核心素养背景下应用型本科高校线性代数实验教学研究
作者： 史雪莹 陈小平摘 要：核心素养导向教育目标是培养有品格有能力的高素质应用型人才，其教学方式注重理论与实践相结合，侧重培养学生运用理论知识解决实际问题的能力。众所周知，线性代数在图像处理、机器学习等领域有着重要应用。线性代数作为应用型本科高校的一门重要公共基础课，教师在讲授理论的同时，还需加强本课程的实验教学。该文通过几个具体实例详细介绍Matlab辅助线性代数理论教学，主要阐述如何将其运用于线性方程组的求解、向量组的相关性的判定等问题。
关键词：线性代数;核心素养;应用型;本科高校;数学实验
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2022）29-0107-04
Abstract： The goal of core literacy oriented education is to cultivate high-quality applied talents with character and ability. Its teaching method pays attention to the combination of theory and practice， and focuses on students' ability to use theoretical knowledge to solve practical problems. As we all know， the course Linear Algebra has important applications in image processing， machine learning and so on. Linear Algebra is the public basic course in application-oriented colleges.Teachers need to strengthen the experimental teaching of this course when teaching their theoretical knowledge. This paper shows Matlab how to assist linear algebra theory teaching through several specific examples， and mainly expounds how to apply it tosolve linear equations， judge the correlation of vector group and so on.
Keywords： Linear Algebra; core literacy; application type; undergraduate universities; mathematics experiment
二十一世纪以来，由于全球经济迅猛发展，全球信息化和知识经济等对教育提出了新要求，各国为应对信息时代所带来的挑战，相继推出具有时代意义的发展方向——核心素养。我国教育部2014年发布的文件中第一次提出了“核心素养体系”的概念，并于2016年正式发布了核心素养框架。2019年，教育部关于高校招生工作通知中强调要考察学生的关键能力和学科素养。另外，教育部发布的文件中指出本科课程要加强以核心素养为导向，杜绝单纯知识的传递，重视学生数学思维方式、数学思想方法和问题解决行为等数学素养核心维度的培养[1]。由此，核心素养导向的课程建设探索与实践已成为我国各高校进行教学改革的重要内容之一。
众所周知，核心素养导向教育包含如下两个特点：核心素养导向教育的教学目标需明确，即培养既有品格又有能力的高素质应用型人才;核心素养导向教育的教学方式应重视理论教学与实践教学相结合，注重立德树人，特别是培养学生运用理论知识解决实际问题的能力。因此，应用型本科高校在落实核心素养导向教育的实践中需强化实践教学，并加强各课程在实际中的应用研究。我们知道，线性代数在图像处理、机器学习等领域都有着广泛应用。教师在讲授线性代数理论知识的同时，还需激发学生学习线性代数的热情，培养学生的创新思维，加强本课程在实际生活中的应用研究。目前利用数学软件完成问题分析与计算已被应用于大学数学课程的教学，所以强调数学软件在线性代数教学中的应用已被各应用型本科高校高度重视。
近年来，国内不少学者在线性代数教学改革与实践方面作了许多探索[2-5]，特别是如何将专业数学软件应用于线性代数教学做了许多尝试和教学改革。魏岳嵩等[6]探讨了如何处理好软件教学与传统教学的关系，给出了软件教学的内容与安排及相应的教学建议。孟国艳等[7]针对线性代数的教学过程中实践教学不足的问题，提出了课程教学活动中融合数学建模的思想并给出了具体策略。杜红林[8]以特征值教学为例，给出了Matlab辅助教学的具体过程，这样能使学生更清晰地理解特征值和特征向量的几何意义。刘小刚等[9]阐述了如何将Maple软件应用于线性代数课程教学与实践。
我们知道，向量和线性方程组是线性代数中的重要内容，其被广泛应用于解决密码学、计算机图形学和最优化等方面的问题。一般来说，线性代数教材中的例题都比较简单，矩阵的阶数也比较小，易于手工计算，但教师若想解决实际问题，面对规模较大的数据，这时仍用手工进行计算往往是无法实现的。这里将Matlab引入到线性代数的教学就可轻松解决上述问题，另外也可为小规模矩阵相关的手工计算提供一条检验途径。因篇幅有限，下面以线性方程组和向量为例，结合本校相关专业给出如何利用Matlab开展线性代数实验教学。
一、利用Matlab求解线性方程组
例1 求齐次线性方程组2x1+x2-2x3+3x4=0
3x1+2x2-x3+2x4=0
x1+x2+x3-x4=0的基础解系以及通解[10]。
解：
在Matlab中输入如下代码：
A1=[21-2 3;32 -1 2;1 1 1 -1];
B1=null（A1，'r'）
运行程序后，显示计算结果如下：
B1 =
3 -4
-4 5
1 0
0 1
所以上述齐次线性方程组的基础解系为η1=（3，-4，1，0）T，η2=（-4，5，0，1）T。于是，原方程组的通解为x=t1（3，-4，1，0）T+t2（-4，5，0，1）T，其中t1，t2为任意常数。
注：类似例1，请读者自行编写Matlab程序讨论k为何值时，齐次线性方程组
（k-2）x1-3x2-2x3=0
-x1+（k-8）x2-2x3=0
2x1+14x2+（k+3）x3=0 。
有非零解，并在有非零解时求其基础解系[10]。
例2 求非齐次线性方程组x1+x2-3x3-x4=1
3x1-x2-3x3+4x4=4
x1+5x2-9x3-8x4=0的通解[10]。
解：
在Matlab中输入如下代码：
A1=[1 1-3-1;3-1 -34;1 5 -9 -8];
b=[140]';
B1=[A1 b];
[m，n]=size（A1）;
r1=rank（A1）;
r2=rank（B1）;
if r1==r2 & r1==n
disp（'方程组有唯一解：'）
x0=A1＼b
elseif r1==r2 & r1<n
disp（'方程组有特解：'）
x0=A1＼b
disp（'导出组有基础解系：'）
C=null（A1，'r'）
else
disp（'方程组无解.'）
end
运行程序后，显示计算结果如下：
方程组有特解：
x0=
0
0
-8/15
3/5
导出组有基础解系：
C =
3/2 -3/4
3/2 7/4
1 0
0 1
所以上述线性方程组的通解为
其中t1，t2为任意常数。
注：类似例2，读者参考上述过程利用Matlab自行编写程序讨论k为何值时，线性方程组
无解、有唯一解和无穷多解[10]？
二、利用Matlab判定向量组的线性相关性
例3求向量组x1=（3，1，2，5）T，x2=（1，1，1，2）T，x3=（2，0，1，3）T，x4=（1，-1，0，1）T，x5=（4，2，3，7）T的秩和一个极大无关组，并用所求的极大无关组表示其余向量[10]。
解：
在Matlab中输入如下代码：
format rat
x1=[31 2 5]';
x2=[11 1 2]';
x3=[201 3]';
x4=[1-101]';
x5=[42 3 7]';
X=[x1 x2 x3 x4 x5];
[Aidex]=rref（X），
Y=X（：，idex）
运行程序后，显示计算结果如下：
A =
1 0 1 1 1
0 1 -1 -2 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
idex =
1 2
Y =
3 1
1 1