面向“双一流”建设的傅里叶变换拓展教学策略

摘  要：傅里叶变换是世界上最著名的十大公式之一，广泛应用于复杂数学问题求解与证明、目标特征信号分析与处理以及实际工程问题简化与解决。该文立足于大二本科生学情特点，旨在从课堂导入、内容讲解、思维启发和价值引领等方面创新出相对完备的拓展教学策略。

关键词：双一流；傅里叶变换；拓展教学；思维启发；价值引领

中图分类号：G640      文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2024）25-0038-05

Abstract： Fourier Transform is one of the ten most famous formulas in the world， which is widely used in solving and proving complex mathematical problems， analyzing and processing target characteristic signals， and simplifying and solving practical engineering problems. Based on the characteristics of sophomore students' learning situation， this paper aims to innovate relatively complete expansion teaching strategies from the aspects of classroom introduction， content explanation， thinking inspiration and value guidance.

Keywords： double first-class; Fourier Transform; expanding teaching; thinking enlightenment; value leading

近年来我国提出了发展高等教育的“双一流”战略决策，为世界强国科技创新和成果转化的竞争提供核心驱动力。新工科背景下的创新型人才培养目标要求强化理工科学生的数理基础和工科素养，对于应用类数学课程教学提出更高的要求与挑战。数学物理方法课程是一门与实体科学、工程实践紧密相结合的高等数学学科[1-2]，其中傅里叶变换是复变函数部分和数学物理方程部分的关键黏合剂，被广泛应用于声音处理、图像分析、信号调节和科学研究等。傅里叶变换章节主要包括四部分内容，分别为傅里叶级数概念、傅里叶变换概念、傅里叶变换性质和傅里叶变换应用，主讲教师往往需要2～3学时完成讲解。傅里叶变换内容的教学模式在不断创新，主要通过两方面来实现：一方面，通过增加互动、结合生活等方式提高学生的学习兴趣，来缓解冗长复杂公式推导对课堂积极性的削弱[3-4]；另一方面，引入能够应用傅里叶变换解决的本领域典型工程案例，来提高本科生的概念理解程度和工程创新思维。笔者至今恰好完成三轮课程讲解，基于调研学习、学生反馈和反思总结不断改进教学模式，拓展教学策略，旨在不增加学生负担的情况下落实立德树人根本任务，借助本节课程同时提高学生的学术能力及创新素养。

即使傅里叶变换章节内容具有很强的实用性，但冗长繁杂的公式理论推导对学生们的积极性和专注度造成了严重冲击，数理基础薄弱的学生更是心有余而力不足。比如，在傅里叶变换公式推导过程中需要使用到欧拉公式、复变函数积分公式和三角函数换角公式等。但与此同时，按照数学物理方法课程的整体安排，尽管本章内容具有较高难度和关键意义，任课教师所使用的教学时间往往不会超过3学时。综上所述，授课教师在进行傅里叶变换章节讲解时，往往会面对三个矛盾：首先是公式推导枯燥性与学生保持积极性的矛盾，其次是理论内容复杂性与学生数理基础参差不齐的矛盾，最后是课程逻辑紧密性与平滑强化价值引领的矛盾。

一  “生活—学术—工程—生活”教学闭环

该课程教学存在的最主要问题就是学生的学习积极性普遍不高，在课堂上容易走神。究其原因，主要是教师在课堂前几分钟没有激发起学生的兴趣和求知欲望。因此，我们在课堂教学中必须重视课堂导入环节。虽然课堂导入只占很少时间，但是它却在集中学生注意力、激发学生学习兴趣及启发学生的思维等方面有着重要作用。研究者提出可以用知识迁移、价值取向和情境设置等方法导入课程，为笔者教学设计创新提供了较大的借鉴意义[1]。

在传统教学研究中，任课教师们通过联想生活案例、导入工程实例或介绍科学家生涯趣事等方式来吸引学生注意力，以此为突破点来缓解冗长复杂公式推导对课堂积极性的削弱，尽可能让学生将注意力保留在课堂之中。这些方法确实起到了很大的成效，但笔者在调研学习中发现，在绝大多数教师的授课过程中这些元素未能有效结合，因此所引发的实际效果相对孤立，无法贯穿整堂课教学，课堂效果仍有可提升空间。为了化解公式推导枯燥性与学生保持积极性的矛盾，笔者发展了“生活—学术—工程—生活”的成熟教学闭环模式。

