初中数学几何直观教学的“失度”与“适度”

几何直观是促进数学理解、数学发现的有效途径，是创新性思维活动的开端，是数学学科素养的主要表现之一。当前，几何直观教学存在直观感知失衡、形数联系失当、图表分析失准等“失度”现象。为此，教师应围绕教学内容、教学过程和教学评价等展开多重比对建构“适度”教学，通过教材重组、教学重构、课堂重塑，促进几何直观素养有效落地。

初中数学；几何直观教学；适度教学

李君.初中数学几何直观教学的“失度”与“适度”[J].教学与管理，2025（07）：45-49.

直观是数学发现的向导。著名数学家M·克莱因认为：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握。”几何直观是学生数学学习与问题解决的工具。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）明确指出：几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。几何直观是初中数学学科核心素养“三会”的主要表现之一，指向学生“数学眼光”的发展。教师要不断精进自身对几何直观的深刻理解，重视学生几何直观能力的培养。依据皮亚杰的认知发展理论，几何直观使得认知阶段从“形式运算”降低为“具体运算”，即原本需要进入“形式运算”认知水平才能展开探究的信息特点，转化为“具体运算”认知水平就可以进行探索的信息特点[1]。几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径[2]。然而，现实中几何直观教学常常存在“失度”现象，影响学生学科核心素养的发展。因此，探讨几何直观教学的“失度”与“适度”具有重要的现实意义。

一、初中数学几何直观教学“失度”现象

几何直观是问题解决的第一道门槛。学会用图形思考、想象问题是研究数学，也是学习数学的基本能力。在教学实践中，很多教师虽然已经意识到几何直观教学的重要性，但总是出现各种“失度”与“过度”，致使学生的学科核心素养无从提升。

1.直观抽象失衡，导致图形特征不明

“直观”不仅是基于直接的感性认识，也包含延伸的图形思考。几何直观能帮助学生在解决问题时化抽象为具体、化复杂为简单，有利于学生探索解决问题的思路，促进学生高阶思维的发展。但在观察图形时，有些教师没有引导学生积极参与到学具的操作和观察中来，学生只是被动地接受课件中的抽象信息，缺失深入思考图形本质的机会，从而不会“直观地看”。例如在学习三角形时，学生往往只注意到等腰三角形和直角三角形这两种特殊三角形的相关特征，而忽视了其他三角形内部的结构和关系，不能依据各自图形的特征将概括图形共性与比较不同图形有机结合，从而不能依据边或者角将三角形合理依规正确分类。在应用图形时，教师不能依据几何直观相关行为指标去正确引导学生积极感知图形组成的元素并能直观表达图形特征和性质，学生不会从图形中直观地观察到已知条件和未知条件之间的关系，缺乏从直观到抽象的有机衔接，导致学生思维惰性，从而不能正确发现和利用图形的性质去探索问题解决的思路。此外，过多视觉刺激的多媒体教学常常会使学生难以集中精力思考几何知识的本质，不利于学生对几何概念和定理的抽象理解，进而不能助推学生形成有效迁移的学习经验。

2.形数联系失当，导致直观模型不显

数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”几何直观是一种思维方式，也是学科素养的重要表现。但部分教师总是认为几何直观只能在研究几何图形的位置关系、数量关系中发挥作用，缺少对代数中结构、关系的几何直观和统计中统计量、数据关系的几何直观，从而不能适应“建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型”[3]的新课标要求。如在学习“数与代数”内容时，对于一些代数算式、公式，教师未能强化数形对应，不能引导学生正确构造图形进行有意义的学习以促进其“数感”“式感”的直观建立；对于方程、不等式和函数等模型应用问题，教师不能引导学生建立利用线段图、图像等几何图形特征来直观理解的自觉，导致学生不会利用几何直观加强数学建模的学习。对于“图形与几何”中概念、性质和定理的学习，教师未能建立学生以数补形进行抽象分析和归纳推理的意识与习惯，导致学生不会用数和形“两只眼睛”看数学。如“三角形中位线”的学习，若只是让学生在课堂上听老师讲解，无法亲自动手操作、主动探索，学生不会发现“1/2”的含义，不会利用“数”的特征思考“形”的辅助线，不会从“形”的方面操作思考逐步过渡到“数”的方面理性思维，进而面对没有直观图形辅助的抽象几何问题时，就会感到无所适从。

