的基础上，需要补充离差平方和、百分位数、四分位数、趋势图、箱形图等知识，由此形成如图1所示的单元知识结构图.

（二）内容解析

内容的本质：数据分析的基本策略和核心方法是用样本特征估计总体特征，即统计推理.

知识的上下位关系：由小学阶段的“数据意识”逐步发展形成“数据观念”，会用定量的方法描述随机现象的变化趋势，表达随机现象发生的规律.

蕴含的思想和方法：从特殊（样本）到一般（总体），由样本分析归纳出结论，再利用结论推理解决总体问题.统计推理是一种归纳推理，但不同于简单枚举归纳推理，其基础是合理科学的抽样，因此随机抽样是重要的统计思想.

育人价值：由于统计推理的结论（总体特征）超出了前提（样本）所断定的范围，而前提与结论间的联系是或然性的，因此统计教学中的或然思想与辩证思想，是培养学生重证据、讲道理的科学态度的重要载体.

教学重点：以“抽样与数据分析中的随机性、或然性、辩证性”为指引，经历更加有条理地收集、整理、描述、分析数据的过程.

二、单元目标及解析

笔者设计了如下三个单元目标.

单元目标1：经历数据收集、整理、分析等活动过程，形成用统计进行推理、决策的习惯.

单元目标2：学会应用信息技术处理较为复杂的数据及绘制各类统计图表.掌握各个统计量，体会数据的意义，能对数据进行分类.

单元目标3：能根据实际需要，选择恰当的方法进行数据的收集、整理和分析，解决问题.

然后，笔者对三个单元目标的达成情况作了解析.

达成单元目标1的标志：知道合理的随机抽样是数据分析的前提，理解用样本估计总体是统计推理的主要表现形式.

达成单元目标2的标志：理解统计图表、统计量是描述与表达数据分布规律的主要数学模型.

达成单元目标3的标志：能体会方法与结果的关联性，会解释与交流数据分析的结果并解决问题.

三、教学问题诊断及教学支持条件分析

在小学时，学生已经具备了数据意识，对数据的意义和随机性有了一定的感悟.初中阶段将在此基础上进一步学习用定量的方法描述随机现象发生的规律.如果教师对统计量的意义认识不到位，就会在教学过程中重运算技能而轻统计思想，重公式推导而轻统计推理，使学生难以形成数据观念.因此，该单元的教学难点有三：一是统计量意义的教学；二是理解数据分析的方法与结果的关联性；三是理解数据分析的随机性和或然性.

教学中需要来自生活的真实数据，信息技术是数据处理的重要辅助手段.如在数据分类排序、制表制图、统计量的计算比较等过程中，可以借助计算器、电子表格或其他适合的软件.

四、课时教学设计

单元整体教学的实施需要思考“单元呈现”和“课时表达”的“总—分—总”路径，使学生经历前后一致、逻辑连贯的完整学习［1］.下面，笔者以浙教版义务教育教科书《数学》八年级下册第3章第1节《平均数》为例，阐述课时教学设计的路径.

（一）课时目标

（1）在真实问题的解决过程中体会平均数的统计意义，理解平均数的概念与计算方法.

（2）能根据实际需要，选择恰当的方法进行数据的整理和分析，理解统计方法与结果的关联.

（3）会用样本平均数估计总体平均数，作出推断和决策，并能进行交流，发展数据观念.

（二）教学重难点

重点：平均数的计算及用样本平均数估计总体平均数.

难点：平均数的统计意义和数据分析方法的选择.

（三）教学过程

根据上述分析，笔者遵循“学为中心”理念，构建了这节课的教学框架（如图2所示），并以水稻研究为背景创设情境，突出平均数在科研中的作用.

1.读·思：温习计算方法，体会“随机抽样”与“统计推理”

【环节一】展示第一则新闻报道《袁隆平超级杂交水稻测产传喜讯：平均亩产1004.83公斤》（具体内容略）

问题1：平均亩产是如何计算得到的？

［师生活动］引导学生回顾算术平均数的概念及计算公式，归纳得到直接算法和取基准法.

设计意图：借助袁老的研究成果回顾小学所学知识，渗透学科德育教育，激发学生研究问题的兴趣，为这节课建立情感态度和基础知识的双重基础．

追问：示范点测平均亩产有何意义？

［师生活动］引导学生初步体会平均数的统计意义.统计意义1：描述整体水平——有代表性.统计意义2：用样本平均数可以估计总体平均数——有预判性.

