让探究更自然

摘  要：教学“利用空间向量研究空间距离”时，可以引导学生基于用空间向量解决立体几何问题的一般步骤，先用平面几何解直角三角形的方法，以两个向量夹角的余弦为中间量，得到点到平面距离的向量公式，再用投影向量来解释，认识距离的“垂直”本质，最后类比迁移得到点到直线距离的求法和本质，并注意直线表示与平面表示的不同，拓展利用勾股定理，得到更合适的向量公式。这样的教学抓住了“一般观念”、知识的联系以及学生的知识经验基础，让学生对两个公式推导的探究更自然。

关键词：高中数学；空间向量；空间距离；公式推导；探究教学

相比于《普通高中数学课程标准（实验）》，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中的“空间向量与立体几何”模块增加了两部分内容：“了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义”；“能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用”。［1］前者（“投影向量”的内容）是“平面向量及其应用”模块新增内容“了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义”的推广延伸，也是后者（“空间距离”的内容）的学习基础之一。后者中，“点线距离”和“点面距离”是关键——“线线距离”和“面面距离”分别可以转化为它们。

教学“空间距离”的内容时，很多教师感到教材中采用的推导方法学生很难想到，也很难引导学生自然地用向量方法推导出点到直线的距离公式和点到平面的距离公式，从而只能采用告知的方式，让学生接受公式。但这样，学生便无法充分了解公式的来龙去脉，深刻感悟公式中蕴含的数学思想，只能套用公式解决简单问题。那么，对这两个公式，该如何开展探究教学呢？

一、 教学思考

纵观现行各版本高中数学教材中“空间距离”内容的编写，在顺序上，有的先安排点到直线的距离，再安排点到平面的距离，如人教A版、人教B版教材；有的先安排点到平面的距离，再安排点到直线的距离，如北师大版、苏教版教材。

在公式推导上，对于点到直线的距离公式，有的假定已知直线外一点、直线上一点和直线的单位方向向量，先利用投影向量与原向量的关系，求出从直线上点到直线外点的向量在直线上（即在直线的单位方向向量上）的投影向量的长度，再利用勾股定理，基于从直线上点到直线外点的向量的长度和投影向量的长度，求出直线外点到直线的距离，如人教A版、北师大版教材；有的假定已知直线外一点、直线上一点和与直线垂直的一个向量（实际上就是直线的一个法向量），直接利用投影向量与原向量的关系，求出从直线上点到直线外点的向量在直线的法向量上的投影向量的长度，即得直线外点到直线的距离，如苏教版教材；有的则给出特殊情况，即在正方体模型中求一个顶点到对角线的距离，进而在建系得到所求顶点和对角线的两个端点（也是正方体的顶点）的坐标后，得出以对角线的两个端点为起点和终点的向量（也是对角线所在直线的方向向量），再通过待定系数法，基于“在对角线上”和“与所求顶点的连线垂直于对角线”这两个条件求出垂足的坐标，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，如人教B版教材。

对于点到平面的距离公式，有的假定已知平面外一点、平面上一点和平面的一个法向量或单位法向量，求出从平面上点到平面外点的向量在平面的法向量上的投影向量的长度，即得平面外点到平面的距离，如人教A版、北师大版教材；有的假定已知平面外一点、平面上一点和平面的一个法向量或单位法向量后，直接考虑从平面上点到平面外点的向量与平面的法向量的数量积，然后通过式子变形或基于几何意义，得到平面外点到平面的距离，如苏教版、人教B版教材。

由此，综合来看，首先，用直线上一点和直线的一个方向向量表示直线，用平面上一点和平面的一个法向量表示平面，不仅简洁，而且符合常规，契合学生的学习经验——相对而言，用单位方向向量和单位法向量表示缺少一般性；用法向量表示直线（苏教版教材）不仅不符合常规，而且（在空间中，由直线的方向向量求其垂线的方向向量）比较困难。其次，相比于求出垂足的方法和考虑两个向量的数量积的方法，利用投影向量概念来推导不仅思路精简（反映了距离的“垂直”本质），而且更为自然（目的性更强）。但是，因为投影向量是新增内容，很多教师对其认识不深，导致学生在之前（“平面向量及其应用”）的学习中没有充分地理解其意义和价值，从而在用向量方法推导点到直线的距离公式和点到平面的距离公式时想不到利用投影向量。对此，可以引导学生用平面几何解直角三角形的方法，以两个向量夹角的余弦为中间量，自然地推导出公式，进而发现其中蕴含的投影向量表达式（还可以发现其中蕴含的单位向量表达式）。由此，打通知识的联系，发现距离的本质。最后，在上述表示方法和推导思路下，推导点到平面的距离公式只要求出投影向量的长度，比较基础，可以安排在前；推导点到直线的距离公式还要利用勾股定理求出另一条直角边的长度，更为进阶，可以安排在后。