3.图表分析失准，导致探索思路不清

几何直观是一种思维形式，它是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态[4]。几何直观时视觉思维占主导地位。新课标要求：利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路[5]。但在实际教学中，教师不能引导学生利用“图”的直观和“表”的简单的优点来让学生获得“学习有趣”的视觉体验，未能通过呈现完整图表、呈现部分图表和不呈现图表等渐进性的方式来加强学生几何直观学习的获得感。如在用代数式、方程、不等式、函数解决实际问题中，需要基于数量关系的分析来帮助学生建立数学模型解决问题，但由于问题中数量较多、关系复杂、表述冗长，有些学生不会正确构图、列表来呈现相应数量关系，有的学生不能利用已有图的形象、表的直观进行正确分析数量关系，从而不能借助直观图示将内隐的关系清晰显现，导致解决问题的思路不畅。而有些教师此时通常以“告诉”代替学生“发现”，未能抓住知识的渐次递进过程引导学生几何直观的有序发展，并不断建立用形象化的图表表达抽象化的数量关系的意识，学会“直观地想”。再如在“小结与思考”环节，有的教师未能采用思维导图动态地导引知识的学习过程和学生思维流向，从而不能丰富学生认知、引发学习联想；有的教师不能采用表格把重要结论进行对比学习，从而不能同化学习方法，促进深度学习。

二、初中数学几何直观“适度”教学的实施

为了纠正现实中几何直观教学的“失度”现象，促进学生思维高通路迁移，教师应基于教材“几何直观”素养要求，着力“学为中心”实践，通过对教材内容的解构与重构，以学习任务驱动学生有意义地学习。下面以苏科版《数学》八年级上册“等腰三角形的轴对称性”为例，探索促进“几何直观”的适度教学。

1.教材重组：建立几何直观适度学习内容

教材是课程内容及其实施的中介，作为蕴含几何直观信息的静态文本，教师应依据学生素养需求、学科认知结构，运用动态思维去重组符合几何直观的适度学习素材，进而实现“用教材教”，而不是局限、禁锢于教材。

直观感知：教材首先呈现的是等腰三角形性质例2及其思考，然后是直角三角形纸片的操作活动和定理发现，并进一步启发学生思考有一个锐角为30°的直角三角形的相关结论，其知识图谱如图1。

直观理解：本节需要探索的是直角三角形的相关性质，不少教师认为例2的安排较为突兀。因此，他们常常是从直角三角形纸片操作开始，引导学生观察发现得出定理：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，并引导学生思考：当直角三角形中有一个角为30°时，又能发现什么结论？这样的教学安排缺失知识的有机衔接，不利于学生学习能力生长和学习经验的迁移。

直观洞察：依托学生观察经验，对学材再建构，首先对例2进行问题式改编，然后用等腰三角形性质类比、想象，生长直角三角形学习直观经验，再经历观察与思考、操作与体验、交流与表达学习过程，延展学生思维，使其收获直角三角形的研究路径、操作认知和本质认识。

2.教学重构：建立几何直观适度学习过程

新课标寄予学生“像专家一样思考”的课程理想。教学应依据学科特性，在学生学习舒适圈中有意义地组织学习内容，使学生借助于信息技术资源或工具，将几何直观“隐性散点”转化为“显性关联”，强化几何直观真实体验。

（1）建立图形直观，感知图形元素

笛卡尔曾经说过：“没有图形就没有思考。”教师要从儿童的直观视角去引导学生直观感知，从不同角度抽取图形的多个要素并进行合理关联，帮助学生经历知识探索过程和应用过程，进而积累丰富的图形研究经验。

