基于问题驱动 探索教学设计

摘  要：问题驱动教学法从“以问题为基础的学习”模式拓展而来，它是强调在课堂教学中突出师生双主体互动，以问题为导向，以探究问题解决之道为核心展开的教学方法。文章通过高等数学中“极坐标系下平面图形面积计算”这节教学实例的解析反思，探索如何设计恰到好处的数学问题，将问题驱动教学法有效运用到高等数学的课堂教学中，进而提高学生发现、分析、解决问题的能力，促进创新型人才的培养。

关键词：问题驱动教学法;高等数学;极坐标系下平面图形面积计算

中图分类号：G640       文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2022）18-0050-04

Abstract： The Problem-Based Learning is expanded from the model of "problem-based learning". It is a teaching method that emphasizes the interaction between teachers and students in classroom teaching， is problem-oriented， and takes exploring the solution of problems as the core. Through the analysis and reflection of the teaching example of "plane figure area calculation under polar coordinate system" in higher mathematics， this paper explores how to design the appropriate mathematical problems， and effectively applies the problem driven teaching method to the classroom teaching of higher mathematics， so as to improve the students' ability of finding， analyzing and solving problems， and promote the cultivation of innovative talents.

Keywords： Problem-Based Learning; advanced mathematics; area calculation in polar coordinate system

问题驱动教学法（Problem-Based Learning）也称作“以问题为基础的学习”，旨在使学习者构建起宽厚灵活的知识基础，发展协同高效的问题解决技能，培养其独立自学、动手实践、团队合作、终生学习等全方位的能力，问题驱动教学模式最早可追溯到20世纪50年代[1]。问题驱动教学法要求教育者将学习与问题挂钩，以当前需要解决的问题为学习者的学习起点，让学习者在相对真实的、复杂的和有意义的问题情景中采取自主探究、相互合作的方式解决问题，从而学习问题涉及到的学科理论，掌握解决问题的技能。起初广泛运用于医学教育领域，后来，因其以学习者为中心，又面向全体学习者，力求达成教与学的最优化结合而逐步发展成为跨学科的教学方法。

正如著名数学教育家波利亚（George Polya）强调“问题是数学的心脏”，一切数学教学活动必定始于问题。问题驱动教学法这种以问题为导向引领教学目标、以问题为核心设计教学内容、以探究问题解决之道而开展的教学方法，能激发学习者的求知欲，活跃学习者的数学思维，增强学习者课堂参与度，提高学习者的学习主动性，使其对个人的学习自然反馈、有效评价，进而达成人人学有价值的数学，实现高等数学科学思维现代化培养的战略目标[2]。

一、极坐标系下求平面图形面积问题驱动教学法的尝试

2019年7月12日，科技部办公厅、教育部办公厅、中科院办公厅、自然科学基金委办公室联合制定并印发了《关于加强数学科学研究工作方案》，这一方案的出台，充分体现了国家层面对国民教育中学习者数学能力提升的强烈要求。改革开放短短数十年，社会发展变革一日千里，未来是可预见的科技未来，而科技一刻也离不开数学。无论哪个领域的先进技术，背后的支撑不都是数学在发挥作用？比如，长征五号火箭的推力要用数学计算加以明确;嫦娥五号探测器的各部分体积、曲率要通过数学方法得到精确值;卫星的发射时间窗口要用数学反复计算预演……显而易见，数学在科学系统中的基础地位越筑越牢靠，高等数学更成为大学课程体系中非数学专业用以构建学习者理性思维和培养学生数学素养的核心学科。其严谨的思维方式和解决问题的科学方法更是成为支撑学生适应未来社会多样性变革需求的可持续发展潜能之一。本节将以定积分知识为基础，从求解极坐系下平面图形面积问题切入，结合教学实践与课后反思，提炼出采用问题驱动教学法处理的一些做法和体会。