设计意图：通过实际情境的问题挖掘，让学生理解“为什么选择用平均数刻画一组数据”，为进一步研究平均数建立方法基础．

【环节二】展示第二则新闻报道《流程大揭秘！袁隆平团队双季杂交水稻如何完成测产？》（具体内容略）并配视频解说

问题2：用样本平均数估计总体平均数体现在哪几个步骤？

［师生活动］教师展示测产流程（如图3所示），学生分析解读测产过程中“统计推理”的体现与作用，理解图3中的步骤3，7，8“用样本平均数估计总体平均数”的现实意义.

设计意图：通过情境的跟踪挖掘，让学生进一步理解测产过程“抽样的随机性和合理性”，体会“用样本估计总体”的统计思想．

2.疑·议：归纳统计意义，经历 “分析决策”与“评判质疑”

【环节一】展示科研论文《2019年泰州地区杂交水稻新品种比较试验》（赵琴，丁小燕）中的部分内容［2］

对于通过审定的品种，种业企业在推广前还要在审定生态区内安排示范，进行更多点次的不同生产条件、耕作制度、栽培措施下的全面检验，以市场为依据，从中筛选出最安全、适应性最好、最符合生产要求的品种及品种最适宜推广的区域，这是目前审定品种多而市场推广品种并没有相应激增的原因，也是种业企业品种推广工作的重中之重……五种杂交水稻基本情况统计如表1 所示（注：有删改）。

表1   五种杂交水稻基本情况统计（部分）

[品种 穗总粒数/粒 千粒重/g 亩产/kg 晶两优 1212 155.69 25.20 505.81 泰两优 217 190.69 25.46 485.80 晶两优黄莉占 183.92 25.66 588.07 9 优 766 171.33 30.02 585.85 荃香优 607 166.00 27.68 632.54 ]

问题3：根据表中数据，你对五种水稻的性能有哪些判断？

［师生活动］引导学生追踪科学研究的路径，体会水稻育种与推广过程的严谨性，同时体会平均数的统计意义3：比较多组数据，便于预测和决策.

设计意图：通过对水稻育种推广情境的延续挖掘，让学生再次体会平均数在科研中的频繁使用，理解其统计意义3．

追问：对照表中数据，你是否有质疑？

［补充提供试验设计］本次试验品种田间随机排列，不设重复，每个品种面积0.25亩，栽插密度为16.7 cm×30.0 cm，每亩1.33万穴左右，每穴1～2苗.

［师生活动］引导学生质疑科学研究的方法，考量样本（每个品种面积0.25亩）选择的合理性，同时体会平均数的统计意义4：估计真实性，有效降低误差（需多次重复试验）.

设计意图：通过对比上述三个情境中样本的选择方法，让学生理解抽样的科学性，并再次体会平均数的作用，理解其统计意义4．

【环节二】小结归纳平均数的算法及统计意义：数学计算简单易行，现实应用频繁，统计意义深刻

［师生活动］交流归纳.

设计意图：对前面三个情境中平均数的作用再次进行回顾与梳理，并补充身边的应用实例，总结算术平均数的计算方法，体会其统计意义.

3.议·练：明确统计目的，体验“数据处理”与“方法选择”

练习：某品种水稻成熟后，测得10株的株高（单位：cm）如下：128，128，127，126，117，130，126，127，128，127.如何评价这种水稻的株高？

问题4：数据是否需要进行处理？

［师生活动］引导学生思考数据分析的不同方法：方法1，直接计算平均数；方法2，去掉最值再计算.考量极端值对平均数的影响，体会不同的统计方法与结果之间的关联性.

设计意图：引导学生感悟归纳：（1）充满随机现象的世界里，数据会存在偏差，这些偏差有正有负，有大有小，平均数使得偏差之和为0；（2）不同的数据分析方法，可以得到不同的统计结果.

4.议·悟：感悟统计策略，理解 “数据赋权”与“方案决策”

【环节一】合作学习

如果把稻谷品质分为“丰产”“抗倒”“米优”三个维度来综合考察，将排序所得的分数记为1～5分，五种品种的稻谷各项测试成绩如表（略）所示.该怎样选用稻种呢？说说你们小组的方案和理由.

问题5：表格中的数据，还可以进行怎样的处理与运用？

［师生活动］引导学生思考数据分析的不同方法：方法1，直接计算三项的平均成绩；方法2，根据实际情况，对每项的成绩赋予不同的“比例”.考量赋予数据不同权重对平均数的影响，再次体会不同的统计方法与结果之间的关联性.

设计意图：引导学生感悟归纳：不同的数据分析方法，可以得到不同的统计结果.