此外，根据学生已有用空间向量研究空间位置关系（包括平行关系和垂直关系）的经验，以及可能已有用空间向量研究空间角的经验（比如使用人教版B版、北师大版或苏教版教材的学生），可以引导他们基于用空间向量解决立体几何问题的一般步骤，即“化为向量问题—进行向量运算—回到图形问题”展开探究。

这样，就抓住了“一般观念”（或者说“通性通法”）、知识的联系以及学生的知识经验基础，让学生的探究更自然（更容易想到推导方法）。

二、 教学设计及说明

（一） 引入课时主题，提示研究方法

谈话：在前面几节课中，我们学习了用空间向量研究直线、平面的位置关系和空间角，感受到向量方法相比于综合几何方法的优越性。距离，是角度之外另一个重要的几何度量。今天，我们就来学习用空间向量研究空间距离。我们知道，空间距离除了已经学习过的两点之间的距离，还有点到直线的距离、点到平面的距离、平行线之间的距离、平行平面之间的距离，等等。其中，点到直线的距离、点到平面的距离是其他空间距离的基础。本节课，我们就来研究这两个距离。根据之前的学习经验，用空间向量解决立体几何问题的一般步骤是什么？

预设：第一步，把立体几何问题表示为空间向量问题；第二步，用空间向量的运算研究立体几何问题；第三步，把向量运算的结果解释为立体几何的结论。

简化：很好！这是我们大家比较熟悉的“三步曲”。但实际上，第三步比较简单，常常蕴含在第二步中，因为在解决立体几何问题目标的指引下，进行空间向量运算时，我们会同步考虑结果的立体几何意义。因此，上述“三步曲”可以简化为两步：用向量语言描述立体几何问题，用向量运算解决立体几何问题。

［说明：基于学生学习基础和学科知识逻辑，条理清晰、层层递进地引入本课的主题，提示研究的方法。］

（二） 研究“点面距离”，用向量语言描述问题

提问：我们先来研究相对简单的点到平面的距离，（出示图1）即求平面α外一点A到α的距离。用空间向量研究，第一步就是用向量语言描述问题。首先，问题包括什么？

预设：已知和要求。

追问：那么，这里具体已知什么、要求什么？如何用向量语言描述？

预设：（出示图2）已知点A和平面α的法向量n，过点A作AA′⊥平面α于点A′，求向量AA′的模。

追问：作出垂线段，将所求用向量的模表示，很好！但是，平面能由其法向量唯一确定吗？

预设：平面不能由其法向量唯一确定，而由其法向量和其上一点唯一确定。所以，（出示图3）已知点A、平面α上的点B、平面α的法向量n，过点A作AA′⊥平面α于点A′，求向量AA′的模。

［说明：本环节研究简单的点到平面的距离。有了上一环节一般步骤的铺垫，先引导学生完成第一步，用向量语言描述问题，即描述已知和要求，十分自然。这里，学生很容易因为“用向量表示平面”的基础不扎实，而忽视“平面α上的一点B”这个已知条件。对此，教师需要引导学生改进完善。］

