例谈简化解析几何问题计算过程的方法

摘  要：提高学生解决解析几何问题的能力，关键是提高学生简化计算过程的能力。为此，应站在更高的层面，帮助学生充分认识解析几何的本质，从而从几何性质和代数技巧两个方面入手，注意利用图形的整体性质和局部性质转化条件，利用代数式同构进行代换，利用方程同解建立系数关系，利用曲线方程进行消元。由此，针对具体的问题灵活地寻求简化计算过程的方法。

关键词：高中数学；解析几何；解题教学；简化计算

本文系江苏省教育科学“十四五”规划青年专项课题“指向高阶思维培养的高中数学教学实践研究”（编号：C/2023/03/47）的阶段性研究成果。

平面解析几何是高中数学课程的经典内容，也是高考数学考查的重难点内容。解析几何难题通常表现为“思路易想而过程难算”，尤其是在考试时间的限制下，面对繁杂的计算，学生常常算不出来或算错。因此，提高学生解决解析几何问题的能力，除了要提高学生按部就班计算（“死算”）的能力，更为关键的是提高学生简化计算过程（“巧算”）的能力。

事实上，很多教师都会教给学生简化解析几何问题计算过程的一些常规方法，如回归定义、设而不求、取特殊值、点差法等；甚至还会教给优秀学生一些拓展方法，如利用曲线系方程、参数方程、仿射变换、非对称韦达定理等处理的方法。但我们会发现，学生利用这些方法仍然不能较好地解决一些解析几何难题，尤其是在近几年的“新高考”中。究其原因，这些方法都只是某些特定题型的特殊套路，并不能完全覆盖解析几何的所有题目，因此，学时不容易记住，用时也不容易想到。

对此，我们应站在更高的层面，帮助学生充分认识解析几何的本质——利用代数方法解决几何问题，从而从几何性质和代数技巧两个方面入手，针对具体的问题灵活地寻求简化计算过程的方法，从容地应对各种解析几何问题。以下尝试举例说明这一思路下的若干方法。

一、 利用几何性质简化计算过程

解析几何问题本质上是几何问题。因此，我们可以充分运用有关的几何知识，即图形的几何性质，转化题目条件，使得所列式子发生变化，从而简化解题所需的计算过程。一般来说，可以利用图形的整体（宏观）性质和局部（微观）性质。

（一） 利用图形的整体性质转化条件

图形的整体性质主要表现为对称性，有时也表现为周期性。这样的性质，让我们只需要研究图形一个部分，就能够“同理”知道图形的其他部分，因此，可以很好地帮我们简化解析几何问题的计算过程。

例1  如图1，过椭圆x24+y2=1的中心作一条直线，与椭圆交于P、Q两点，设椭圆的右焦点为F，若∠PFQ=2π3，则△PFQ的面积为    。

图1

本题如果直接求解△PFQ的面积，无论是用底和高的公式，还是用两边及其夹角的公式，求边长或高的计算都会非常烦琐，因为∠PFQ=2π3这个条件不太好处理。如果关注到椭圆的对称性，尝试将P、Q两点与椭圆的另一个焦点F′连接起来，就会得到一个平行四边形。再利用平行四边形的性质将△PFQ的面积转化为△PFF′的面积，进而利用焦点三角形的面积公式，就可以很快地得到答案：S△PFQ=S△PFF′=b2tanπ6=33。

例2  在一张纸上有圆C：（x+5）2+y2=4，定点B（5，0），折叠纸片使圆C上某一点M1恰好与点B重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线M1C的交点为T。

（1） 求证：|TC-TB|为定值，并求出点T的轨迹C′的方程；

（2） 设A（-1，0），M为曲线C′上一点，N为圆x2+y2=1上一点（M、N均不在x轴上），直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k2=-14k1，求证直线MN过定点，并求出此定点的坐标。

本题第（1）问比较简单，|TC-TB|=2，轨迹C′的方程为x2-y24=1。对于第（2）问，根据题意可以作出下页图2。联立直线AM的方程与双曲线C′的方程，消元，利用韦达定理可得Mk21+44-k21，8k14-k21；联立直线AN的方程与单位圆的方程，消元，利用韦达定理及k2=-14k1可得N-k21+1616+k21，-8k116+k21。这时，如果利用两点的坐标表示直线MN的方程，运算量将会非常大。如果关注到点A在x轴上，双曲线C′和单位圆都关于x轴对称，就会发现动直线MN绕着x轴上的定点