活动1：在△ABC中，你添加什么条件可以得出：AB=AC？你是如何习得这个结论的？

在这一题中，首先利用学生学习舒适区展开教学，学生容易得出∠B=∠C，在此基础上追问由感性到理性的学习回路：操作—观察—猜想—验证，由此积淀学生正确学习经验；其次借助认知势差，通过在图形中添加元素发动学习：如图2，若AD为∠A的外角平分线，CF⊥AD于D交BA延长线于F，你又能得出哪些相等的量？以开放性问题促进学生养成主动分析图形要素之间、要素与图形之间关系的直观自觉；最后依托深度学习方式，引导学生思考：在上述条件下，若想得到AB=AC=AF，你认为还需要添加什么条件？以问题追开学生思维心扉，促进学生思考再深入、学习再交流、观点再碰撞，进而生长能力、提高素养。

（2）开展运动直观，明晰学习路径

心理认知理论关注学生的思维过程和心理活动。几何直观的要义在于通过图表的直观降低思维层次和强度。基于此，教学既要尊重学生已有的知识、能力和经验基础， 明白学生新旧知识的“潜在距离”，又要提升学生思维能力和学习品质。因此，教师应根据学生的认知特点来灵动设计几何直观教学活动。

活动2：等腰三角形通过折叠可以得到两个全等的直角三角形，进而发现等腰三角形中重要线段的一些结论。那么对于一个直角三角形，你能不能通过折叠得到两个等腰三角形，进而发现直角三角形的重要线段的一些结论？

想象是感受、理解几何直观的有力支撑。以图形折叠（可参考图2）这一运动方式引起学生思维进阶学习，促进学生在类比中学会学习，进而掌握具有一般观念的“知识背景—操作发现—揭示联系—解释结论”学习套路，形成专家思维。

（3）依托模型直观，促进数形关联

几何直观是学习者、研究者对于数学对象的全貌和本质进行的直接把握，这种直接判断建立在针对几何图形长期有效的观察和思考的基础之上，既有相对丰富的经验积累，也有经验基础之上的理性的概括和升华[6]。借助动态直观的图形折叠，再辅以观察、猜想、验证等思维过程，不仅使学生获得清晰的直观表象，而且深化学生对图形特征的认识，促进其思维从感性跃为理性。

活动3：刚才同学们通过操作发现了“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”，那么对于这个文字命题大家怎样来证明呢？说说你的思路。

首先，引导学生先根据题意画出准确的图形，从图形中直观地观察到已知条件和未知条件之间的“数”“形”关系；其次，引导学生将复杂的文字描述转化为直观的图形关系；再次，借助刚才把直角三角形折、剪、拼变成等腰三角形，再将折叠后的等腰三角形铺展成直角三角形的直观过程，启发学生作辅助线构造相同的几何量：如在∠ACB内部作∠DCB=∠B交AB于D，或者倍长中线；最后，引导学生学会用分析法来完整证明，并进行数学语言的规范表达。这样的学习过程不仅能帮助学生丰富几何图形的直观感知，而且能助推学生探究能力。

（4）加强表征直观，实现循序进阶

美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”思维是一切学习的重心。数学课堂呼唤学生的真学，学生几何直观的真学同样需要以数学思维为载体，必须通过思维进阶来实现知识逻辑、学科逻辑走向学习逻辑。

活动4：从一般到特殊是研究几何图形的常见路径。如等边三角形是有一个角为60°特殊的等腰三角形，借助等腰三角形的相关探索我们完善了对等边三角形相关理解。那么沿着这样的路径，你将怎样从角特殊来研究直角三角形？与同桌说说你们的想法。

基于数学教学与学科育人的本然统一，引导学生在直观的几何情境中发现问题、提出问题，并寻求解决问题的策略，从而实现“教是为了不教”。学生能分别抓住有一个锐角为45°、60°来进行探索交流，特别是有一角为60°时，引导学生借助等边三角形的表征，发现：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半，并进行文字语言、图形语言、符合语言的规范表达和推理证明。在教学过程中采用问题驱动、师生互动方式促进素养本位的教学实施，从而推动学生在知识的联系处进行思维转接，进而巩固知识、增强能力、提升素养。