（一）课前分析，宏观掌控

问题驱动教学法对问题的选择必须要考虑到学习者的知识储备、技能水平和动机态度。“极坐标系下平面图形面积计算”是在学完定积分概念及直角坐标系下平面图形面积计算后的内容。在高等数学中，定积分的概念高度抽象，基础理论知识容量大，但用定积分解决相关问题的计算方法却简单明了。可如今高等数学教材的内容体系，一般都是在介绍具体操作之前，给出一大堆理论准备，教师直接讲授让学生如盲人摸象，只见树木不见森林，把简洁明了的方法肢解成一个个生硬的抽象符号，听起课来如坠云雾。即使等到某些学生开始摸清全貌豁然开朗，这种不断完善丰富的定积分基础理论知识，却早已使大部分学生因超负荷的数学抽象思维而不得不在死记硬背中丧失掉学习数学的积极性。鉴于此，本节内容展开之前我们应重点关注学生对定积分计算方法技巧的掌握以及对直角坐标下平面图形面积计算微元法的理解。教师对这个学情的把握，结合问题驱动教学法中问题的形成、设计和采用：粗放的处理方式，可以在课前布置预习任务;精细的处理方式，可以通过课前小测验，让学生用已掌握的定积分方法求解圆x2+y2=r2围成的平面图形面积。对于这两个处理方式（问题）的设计，主要还是基于训练和加强学生主动学习的能力，激发学生的学习动机，以便可以唤起学生对定积分内容最基础的知识储备，由此引起学生自我检视该模块的掌握情况，对师生的教与学都能起到查漏补缺的作用，从而达到教学相长的实效。

（二）循序渐进，确立目标

问题驱动教学法对问题的选择除了必须能引导学生引出所学概念和理论知识外，还要考虑到课堂教学目标。我国著名数学教育家张奠宙教授将数学学习内容梳理为三种形态：“第一，数学家构建数学思想、发现数学定理时的原始形态;其次，公开发表，写在论文、教科书里的学术形态;最后，数学教师在课堂上向学生讲课时的教育形态”[3]。对于课堂教学目标的设计，这句话给我们指明了行之有效的方法，就是教育者如何将写在论文、教科书里的学术形态，通过数学课堂上师生之间的教学互动，展现出数学家构建数学思想、发现数学定理的“原始形态”。本节课的教学目标就是期望学生在掌握定积分运算法则及直角坐标系下微元法求平面图形面积的基础上，以原有概念、理论和策略进一步使学生迁移到极坐标系下求平面图形的面积。从这个角度出发，首当其冲需要解决的问题便是熟悉了定积分运算法则，掌握了直角坐标系下平面图形面积的求法，为什么还要学习极坐标系下平面图形面积的求解？这个问题过渡的顺利与否，直接关系到学生对定积分解决平面图形面积问题应用观念的通达。我们在这里还是围绕用定积分方法求解圆x2+y2=r2围成图形的面积问题来铺垫。显然通过上一节内容的学习，学生能基本掌握直角坐标系下圆的面积计算方法，也更能切身体会到直角坐标系下圆的面积计算处理方式的繁琐程度。在问题驱动教学法中教师设计的问题需要是开放性的，教师对问题的答案不能限定于唯一的标准，而学生解决问题的过程性活动又是他们相对不难胜任的。如此，教师就需要及时帮衬、提示和点拨学生，让学生通过翻查资料、动手操作、相互讨论以及自我反思来获取和理解这种解法繁琐的根源出在什么地方，争取让每个学生都提出自己的观点和想法，并尝试引导学生印证发现，解决问题的“原始形态”主要还是由于坐标系的原因引起了解析式的不同，进而造成了计算形式的繁琐。这样的逻辑思辨，以问题为导向的设计，让学生去自然而然地探究隐藏于数学问题中的“原始形态”，平面图形面积的求解，不同坐标系下繁简有别。