以笔者本人为例，在笔者上本门课程的第一个学年，先引出一个复杂数学曲线模型，让学生尝试用数学语言去表达描述，激发学生的好胜心并快速过渡到简单的三角函数形成强烈对比，三角函数可以通过改变振幅、周期、相位和常数项来调控纵向长度、横向宽度、横向位移和纵向位移，因而让学生自然而然地联想到，原来通过将简单元素线性组合的方式就能描述出复杂的数学模型。然后就引入到傅里叶变换的正常教学过程中，具体展示讲解怎么将复杂函数离散化，当学习完傅里叶变换的基本内容后，再过渡到工程实例来说明傅里叶变换的实用价值，让学生明白该理论虽然复杂，但却是非常实用的。这样就相当于形成了“数学—学术—工程”的教学模式，也是多数年轻教师喜欢使用的课堂模式，先用复杂数学问题激发学生好胜心，再开展缜密的公式推导，最后迁移到工程实例培养工程思维意识。但是在课堂观察中发现，这样的教学模式存在一定的弊端，就是大部分学生对解决复杂数学问题是感兴趣并充满期待的，然而对于数理基础、学术自信薄弱的学生而言，以数学难题开端所带来的正面效果非常有限，复杂的数学模型反而让他们预判这节课难度过高，从而产生畏惧心理然后慢慢掉队。

为此，笔者在执教本门课程的第二个学年做出改变，首先引出一个工程实例来吸引学生，然后再慢慢揭示其工作机理，让学生对于如何通过理论分析实现机理充满好奇，埋下这个伏笔后让学生们带着疑问去学习傅里叶变换的理论公式推导，然后通过教学指引让学生们在学习的过程中逐步感受到，从数学学科的一个参数是如何一步步发展到工程领域的一个案例，最后慨叹学术和工程的密不可分。在此基础上再通过例题引入复杂工程模型，与课程开始时引入的简单工程实例前后呼应，难度上也能循序渐进。这样就相当于形成了“工程—学术—工程”的教学模式，也是多数资深教师喜欢使用的课堂模式，先用实际工程问题集中学生注意力，激发他们对未知领域的好奇心，再开展缜密的公式推导，最后迁移回复杂工程实例强化工程思维意识。但是在课后交流中，发现这样的教学模式也存在一定的可提升之处，主要有二：首先，资深教师往往有着丰富的工程经验和项目经历，他们很容易找到较为合适的案例用于课程导入，他们对于这些案例有着更丰富的理解，而年轻教师的实践经验相对欠缺，因而讲解难以直接切中要害，让本科生快速理解工程案例的关键要点，因此如果对课程导入工程案例的选取不当，反而会让学生觉得乏味或者心生畏惧；其次，与“数学—学术—工程”教学模式相同，由于缺乏生动有趣的生活案例，无法将学生带入到实际情境，无法同时激发全班同学的好胜心或好奇心，也难以将复杂公式中的诸多参数形象化、简单化。

