我们需要怎样的数学教育

摘 要：从数学教育的角度看，2024年高考数学试题对落实核心素养教育进行了较大幅度的探索。数学教育要培养具有自我意识和主体自觉的人，也就要抛弃“刷题”“套路”“押题”等应试训练那一套。进而，数学要教知识，更教原理；教推理，更教想象；教学生“学会学习”。为此，数学教育要注意建立高观点，加强直观化，从现象出发。

关键词：数学教育；高考试题；主体自觉；高观点；直观化

核心素养教育的根本宗旨是培养“全面发展的人”，落实到操作层面是培养人的“必备品格和关键能力”。这是我国对教育的顶层设计。为了落实这个顶层设计，新一轮的高考改革酝酿已久。从2019年的《中国高考评价体系》确立标准，到2021—2023年的“适应性考试”和高考试卷释放出强烈的信号，再到2024年的高考试卷进行了较大幅度的探索，引起了广泛的讨论。

2024年6月7日，也就是高考数学考试结束的当天，教育部教育考试院就发布了《2024年高考数学全国卷试题评析》（以下简称《试题评析》）一文［1］。其中，不仅谈了“试题评析”，还谈了试题的命制意图，更多次谈及人文关怀和国家战略。毫无疑问，这份文件更大的主旨在于阐发育人和选材的规划，它预示着一种前景。

我们应该站在教育的角度看试卷，而不是站在试卷的角度看教育。用洞穴做类比的话，即洞穴人刚刚觉悟时应该“打开洞门看世界”，走出洞穴后则应当“站在世界看洞穴”。本文主要从数学教育的角度看2024年高考数学试题——主要是新课标Ⅰ卷和Ⅱ卷的试题。

一、 数学教育要培养怎样的人

“必备品格”和“关键能力”以人的自我意识和主体自觉为前提。如果一个人意识不到自己是独立的，不能自主规划和控制自己的行为，也就谈不上品格和能力。人本主义教育首先承认“人”的存在和独立。教育“四大要素”（教师、学生、教学内容和教学手段）中，人是最终目的，而不是任何形式的工具。教育必须基于学生的兴趣、偏好、个性和天赋，否则不仅没有意义，还会造成效率低下和人才浪费。

《试题评析》的第一句话就是“2024年高考数学全国卷试题持续深化考试内容改革，考主干、考能力、考素养，重思维、重创新、重应用，突出考查思维过程、思维方法和创新能力”。这里对人的突出要求就是“思维”。同时，高考其余各科考查也都把思维放在最突出的位置。比如，语文学科提出的是“鼓励青少年……提高思维品质，培养科学创新精神”。而思维只能是“思维者的思维”，外人不能包办，更不能替代。

《试题评析》接下来又说道：“新课标卷创设全新的试卷结构，减少题量，给学生充足的思考时间，加强思维考查，强化素养导向，给不同水平的学生提供充分展现才华的空间，服务拔尖创新人才选拔。”“学生不必过多地关注做题的进度和速度，可以更专注、更深入地思考，更从容地试错。”这里对人的关注就更具体，也更突出了。“从容试错”这样的说法是此前从没有过的，它远远超出了“学会知识”“掌握技能”以及“领会思想”的层次，而达到了“养成精神”的高度。

强调人的自我意识和主体自觉，必然要抛弃把人当作工具（不管是什么形式的工具）的教育观，也就要抛弃“刷题”“套路”“押题”等应试训练那一套。反复“刷题”练成的“做题家”，主要是把老师或书本告诉他们的方法再现出来，鲜有自己的主见和创见，这与全面育人以及创新意识培养背道而驰。“反套路”“反押题”等命题理念在2022年就被提出来了，这不仅是命题技术的问题，其旨趣可谓宏大。

例1 （2024年高考数学新课标Ⅰ卷第8题）已知函数f（x）的定义域为R，f（x）＞f（x-1）+f（x-2），且当x＜3时，f（x）=x，则下列结论中一定正确的是（  ）