（三）引入实例，探究问题

原东北师范大学史宁中教授认为“数学教学的最终目标，是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型”[4]。本课在前一问题引导下，解决了为什么要引入极坐标系。接下来，在学生自主获取了这个认知后，通过抽象数学与现实建筑的联系，抛出计算立交桥绿化面积的实际问题，作为学生本节课的学习起点，让学生在相对真实、复杂和有意义的问题情境中采取自主探究、相互合作的方式，充分发挥自己的独立性、主动性和创造性，建构问题解决涉及到的新知识，反复实践反思，最终学会极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握极坐标系下面积微元的表示，进而获得解决平面图形面积问题的基本方法途径。

详细教学设计过程如下。

首先展示“南京玄武大道立交”图片，给出求解中间绿化区域面积问题。虽然该问题的提出是由教师完成，但后续如何将这一看似简单却毫无数据的实例转变成能用所学知识解决的数学问题，需要让学生自己去探索。我们鼓励学生动手描出立交桥绿化区域中蕴含的曲线图，去通过自己搜寻数据尝试构造数学模型。譬如，教师可以让学生用智能手机网上搜索“南京玄武大道立交”工程设计图，也可以在学生明确解决问题需要的资料后主动提供设计图，潜移默化地培养学生的数学意识和数学思维，树立用数学语言探索实际问题的信心（如图1所示）。

图1 数学模型

其次，在学生普遍将绿化区域对应成四叶玫瑰线围成的面积模型后，根据教学目标，给出直角坐标系下曲线的方程（x2+y2）3=a2（x2-y2）2，并设计如下一系列问题：

（1）如何在直角坐标系下计算四叶玫瑰线所围成图形的面积？有何困难之处？

（2）四叶玫瑰线的极坐标方程是什么？

（3）直角坐标系下曲边梯形面积的求解理论是什么？

（4）是否可类比问题（3）的求解理论，得到极坐标系下曲边扇形面积的求解理论？

（5）如何用微元法计算极坐标系下四叶玫瑰线所围成图形的面积？

基于学生已掌握直角坐标系下微元法求平面图形面积的学情，教师可以让学生独立思考问题（1）。但由于曲线方程的显示表达式难以给出，即便是利用对称性只考虑第一象限的二分之一部分，也很难计算出结果。我们需要寻求其他方式，提示学生转换坐标系，解答问题（2）。学生很容易得到四叶玫瑰线的极坐标方程为？籽=a·cos（2？兹）。让其切身体会不同曲线在不同坐标系下的繁简差异。那么，如何计算极坐标系下平面图形的面积呢？先引导学生回顾问题（3）的解答，再让学生分组讨论，类比问题（3），大胆尝试，探究问题（4）的求解方法。讨论过程中可以适当引导学生注意面积微元从小矩形面积向小扇形面积的过渡。然后，教师针对学生讨论结果，进行反馈，给出极坐标系下曲边扇形面积的求解理论（如图2所示）。最后，鼓励学生学以致用，尝试求解问题（5），即课堂开始的绿化面积求解问题。

问题是思维的动力，而解题是数学课堂中最基本的教与学，贯穿整个数学课堂教学过程的问题求解活动正是促使学生独立自主学习的动力所在，亦是学生持续付出努力的最佳途径。经过以上过程，学生顺理成章地理解并掌握极坐标系下求平面图形面积求解的微元法。同时，让学生体会数学研究的具体方法和过程，有利于培养学生科学思维的能力，提高学生自主探索的意识，激发学生学习数学的兴趣。

二、极坐标系下求平面图形面积的两个要点

虽然极坐标系下平面图形的面积求解问题所需要的知识都已经在前面提到，但作为方法运用上的新内容，教师有必要对学生在问题解决过程中出现的新基础知识和新解题技能实施恰当的协调、归纳、整合及提炼。比如本节内容，我们需要重点关注：（1）积分表达式（即面积微元）的确定;（2）积分上下限（即极角范围）的确定[5]。