数学试题的创新性命制

摘 要：通过对以三角函数、解三角形等知识为载体的一些试题进行改编，给出数学试题创新性命制的几种常见途径：设置新颖的问题情境，嵌入适当的逻辑推理，融合多元的知识方法，设计灵活的探究问题，拟定结构不良的题目等。

关键词：高中数学；试题命制；创新性；三角函数；解三角形

本文系江苏省中小学教学研究第十四期课题“核心素养视角下高中数学建模教学的教学实践研究”（编号：2021JY14-L56）、江苏省常州市教育科学“十四五”规划课题“新高考背景下的高中数学课堂情境教学实践研究”（编号：CJK-L2022294）的阶段性研究成果。

为进一步深化高考考试内容改革，也为更好地选拔创新型人才，教育部考试中心于2020年1月发布了《中国高考评价体系》（以下简称“高考评价体系”）。高考评价体系是教育评价的理论和实践体系，也是高考命题、阅卷的重要依据。针对高考“如何考”的问题，高考评价体系明确提出了“四翼”的考查要求，即“基础性、综合性、应用性、创新性”。

创新性考查要求是对标准化测验中如何考查创新品质的探索：通过命题创新，努力破除传统标准化测验忽视创新品质考查的弊端。在数学考试中，考查的核心在于数学创新思维能力，即不受常规思维的束缚，勇于面对新问题，通过对知识、思想方法的迁移，灵活组合运用，有效解决问题的能力。为此，需要在命题时，努力增强试题的创新性。本文主要谈一谈笔者对高中数学试题创新性命制的实践探索。

一、 设置新颖的问题情境

数学试题常见的情境包括数学情境、科学情境、现实情境等，所呈现的信息具有多元性。设置新颖的问题情境，可以尽可能保证测试的公平性，有效地测试考生对信息进行阅读与理解、处理与加工，并准确连接到已有知识结构中具体的知识和技能的水平。当然，设置情境还需要综合考量。尤其是设置新颖的情境时，要注意科学、可信，有适当的信息量和深度，避免出现刻意的干扰信息，契合考生的认知水平，能积极引导考生作出与测量目标或行为目标一致的应答。

【案例1】

原题：如图1，在平面四边形ABCD中，AD=BD，∠ADB=90°，CD=22，BC=2。

（1） 若∠BDC=45°，求线段AC的长；

（2） 求线段AC长的最大值。

原题两问的求解目标重复，第（2）问是第（1）问的一般化（需要先用参数表示AC的长，再其求最值）。而且，第（2）问的难度整体偏大，比如：如何引入合适的参数？选边还是角？选两边夹角还是一边对角？……在一次教研活动中，一位同事问：在一个解三角形问题的求解结果中，如果出现平面凹四边形的情况，要不要舍去？高中阶段，学生遇到的往往是平面凸四边形。笔者想到：何不以平面凸四边形为情境背景呢？

改编题：若一个平面四边形对边不相交且任意三边都在第四条边所在直线的一侧，则称其为平面凸四边形。容易知道，与之等价的说法为：若一个平面四边形对边不相交且每个内角都小于π，则称其为平面凸四边形。图2给出了两个不是平面凸四边形的例子。

如图3，在平面凸四边形ABCD中，∠BAD=π/3，BD⊥AD，CD=3，BC=2，设∠BCD=θ。

（1） 求cosθ的取值范围；

（2） 试用θ表示对角线AC的长，并指出θ取何值时AC的长最大。

除了数据的改编之外，这道改编题主要的创新之处有：（1） 设置了数学情境。给出了平面凸四边形的两种定义以及两个反例，让考生在理解概念的基础上，根据问题要求，选择恰当的定义解决问题。选择定义的过程能体现考生对问题条件价值的甄别能力。（2） 改变了两问的关系。从特殊与一般的关系改变为基础与进阶的关系，结构更加紧凑：第（1）问为第（2）问的解决提供了定义域，两问关联性很强。第（2）问还给出了参数，让考生更好地聚焦于寻找多个三角形的边角关系。

二、 嵌入适当的逻辑推理

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》将“逻辑推理”定位为六大学科核心素养之一。华人几何学家伍鸿熙说过：“逻辑推理是数学的命根子。”章建跃博士也说过：“运算是数学的童子功，推理是数学的命根子。”可见逻辑推理在数学核心素养中的突出地位。实际上，逻辑推理是超越数学内容的更具有通识性的思维方式。命制或改编数学选择题时，可以尝试基于题型特征嵌入适当的逻辑推理，让考生运用同一律、排中率、矛盾律、充足理由律等逻辑推理的规则解决问题——其实，这也是近几年高考试题命制的重要趋势之一。

参考文献：

［1］ 于涵，任子朝，陈昂，等.新高考数学科考核目标与考查要求研究［J］.课程·教材·教法，2018（6）：21-26.

［2］ 刘加霞.通过“再创造”学习数学：“为何”与“何为”——《作为教育任务的数学》一书观点评述之二［J］.教育研究与评论，2022（6）：115-119.