A. f（10）＞100

B. f（20）＞1000

C. f（10）＞1000

D. f（20）＞10000

这道题考查了抽象函数。抽象函数是考查函数性质最深刻和有力的工具，对抽象思维、数学建模等有较高的要求。对这道题，熟悉逻辑推理和不等式的学生无须任何计算即可排除选项C、D，再在选项A、B中做简单的推算即可得到正确答案，因此，数学素养高的学生更容易获得高分。平常的教学中，师生大多研究具体函数的性质，容易忽略抽象函数常见性质的证明和探索。这道题让考生无法“回想套路”，只能靠自己的思考来“解决问题”，选拔人才和引导教学的效果都非常好。

例2 （2024年高考数学新课标Ⅱ卷第8题）设函数f（x）=（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，则a2+b2的最小值为（  ）

A. 18

B. 14

C. 12

D. 1

日常的教学中，教师会训练学生解一次不等式、二次不等式乃至其余的函数不等式，如（x-a）（x-b）＞0的类型。这道题把一次函数与对数函数结合起来构造不等式，体现为（x+a）ln（x+b）＞0的类型，别开生面。对此，学生没有什么套路可以遵循，而当他领会了不等式的含义后，转化为y=x+a和y=ln（x+b）两个增函数有相同的零点，再通过消元把a2+b2转化为一元二次函数，就非常容易了。这真正实现了“多思少算”的目的。学生可以凭借直觉跳过严密的逻辑推理，迅速把握问题的本质，实现条件的转换，体现出数学素养。

学生应该成为有独立人格，会思考、能判断、有智慧、敢批判、能创新的人，国家也正需要这样的人。不能面对新问题的人也不能面对新世界。数学教育该做也能做的就是提供“非标准化”“非套路化”的问题。这是最简单的一条路径了。

二、 数学应该教什么

教什么永远比怎么教更重要。教什么决定学生成为怎样的人，怎么教决定他们成为那样的人的速度和程度。

（一） 教知识，更教原理

所有的教学都离不开知识，但是，知识不单指列在教材上的一个个结论，也不单指列在教辅上的一个个题型，那些都是碎片化的。靠碎片化的知识不能培养创造型人才，也不能培养独立而健全的人格。爱因斯坦说：“仅仅靠知识和技能并不能使人类获得快乐而有尊严的生活。虽然通过专业教育可以使他们成为一部有用的机器，但是不能造就和谐的人格。”

2024年高考数学试题充分考查了基础的主干知识。正如《试题评析》所说：“深化基础性考查，强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解，不考死记硬背、不出偏题怪题……增加基础题比例、降低初始题起点，增强试题的灵活性和开放性。”即便是被认为难度较大的题目，如新课标Ⅰ卷第14题、新课标Ⅱ卷第14题、全国甲卷（理科）第16题等，也没有脱离基础知识。所不同的是，它们都不是单一知识点的再现，也不是几个知识点的简单组合，而需要理解几个知识点之间的逻辑结构，理解方法背后的原理。如：新课标Ⅰ卷第5题将圆柱与圆锥结合，综合考查侧面积、体积的计算；新课标Ⅰ卷第18题在函数导数试题中考查曲线的对称性；新课标Ⅱ卷第6题综合考查幂函数和余弦函数的性质；全国甲卷（理科）第9题将向量和常用逻辑用语结合，通过向量垂直、平行的判定考查充要条件。

教学中，除了毫不动摇地紧抓住“双基”（基础知识、基本技能），还要让学生理解知识的逻辑和原理，形成整体性的认知，要改变那种“只懂知识，不懂原理”的学习，因为那样的学习没有可迁移性（“想不到”），也是“高分低能”或“一看就懂，一做就错”的主要原因。原理比知识更重要！更何况，知识随时可以查到，原理必须自己理解。

比如，新课标Ⅰ卷第8题（例1）中的f（x）＞f（x-1）+f（x-2）与斐波那契数列满足的an=an-1+an-2有极大的相似性。如果学生习得斐波那契数列的知识，并理解该数列通项形成的原理，那么只要向后列出几项，就能大致看出结果。而如果只知道“斐波那契数列也叫兔子数列”以及“它是一个二阶递推数列”（却想不到进行递推），则是于事无补的，甚至无法把这些知识与新情境联系起来。