（三） 研究“点面距离”， 用向量运算解决问题

提问：明确了已知和要求后，如何通过向量的运算（广义的，包括求模、求夹角）来求解呢？

预设：一下子想不到投影向量（的模），也想不到两个向量的数量积（的作用）。

追问：已知两个点和一个向量，要求一个向量的模，两个点和向量有关系吗？已知向量和要求向量有关系吗？

预设：（作出如图4所示的图）两个点连起来可以得到向量AB；已知向量n和要求向量AA′平行（共线），即方向相同或相反。

追问：很好！得到的向量AB也是已知的，它和已知向量n、要求向量AA′有关系吗？

预设：已知向量AB和要求向量AA′共起点，形成∠BAA′。基于自由平移，已知向量AB和和已知向量n也可以共起点，形成一个角。这两个角相等或互补。

追问：如此，形成的∠BAA′（的余弦）是可以通过知向量AB和n求出来的。那么，再看图形，在模|AB|可求的情况下，模|AA′|可求吗？

预设：cos∠BAA′=|cos〈AB，n〉|=AB·n|AB|·|n|=｜AB·n｜|AB|·|n|。

所以，（作出如图5所示的图）连接BA′，在Rt△ABA′中，|AA′|=|AB|cos∠BAA′=|AB||cos〈AB，n〉|=|AB|｜AB·n｜|AB|·|n|=|AB·n||n|。

总结：这便是点到平面距离的向量公式。

［说明：本环节引导学生完成第二步，用向量运算解决问题。实际上，解题就是从条件（已知）连续变化到结论（要求）的过程［2］，而变化（转化）的关键是建立联系。因此，这里通过层层追问，帮助学生充分建立已知之间、已知与要求之间的联系，从而自然地基于自己更加熟悉的平面几何解直角三角形知识找到解题思路，最终求出点到平面的距离，即得到一般的公式。］

（四） 回顾反思，联系投影向量

教师引导学生回顾研究“点面距离”的过程，首先观察图5，再次思考已知向量AB、n和要求向量AA′之间的关系，基于BA′⊥AA′ ，AA′∥n，发现AA′ 正是AB在n上的投影向量；进而再次分析公式|AA′ |=|AB|·|cos〈AB，n〉|=|AB·n|｜n｜，

将其变形为|AA′|=|AB|cos〈AB，n〉n|n|=AB·n｜n｜，

发现n|n|正是平面α的单位法向量，

|AB|·cos〈AB，n〉n|n| 正是AB在n上的投影向量，从而想起在《平面向量及其应用》单元学过的“一个向量与一个单位向量的数量积正是该向量在该单位向量上投影向量的数量”，理解所得公式中蕴含投影向量的表达。

总结：投影反映了距离的本质——垂直，因此，利用投影向量才是更简洁的解法。

［说明：用更容易想到的平面几何解直角三角形的方法得到点到平面距离的向量公式后，引导学生回顾反思，比较自然地想到投影向量（用投影向量来解释），促进学生感悟距离的“垂直”本质，加深对投影向量以及单位向量意义与作用的理解，进一步感悟向量方法（工具）的优越性。］

（五） 迁移拓展，研究“点线距离”

提问：点到平面的距离实际上就是从已知平面外点到已知平面内点的向量在已知平面的法向量上的投影向量的模，那么点到直线的距离呢？（出示图6）求直线l外一点A到l的距离，如何用空间向量研究？

预设：（作出如图7所示的图）已知点A、直线l上的一点B、直线l的法向量n，过点A作AA′⊥直线l于点A′，求向量AA′的模。向量AA′就是向量AB在在法向量n上的投影向量。

追问：完全类比研究点到平面距离时的已知和要求，也利用了投影向量，即距离的“垂直”本质求解，很好！但我们通常是用直线的法向量表示直线的吗？

预设：我们通常不用法向量而用方向向量表示直线。（作出如图8所示的图）已知点A、直线l上的一点B、直线l的方向向量u，过点A作AA′⊥直线l于点A′，求向量AA′的模。

追问：实际上，在空间中，由直线的方向向量求其法向量（或者说，求其垂线的方向向量）并不容易。那么，如何由点A、点B和方向向量u求向量AA′的模？

预设：先求出向量BA在方向向量u上的投影向量BA′的模，

即|BA′|=BA·u|u|；

再在Rt△ABA′中，由勾股定理得|AA′|=|BA|2-|BA′|2=|BA|2-BA·u|u｜2。

总结：这便是点到直线距离的新的、更适合的向量公式。

［说明：搞清楚点到平面的距离的求法（本质）后，学生很容易类比迁移得到点到直线距离的求法（本质），也就得到了用空间向量求空间距离的一般方法。这里，学生很容易因为“用向量表示直线”掌握得不扎实，而忘记“直线通常是用其方向向量表示的”这个不同之处。对此，教师需要引导学生改变已知，拓展利用勾股定理，得到更适合的向量公式。］

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020：4243.

［2］ 罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，1997：182.