旋转。于是，可以设定点为

D（t，0），由三点共线得kMD=kND，

即8k14-k21k21+44-k21-t=-8k116+k21-k21+1616+k21-tk21+4+（k21-4）t=k21-16+（k21+16）tt=1，所以，直线MN过定点D（1，0）。

图2

（二） 利用图形的局部性质转化条件

几何中的很多结论（定理）反映的都是图形的局部性质，比如平行线、三角形、四边形以及圆的很多性质。恰当地使用这些结论（定理），也能较好地转化题目条件，从而简化解析几何问题的计算过程。

例3  如图3，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上任意一点，直线F2M垂直于OP且交线段F1P于点M，若F1M=2MP，则该椭圆离心率的取值范围是    。

图3

绝大多数学生会采用设点、解点、代点的步骤求解本题，计算过程十分烦琐。其实，这里明显有可以使用梅涅劳斯定理（若直线l不经过△ABC的顶点，并且与△ABC的三边BC、AC、AB或它们的延长线分别交于点P、Q、R，则BPPC·CQQA·ARRB=1）的几何结构：△POF1以及与它的三边所在直线都相交的直线MF2，以及直线MF2分△POF1两边所成的比例。因此，可以设MF2与OP相交于点N，从而得PMMF1·F1F2F2O·ONNP=1，进而得出N是线段OP的中点，MF2是线段OP的中垂线，所以PF2=OF2=c∈（a-c，a+c），解得e∈12，1。

例4  在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，动点P满足直线AP与BP的斜率之积等于-13。

（1） 求动点P的轨迹方程；

（2） 设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M、N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

本题第（1）问比较简单，点P的轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）。对于第（2）问，根据题意可以作出图4。如果直接使用底和高表示三角形面积，需要设点、求点，运算量非常大。如果关注到对顶角相等，使用两边及其夹角的正弦表示三角形面积，运算量会减少很多。此外，还可以充分利用平面几何结论简化计算过程：由S△PAB=S△PMN得S△ABM=S△MNB，从而AN∥BM；延长AB交直线MN于点C，观察A、B、C三点的横坐标，可以发现B是AC的中点，所以M是NC的中点，所以P是△ANC的重心，故xP=xA+xN+xC3=53，则yP=±339，所以存在点P53，±339使得△PAB与△PMN的面积相等。

图4

二、 利用代数技巧简化计算过程

解析几何问题也是需要利用代数方法解决的问题。因此，我们可以积极调动有关的代数技巧，特别是基于代数结构的“代”与“变”技巧［1］，处理所得式子，从而简化计算过程。从代数基本研究对象的角度看，结合解题经验，通常有以下三种代数技巧。

（一） 利用代数式同构进行代换

在高中解析几何问题中，我们常会遇到两个几何对象（如点）满足同样或类似的几何性质。这时，可以利用代换（包括字母代换和式子代换）的方法，构造出与一个几何对象对应的代数式结构完全一样的代数式，从而避免逐个求解的运算量。在此基础上，甚至可以基于代数式同构，利用代换的方法（替换不同部分，保留相同部分），抽象出这两个几何对象同时对应的“通式”，从而进一步简化计算过程。

例5  抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上。直线l：x=1交C于P、Q两点，且OP⊥OQ。已知点M（2，0），且⊙M与l相切。

（1） 分别求抛物线C、⊙M的方程；

（2） 设A1、A2、A3是抛物线C上的三个点，直线A1A2、A1A3均与⊙M相切，试判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由。

本题第（1）问比较简单，抛物线C的方程为y2=x，⊙M的方程为（x-2）2+y2=1。对于第（2）问，设A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），得y21=x1，y22=x2，y23=x3后，如果直接联立直线方程与圆的方程去解点，由于三个点的坐标都不知道，运算量将会非常大。如果关注到A2、A3两点满足同样的性质——在抛物线C上且与A1的连线跟⊙M相切，就可以在由直线A1A2的两点式方程转化得到斜截式方程y=xy1+y2+y1y2y1+y2，并由直线A1A2与⊙M相切得到2y1y2+（x1-1）x2-x1+3=0后，由代数式同构代换得2y1y3+（x1-1）x3-x1+3=0，进而抽象出直线A2A3的方程2y1y+（x1-1）x-x1+3=0。由此，可以得到点M到直线A2A3的距离为|2（x1-1）-x1+3|4y21+（x1-1）2=|x1+1|（x1+1）2=1，所以直线A2A3与⊙M相切。实际上，基于代数式同构，本题还很容易得到切点弦的方程。