在教学的第三年，笔者吸取先前经验教训，开始使用“生活—学术—工程—生活”闭环教学模式，通过课堂观察和课后反馈发现该模式的课堂效果较为良好，具体如下：首先，搜集一系列和傅里叶变换相关的生活场景，集中于一页PPT以给予学生视觉冲击，要求这些案例生动形象且相互补充，再配合以多个问句及幽默图片来快速激发学生的学习兴趣。例如，为什么警察可以从一段嘈杂的录音中快速提取出目标嫌疑人的犯罪证据？为什么软件可以在一张任意的照片中自动识别出关键部位并按需进行美化？为什么研究人员可以针对未知信号实现通用的高效化、定制化分析和处理？笔者相信，良好的课堂导入已经是成功的一半，从课堂状态反馈也可以得到初步结论，几乎所有学生都被这些形象生动的生活案例所吸引，自发地而不是功利地产生浓厚学习兴趣，这克服了以复杂数学问题或实际工程案例进行课程导入的潜在弊端，更有利于兼顾不同层次学生。在此基础上开展傅里叶变换的细致理论公式推导，与之前模式不同的是，由于在先前引入了生活案例，教师在此处的知识讲解不再晦涩难懂。例如，在讲到时域信号时就可以举例说这就相当于一段质量不佳的录音或视频，而在提及到频域信号时就相当于那段录音或视频所对应的本质特性，傅里叶变换包括傅里叶正变换和逆变换，就相当于把音频或视频的本质特性提取出来并优化，再转化回原有格式生成高质量音频或视频。由此可见，通过生活场景课堂导入，就可以把原本枯燥难啃的理论推导转化为形象生动的思维逻辑分析，让每一个学生都能轻松跟上教师的节奏。否则，一些学生很可能会因为时域信号和频域信号相互转化的公式复杂性陷入思维混乱，在公式推导过程中转变为低效自学模式甚至自我放弃。在完成理论知识讲解后，笔者通过精选的三道例题来强调傅里叶变换的重要意义，难度上由简到难层层递进，分别阐述了傅里叶变换在复杂数学问题求解与证明、目标特征信号分析与处理以及实际工程问题简化与解决方面的实际应用价值。通过几道例题的学习，笔者不断强化学生的工程能力和创新思维，并在总结应用价值后直接迁移回生活场景，为什么我们在喧闹环境接电话时会本能地产生皱紧眉头、微闭双眼等本能反应，实际上我们的耳朵构造和收到的音频信号是不可能改变的，我们是在开启并强化大脑的傅里叶变换功能，是将音频信号转化为频域信号，并根据来电者的音色特征判断他声音所对应的频域区间，对这段目标区间进行强化，对其他区间进行弱化，最后转化回人体可以享用的时域信号就可以明白来电者的意图了，最后画龙点睛，实际上傅里叶变换不仅是数学学科和工程领域的关键工具，更是人类大脑与生俱来的功能，同学们也感叹科学的魅力，原来科学真的是源于生活且高于生活。在后续教学过程中，笔者将继续优化“生活—学术—工程—生活”闭环教学模式，选用更经典的生活场景和工程案例来提高学生的积极性和专注度，为提高学生学会本节课程内容、夯实工程创新思维打下扎实基础。

二  研讨式和分层式教学的有效结合

本章教学中任课教师所面对的一个难题就是，傅里叶变换的公式推导过程冗长枯燥但又非常紧密，如何在不打断整体逻辑的前提下让不同层次学生都能够积极思考与讨论？为了进一步提高学生的好胜心和积极性，并化解理论内容复杂性与学生数理基础参差不齐的矛盾，笔者在傅里叶变换教学中始终强调研讨式教学和分层式教学的有效结合。不断提出新的问题，让学生在研讨中边学习边思考，从而提升主观能动性和自我思考意识。灵活使用PPT和讲义等工具，多轨分层次教学，让不同层次的学生都可以处于良好的学习轨道。

研讨式教学的前提和重点在于确定主题，并进行“研”与“讨”。为了研究，学生必须查阅资料，储备理论知识；为了讨论，学生必须具有敏锐的综合分析问题能力和流利的口头表达能力。研讨式课堂教学需要教师和学生双方都参与进来，他们都将以主导和主体的身份进入研讨式课堂，在此过程中，要求教师和学生课前充分准备。确定研讨内容：应选择教学中的重点、难点、有争议的学术问题或学科前沿问题为研讨内容，确定研讨目标。学生依据教师布置的任务，自主地通过不同的方式方法整理相关研究的资料，在资料整理的过程中能够充分体验对于问题研究方法的大致理解，写出具有自己观点的文字总结。然后分小组进行介绍和讨论。小组研讨结束后，总结小组发言，并在全班进行交流，阐述本小组的研究情况[5]。傅里叶变换课程讲解的研讨式教学策略具体如下：

在公式推导过程中找到最难点，该处也是大部分学生最容易掉队的位置，从该位置剥离出简化数学思维，让学生进行思考讨论，进而实现教学过程的平滑过渡。例如，学生们在理论学习如公式（1）时往往就不会继续化简