例3 （2024年高考数学新课标Ⅰ卷第18题第2小问）已知函数f（x）=lnx2-x+ax-b（x-1）3，证明：曲线y=f（x）是中心对称图形。

学生在小学就学习了对称图形（直观感知），初中给出了对称的定义（直观定义），高中则通过奇偶函数给出了另一种定义（抽象定义）。遗憾的是，有些学生上了高中之后就把“对称性”局限于“奇偶性”了，看到中心对称就想到用奇函数来判断，看到轴对称就想到用偶函数来判断，这就严重地扭曲了对这类数学现象的认识。如此，对此题就无从下手了，因为它既不是奇函数也不是偶函数。实际上，函数图像成中心对称的原理（本质定义）是 “存在点（a，b），x1、x2∈R，当x1+x2=2a时，y1+y2=2b恒成立”。有了这样的认识，不论是由定义做逻辑推理，还是先对定义域做直观考察，都不难解决此题：该函数的定义域是区间（0，2），对称中心的横坐标必然是1，由f（1）=a也可计算f12+f32，得到对称中心的纵坐标为a。

明白原理，会观察、会思考，才算具备认识世界的能力。原理实际上是普遍的“道”。有了对“道”的掌握，即便不身处某件事的现场，也可以明白那是件什么事、由何引起又将如何发展。相反，如果不明白原理，即便记住很多的事实，也不等于甚至无助于理解世界。正如苏格拉底所说：“一切的经验科学都是材料的奴隶。”就以例3而论，如果学生不知道中心对称的原理（本质定义），无论他曾经“刷”过多少道关于奇函数的题目，也无法解出此题——他无法理解“在没有图形的情况下找图形的对称中心（轴）”是怎么做到的。

巧合的是，笔者近几年曾经在多个场合向不同层次的数学学习者问过这样的问题：函数f（x）=x+sinx的对称中心是什么？结果是，相当多的人（包括中学生、大学生、研究生，还有博士生和博导）回答：“（0，0），因为它是奇函数。”实际上，这个函数的对称中心有无数个［（kπ，kπ），k∈Z］，（0，0）只是其中之一。更严重的问题是，回答“（0，0）”的人的推理过程是“因为它是奇函数”。这是一个完全离谱的“推理”，它甚至扭曲了原来的问题（偷换问题是思考之大忌），使人不再有正确认识那个问题的机会。新课标Ⅰ卷中，除了第18题以外，第10题也考查了函数图像的对称中心（具体考查的是三次函数），同样没有给图像，而需要用抽象的定义思考。这样的题目有利于数学教育的正本清源：直击问题本质，没有繁难的计算——多思少算。

所有的原理都是抽象的，它超越具体的知识，因而更稳定，也更容易迁移到不同的情境中。长远来看，“教原理”的效率也是很高的：学生会忘记具体知识，但是一般不会忘记原理。

（二） 教推理，更教想象

教改到了今日，有句口号早已深入人心，那就是“让学生学会思考”。问题是：应该让他们学会怎样的思考？

中华人民共和国成立以来，曾经原样照搬苏联的教材和教学理论，在很长的时期内把“严谨性、抽象性和应用性”作为数学的三大特征，认为数学就是一板一眼、严丝合缝地完成从条件到结论的推导。考试评分标准对“严谨性”的要求非常严苛，在试题出得简单时尤其如此（大概是因为“抽象性”和 “应用性”更难量化考查）。

实际上，严谨性从来不是数学的最高要求，就连欧几里得的《几何原本》、牛顿的《自然哲学的数学原理》都不是绝对严谨的。创造中的数学充满了直觉、想象、猜测、尝试，也包容了很多错误。即便成熟的数学，也给直觉和想象留有足够的空间。笔者认为，绝对严谨的数学是不存在的，作为学习对象的数学更不能把严谨置于高高在上的位置；数学如果没有直觉和想象，就没有了灵性。张奠宙教授提出“适度严谨”的原则，陈省身先生、李邦河院士等提倡“玩数学”，康托尔说“数学的本质在于它的自由”，我深以为然。越是没有过数学创造的人，越容易把严谨性奉若神明，这又反过来扼制了自己潜在的创造力。教学中，不能对学生提出过分的严谨性要求，否则会伤害或吓跑他们。