（二） 利用方程同解建立系数关系

在高中解析几何问题中，经常需要求解二次曲线与直线的交点坐标或两条二次曲线的交点坐标（求解两条直线的交点坐标通常比较容易，不做重点考虑）。从代数的角度看，就是解联立得到的二元二次方程组；进一步看，就是解消元得到的一元二次方程。这时，如有新增的二次曲线经过所求的交点，便形成了“三线共点”问题。对此，可以基于联立、消元得到的方程同解，建立系数之间的相等关系，从而简化未知数的求解过程。

例6  已知椭圆O的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点A（2，0）到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为32。不过点A的动直线y=12x+m与椭圆O交于P、Q两点。

（1） 求椭圆O的标准方程；

（2） 记过点A、P、Q的动圆为圆C，已知动圆C过定点A和B（异于点A），求出定点B的坐标。

本题第（1）问比较简单，椭圆O的标准方程为x24+y2=1。对于第（2）问，如果利用A、P、Q三点的坐标求解动圆C的方程，将会非常棘手，因为P、Q两点（动点）坐标的表达式非常复杂，代入圆C的方程得到的待定系数的表达式也会非常复杂。如果关注到P、Q两点既是动直线与椭圆O的交点，又是动直线与动圆C的交点，就可以分别联立、消元（设圆C的方程为一般式x2+y2+Dx+Ey+F=0），得到同解方x2+2mx+2（m2-1）=0和x2+45m+D+E2x+45（m2+Em+F）=0，从而得到系数之间的恒等关系2m=45m+D+E2，

2（m2-1）=45（m2+Em+F），整理得到D+E2=32m，

Em+F=32m2-52。再由点A在圆C上得到4+2D+F=0，便可解得D=3（m-1）4，E=32m+32，F=-32m-52。代入圆C的方程，按参数m整理得x2+y2-34x+32y-52+m34x+32y-32=0后，便可求出圆C还过定点B（0，1）。

（三） 利用曲线方程进行消元

用字母表示数（设元，包括表示未知的常量和一般的变量）是产生代数式、建立代数关系的基础，从而是代数研究的基本思想。表示数的字母多了，结果的不确定性就大了，也就需要利用代数关系减少一些字母（消元），从而提高结果的确定性（求得所需的结果）。求解解析几何问题自然也需要设元与消元。相比于二次曲线的方程，直线的方程次数较低，经常作为消元的首选关系式。但事实上，很多高中解析几何问题如果利用二次曲线的方程消元，可以避免烦琐的运算，包括避免不对称韦达定理式的出现。特别是，在抛物线问题中，利用抛物线方程消元，可以优化很多代数式的处理。

例7  已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）实轴端点分别为A1（-a，0）、A2（a，0），右焦点为F，离心率为2，过点A1且斜率为1的直线l与双曲线C交于另一点B，已知△A1BF的面积为92。

（1） 求双曲线C的方程；

（2） 若过点F的直线l′与双曲线C交于M、N两点，问：直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，说明理由。

本题第（1）问比较简单，双曲线C的方程为x2-y23=1。对于第（2）问，如果利用直线l′的方程对求点Q的坐标时得到的方程中的参数（点M、N的坐标）进行消元处理，会得到非对称韦达定理类型的式子，进而需要一些特殊的技巧（烦琐的计算）来化解这种式子。如果利用双曲线C的方程进行消元处理，则不需要什么技巧。具体过程如下：当直线l′的斜率存在时，设直线l′的方程为y=k（x-2），M（x1，y1），N（x2，y2），则直线A1M的方程为y=y1x1+1（x+1），直线A2N的方程为y=y2x2-1（x-1）；联立直线l′的方程与双曲线C的方程，消去y得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0，所以x1+x2=4k2k2-3，x1x2=4k2+3k2-3；联立直线A1M的方程与直线A2N的方程，消去y得x+1x-1=y2（x1+1）y1（x2-1），两边平方得x+1x-12=y22（x1+1）2y21（x2-1）2；利用M（x1，y1）、N（x2，y2）在双曲线C：x2-y23=1上，可得y22（x1+1）2y21（x2-1）2=9；解x+1x-12=9，得x=12或x=2（舍去），所以点Q在定直线x=12上。

参考文献：

［1］ 刘东升.代数解题教学：重视“代”和“变”，培养“结构感”——从常见误区说起［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2023（2）：6265.